俞 海，郭榮鑫*，夏海廷，顏 峰，張玉波，何天淳

（1.昆明理工大學工程力學系云南省先進材料力學行為與微觀結(jié)構(gòu)設計高校重點實驗室，昆明650500；2.云南大學，昆明650500）

數(shù)字梯度敏感法在靜態(tài)斷裂力學實驗中的應用

俞 海1，郭榮鑫1*，夏海廷1，顏 峰1，張玉波1，何天淳2

（1.昆明理工大學工程力學系云南省先進材料力學行為與微觀結(jié)構(gòu)設計高校重點實驗室，昆明650500；2.云南大學，昆明650500）

為了研究斷裂力學問題中裂紋尖端區(qū)域的局部變形場和斷裂特性，采用數(shù)字梯度敏感法對帶有中心貫穿裂紋的有機玻璃有限寬板條進行了靜態(tài)實驗研究。實驗過程中通過CCD記錄裂紋尖端區(qū)域不同應力狀態(tài)下的散斑圖，對記錄的散斑圖進行相關運算，得到了不同應力狀態(tài)下裂紋尖端周圍區(qū)域內(nèi)的光線偏轉(zhuǎn)角，并通過偏轉(zhuǎn)角對Ⅰ型裂紋的應力強度因子進行了提取。結(jié)果表明，通過數(shù)字梯度敏感方法計算得到的應力強度因子與理論值吻合相對較好。

圖像處理；斷裂力學；數(shù)字梯度敏感；數(shù)字圖像相關；偏轉(zhuǎn)角；應力強度因子

引 言

數(shù)字梯度敏感［1-2］（digital gradient sensing，DGS）法是基于數(shù)字圖像相關（digital image correlation method，DIC）法［3-6］的一種非接觸、全場光學測量技術，其原理是根據(jù)應力導致光線的偏轉(zhuǎn)使透明材料表現(xiàn)出的彈光效應來建立面內(nèi)應力梯度與光線微小偏轉(zhuǎn)量之間的關系，偏轉(zhuǎn)角可以利用數(shù)字圖像相關方法來獲取。因為此方法對面內(nèi)應力梯度敏感，因此，利用它可以對平面應力狀態(tài)下的斷裂等應力集中問題進行研究。在對斷裂問題的研究中，全場測量方法還包括：光彈性法、云紋干涉法、焦散線以及相干敏感梯度法。這些方法由于對所采用的光源要求較高以及對材料的有所限制，而且需要對試樣表面進行大量處理等復雜的工序，因此其適用范圍受到很大限制。而數(shù)字梯度敏感基于數(shù)字圖像相關方法，因此它對環(huán)境要求低、光路簡單，而且具有可以實時、全場測量的特點故受到相關學者的重視。PERIASAMY用此方法研究了靜態(tài)和動態(tài)荷載下局部應力集中區(qū)域應力梯度的分布［7］。本文中基于此方法對有機玻璃（polymethyl methacrylate，PMMA）有限寬板條的中心貫穿裂紋進行了靜態(tài)實驗研究，得到了裂紋尖端周圍區(qū)域應力梯度場的分布圖，并對應力強度因子KⅠ進行了測量，獲得了與理論值吻合相對較好的結(jié)果。

1 基本原理

1.1 DGS方法原理

如圖1所示，用（x，y），（x0，y0）分別表示試件和目標板面內(nèi)笛卡爾坐標系，CCD光軸與z軸一致，L是CCD與試件中的距離。在參考狀態(tài)下（試件不受荷載），試件的厚度和折射率分別為B和n，目標板面上P點的信息通過試件上O點被CCD所記錄。在變形狀態(tài)下（試件受荷載），由于應力改變導致試件折射率的改變和泊松效應導致試件厚度的改變，使P點附近Q點的信息通過試件上O點被CCD所記錄。在此過程中，光路由參考狀態(tài)下的OP變?yōu)樽冃螤顟B(tài)下的OQ，因此，通過確定PQ和Δ（試件中平面與散斑板的距離）便可計算得到OQ相對于光軸的偏轉(zhuǎn)角φx和φy。

以O為原點，→i，→j和→k分別為笛卡爾坐標系下的單位方向向量，試件未變形時，→k與光軸重合，此時CCD通過試件O（x，y）點記錄散斑板面上P（x0，y0）點信息。試件發(fā)生變形時，由于光路的改變，散斑板面上Q（x0+δx，y0+δy）點通過O（x，y）點被CCD記錄，其中δx和δy分別為PQ在x，y方向上的分量。光路OQ的單位向量用下式表示：

式中，α，β和γ是→d的方向余弦。由應力改變導致的試件折射率變化和泊松效應導致的試件厚度變化產(chǎn)生的光程差表示如下［8］：

式中，n是試件未變形時的折射率，B是試件的厚度。方程中的第1項代表厚度變化引起的光程差，第2項代表折射率變化引起的光程差。根據(jù)Maxwell-Neumann定律和線彈性力學理論，對于光學各向同性且無雙折射性質(zhì)的材料，折射率變化與主應力之間的關系為［9］：

式中，Cσ=D1-（ν/E）（n-1）是材料的光學常數(shù)。由于彈光效應使光程發(fā)生改變導致光線相對于光軸的偏轉(zhuǎn)角，由光程函數(shù)得到的光傳播矢量為［8］：

