胡海燕

近年來高考考試大綱的考點(diǎn)，大部分試題與導(dǎo)數(shù)有著千絲萬縷的關(guān)系.從導(dǎo)數(shù)引申出來的考點(diǎn)比重逐漸上升，使得導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、微積分、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)之間的共通性愈加明顯，尤其是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，以及函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)特性的融合，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導(dǎo)數(shù)公式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有重要的實(shí)踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中，一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關(guān)系可以看出它應(yīng)用的身影.當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)，這甚至可以被認(rèn)為高中與高等數(shù)學(xué)銜接中最基礎(chǔ)的定義.高中導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用過程，是讓學(xué)生感知瞬時(shí)變化率的過程.導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，正是實(shí)現(xiàn)由初等函數(shù)正常推導(dǎo)的過程，是從中規(guī)范導(dǎo)數(shù)實(shí)踐教學(xué)的過程，也是深度理解和認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的過程.

一、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

在平面直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)數(shù)代表的就是某條曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率.判斷函數(shù)的單調(diào)性，就可以根據(jù)一點(diǎn)處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準(zhǔn)確判斷出其單調(diào)遞增的特征.尤其是在簡(jiǎn)單的一次函數(shù)中，當(dāng)曲線斜率為正時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，反之為負(fù)時(shí)就是單調(diào)遞增.

例1 求函數(shù)y=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當(dāng)3x2-3=0，即x=±1時(shí)，y有極值=-1和3，

因?yàn)椋簒=2時(shí)，y（2）=3，x=1時(shí)，y（1）=-1， x=0時(shí)，y（0）=1，x=-1時(shí)，y（-1）=3，x=-2時(shí)，y（-2）=-1，

所以函數(shù)在（-∞，-1]單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增.

在求解單調(diào)函數(shù)的遞增性上，求解函數(shù)單調(diào)性，更可以顯示導(dǎo)數(shù)的價(jià)值.在實(shí)際應(yīng)用中，還可以延伸出導(dǎo)函數(shù)“二次型單調(diào)性問題求解”.

二、用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由12個(gè)常用導(dǎo)數(shù)衍生出來，成為推導(dǎo)的依據(jù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在某點(diǎn)處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強(qiáng)調(diào)曲線上的點(diǎn)外，還體現(xiàn)函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分不必要條件.導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應(yīng)用價(jià)值就體現(xiàn)在函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，曲線在某點(diǎn)處一定存在切線，但是曲線在某點(diǎn)存在切線，卻未必可導(dǎo)的特性.

例2 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)所體現(xiàn)的幾何意義來求解的.

三、用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)

三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、積化和差、雙曲函數(shù)等都可以在簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進(jìn)而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)雜三角函數(shù)的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)出三角函數(shù)積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn).角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導(dǎo)數(shù)公式求周期函數(shù)

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數(shù).

從函數(shù)周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數(shù)著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當(dāng)a=-1，0，1時(shí)f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數(shù)，若a≠0，a2≠1的情況.當(dāng)f（x）以T為周期時(shí)，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應(yīng)以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對(duì)所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數(shù)，必要性得證.從實(shí)際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，利用導(dǎo)數(shù)求解導(dǎo)函數(shù)還可以擴(kuò)大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實(shí)際上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).”

五、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，主要顯現(xiàn)為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值，不僅便捷還省時(shí).高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式集中反映了導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用思想.導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小變量比的極限，反映函數(shù)的變化率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現(xiàn)瞬時(shí)速度.在結(jié)合課改和高中生身心發(fā)展現(xiàn)狀時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想和掌握導(dǎo)數(shù)的變化趨勢(shì)，成為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域必須關(guān)注的大事.這對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式解決高中生日常數(shù)學(xué)難題，具有積極的指導(dǎo)作用.

近年來高考考試大綱的考點(diǎn)，大部分試題與導(dǎo)數(shù)有著千絲萬縷的關(guān)系.從導(dǎo)數(shù)引申出來的考點(diǎn)比重逐漸上升，使得導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、微積分、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)之間的共通性愈加明顯，尤其是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，以及函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)特性的融合，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導(dǎo)數(shù)公式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有重要的實(shí)踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中，一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關(guān)系可以看出它應(yīng)用的身影.當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)，這甚至可以被認(rèn)為高中與高等數(shù)學(xué)銜接中最基礎(chǔ)的定義.高中導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用過程，是讓學(xué)生感知瞬時(shí)變化率的過程.導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，正是實(shí)現(xiàn)由初等函數(shù)正常推導(dǎo)的過程，是從中規(guī)范導(dǎo)數(shù)實(shí)踐教學(xué)的過程，也是深度理解和認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的過程.

一、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

在平面直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)數(shù)代表的就是某條曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率.判斷函數(shù)的單調(diào)性，就可以根據(jù)一點(diǎn)處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準(zhǔn)確判斷出其單調(diào)遞增的特征.尤其是在簡(jiǎn)單的一次函數(shù)中，當(dāng)曲線斜率為正時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，反之為負(fù)時(shí)就是單調(diào)遞增.

例1 求函數(shù)y=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當(dāng)3x2-3=0，即x=±1時(shí)，y有極值=-1和3，

因?yàn)椋簒=2時(shí)，y（2）=3，x=1時(shí)，y（1）=-1， x=0時(shí)，y（0）=1，x=-1時(shí)，y（-1）=3，x=-2時(shí)，y（-2）=-1，

所以函數(shù)在（-∞，-1]單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增.

在求解單調(diào)函數(shù)的遞增性上，求解函數(shù)單調(diào)性，更可以顯示導(dǎo)數(shù)的價(jià)值.在實(shí)際應(yīng)用中，還可以延伸出導(dǎo)函數(shù)“二次型單調(diào)性問題求解”.

二、用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由12個(gè)常用導(dǎo)數(shù)衍生出來，成為推導(dǎo)的依據(jù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在某點(diǎn)處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強(qiáng)調(diào)曲線上的點(diǎn)外，還體現(xiàn)函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分不必要條件.導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應(yīng)用價(jià)值就體現(xiàn)在函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，曲線在某點(diǎn)處一定存在切線，但是曲線在某點(diǎn)存在切線，卻未必可導(dǎo)的特性.

例2 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)所體現(xiàn)的幾何意義來求解的.

三、用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)

三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、積化和差、雙曲函數(shù)等都可以在簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進(jìn)而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)雜三角函數(shù)的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)出三角函數(shù)積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn).角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導(dǎo)數(shù)公式求周期函數(shù)

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數(shù).

從函數(shù)周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數(shù)著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當(dāng)a=-1，0，1時(shí)f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數(shù)，若a≠0，a2≠1的情況.當(dāng)f（x）以T為周期時(shí)，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應(yīng)以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對(duì)所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數(shù)，必要性得證.從實(shí)際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，利用導(dǎo)數(shù)求解導(dǎo)函數(shù)還可以擴(kuò)大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實(shí)際上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).”

五、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，主要顯現(xiàn)為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值，不僅便捷還省時(shí).高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式集中反映了導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用思想.導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小變量比的極限，反映函數(shù)的變化率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現(xiàn)瞬時(shí)速度.在結(jié)合課改和高中生身心發(fā)展現(xiàn)狀時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想和掌握導(dǎo)數(shù)的變化趨勢(shì)，成為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域必須關(guān)注的大事.這對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式解決高中生日常數(shù)學(xué)難題，具有積極的指導(dǎo)作用.

近年來高考考試大綱的考點(diǎn)，大部分試題與導(dǎo)數(shù)有著千絲萬縷的關(guān)系.從導(dǎo)數(shù)引申出來的考點(diǎn)比重逐漸上升，使得導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、微積分、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)之間的共通性愈加明顯，尤其是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，以及函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)特性的融合，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導(dǎo)數(shù)公式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有重要的實(shí)踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中，一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關(guān)系可以看出它應(yīng)用的身影.當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)，這甚至可以被認(rèn)為高中與高等數(shù)學(xué)銜接中最基礎(chǔ)的定義.高中導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用過程，是讓學(xué)生感知瞬時(shí)變化率的過程.導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，正是實(shí)現(xiàn)由初等函數(shù)正常推導(dǎo)的過程，是從中規(guī)范導(dǎo)數(shù)實(shí)踐教學(xué)的過程，也是深度理解和認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的過程.

一、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

在平面直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)數(shù)代表的就是某條曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率.判斷函數(shù)的單調(diào)性，就可以根據(jù)一點(diǎn)處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準(zhǔn)確判斷出其單調(diào)遞增的特征.尤其是在簡(jiǎn)單的一次函數(shù)中，當(dāng)曲線斜率為正時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，反之為負(fù)時(shí)就是單調(diào)遞增.

例1 求函數(shù)y=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當(dāng)3x2-3=0，即x=±1時(shí)，y有極值=-1和3，

因?yàn)椋簒=2時(shí)，y（2）=3，x=1時(shí)，y（1）=-1， x=0時(shí)，y（0）=1，x=-1時(shí)，y（-1）=3，x=-2時(shí)，y（-2）=-1，

所以函數(shù)在（-∞，-1]單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增.

在求解單調(diào)函數(shù)的遞增性上，求解函數(shù)單調(diào)性，更可以顯示導(dǎo)數(shù)的價(jià)值.在實(shí)際應(yīng)用中，還可以延伸出導(dǎo)函數(shù)“二次型單調(diào)性問題求解”.

二、用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由12個(gè)常用導(dǎo)數(shù)衍生出來，成為推導(dǎo)的依據(jù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在某點(diǎn)處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強(qiáng)調(diào)曲線上的點(diǎn)外，還體現(xiàn)函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分不必要條件.導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應(yīng)用價(jià)值就體現(xiàn)在函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，曲線在某點(diǎn)處一定存在切線，但是曲線在某點(diǎn)存在切線，卻未必可導(dǎo)的特性.

例2 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)所體現(xiàn)的幾何意義來求解的.

三、用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)

三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、積化和差、雙曲函數(shù)等都可以在簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進(jìn)而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)雜三角函數(shù)的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)出三角函數(shù)積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn).角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導(dǎo)數(shù)公式求周期函數(shù)

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數(shù).

從函數(shù)周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數(shù)著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當(dāng)a=-1，0，1時(shí)f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數(shù)，若a≠0，a2≠1的情況.當(dāng)f（x）以T為周期時(shí)，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應(yīng)以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對(duì)所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數(shù)，必要性得證.從實(shí)際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，利用導(dǎo)數(shù)求解導(dǎo)函數(shù)還可以擴(kuò)大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實(shí)際上只要f（x）為以T為周期的周期函數(shù)，f ′（x）在其定義域內(nèi)就是周期函數(shù).”

五、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，主要顯現(xiàn)為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值，不僅便捷還省時(shí).高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式集中反映了導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用思想.導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小變量比的極限，反映函數(shù)的變化率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現(xiàn)瞬時(shí)速度.在結(jié)合課改和高中生身心發(fā)展現(xiàn)狀時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想和掌握導(dǎo)數(shù)的變化趨勢(shì)，成為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域必須關(guān)注的大事.這對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式解決高中生日常數(shù)學(xué)難題，具有積極的指導(dǎo)作用.