從（1）式、（5）式、（6）式得知，對于小偏轉(zhuǎn)角，方向余弦與面內(nèi)應力梯度存在如下關系：

經(jīng)簡單幾何推導可以得到小偏轉(zhuǎn)角下方向余弦α，β與偏轉(zhuǎn)分量φx，φy之間的關系：

（9）式和（10）式便是數(shù)字敏感梯度法的控制方程，已知Cσ和B就可以得到面內(nèi)應力梯度，而δx，δy可利用2維數(shù)字圖像相關方法獲取。

1.2 數(shù)字圖像相關方法原理

數(shù)字圖像相關方法是對運動、變形前后所采集得到的物體表面的兩幅數(shù)字圖像（散斑圖像）進行相關匹配，以測量物體的位移、應變及場的分布，當物體表面變形時，物體表面的散斑隨物體的變形而運動，物體表面隨機分布的散斑點即為位移及變形的載體。其基本原理如圖2所示，在參考圖像中取以某待求像素點P（x0，y0）為中心的（2M+1）pixel×（2M+1）pixel大小的正方形區(qū)域作為參考圖像子區(qū)，在目標圖像中通過一定的搜索方法按預先定義的相關函數(shù)進行相關計算，尋找與參考圖像子區(qū)互相關系數(shù)最大或最?。ㄈQ于所選擇的相關函數(shù)）以P′（x0′，y0′）為中心的目標圖像子區(qū)，以確定P（x0，y0）點在x和y方向上的位移分量u和v。更詳細的內(nèi)容可以參考相關文獻［3-6］。

2 實驗研究

2.1 實驗

基于上述理論，本文中對透明PMMA有限寬板條的中心貫穿裂紋進行了靜態(tài)實驗。試樣的尺寸為400mm×100mm×3.8mm，中心裂紋為如圖3所示長度為31mm的尖裂紋。實驗前先對一表面平整的板面進行處理，使其表面具有隨機分布的散斑點以作為本文中實驗的目標板，并將其置于試件后方Δ處（本文中Δ=32mm），且保證與試件表面平行。然后用CCD記錄不同加載時刻目標板表面的散斑圖像作為目標圖像，采集圖像時通過調(diào)整CCD焦距使圖像最清晰為佳。實驗中圖像采集系統(tǒng)采用分辨率為2448pixel×2048pixel的CCD，標定系數(shù)為1mm= 95pixel。圖4為CCD聚焦于試件表面和目標板表面裂尖附近區(qū)域的圖像。從圖4可以看出，由于受邊界效應的影響，裂紋面附近區(qū)域的圖像相對模糊，因此在用數(shù)字圖像相關方法獲取裂尖附近的δx和δy時不再考慮此區(qū)域。

在對變形前后所采集的數(shù)字圖像進行相關運算時，采用作者編寫的基于MATLAB的數(shù)字圖像相關計算軟件，由于依附于MATLAB，因此可以很好地借助于MATLAB在數(shù)值計算和圖像處理方面的優(yōu)勢而擴展其相關功能，操作簡單、功能齊全。在相關計算中，由于加載過程中受應力集中的影響，試件裂尖附近區(qū)域?qū)膱D像變形較大，為了盡量保證實際變形與算法所采用形函數(shù)的匹配［10］，采用31pixel× 31pixel相對較小的計算子區(qū)。

圖5顯示了通過計算得到的裂尖附近矩形區(qū)域內(nèi)不同荷載下偏轉(zhuǎn)角φx和φy的等高線，可以看出偏轉(zhuǎn)角φx和φy分別呈軸對稱分布，而且越靠近裂紋尖端等高線越密，說明越靠近裂尖，應力奇異性越大，應力集中程度越高。這與參考文獻［9］中所采用方法得到的結(jié)果完全一致，與參考文獻［9］中所不同的是，數(shù)字敏感梯度法只需一次相關計算便可同時得到對應荷載下的偏轉(zhuǎn)角φx和φy。

2.2 KI的測定

根據(jù)WILLIAMS對Ⅰ型裂紋應力場的描述，面內(nèi)應力梯度描述如下［8］：

式中，對于PMMA，Cσ=-0.9×10-10m2/N。（r，θ）為定義在裂尖處的極坐標。A1=KⅠKⅠ為對應的Ⅰ型裂紋應力強度因子。在K主導假設前提下，上式中N≥2項相對于N=1項可以忽略。于是（11）式、（12）式化簡為：

從（13）式、（14）式可以看出，只要知道Cσ，B和偏轉(zhuǎn)角φx或φy便可計算得到應力強度因子KⅠ。本文中對0.3≤r/B≤1.2和-90°≤θ≤90°區(qū)域所包含點通過最小二乘提取應力強度因子，這樣可以有效減小因距裂尖過遠或過近對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響。根據(jù)Irwin應力強度因子理論，應力強度因子用如下公式計算［11］：

式中，C為幾何形狀因子，對于有限寬板條的中心貫穿裂紋（如圖6所示，其中，2a是裂紋的長度，2b是有限寬板的寬度），本文中采用Isida公式的最小二乘法擬合［11］：

將（16）式帶入（15）式可得：

式中，F(xiàn)是加載力。

采用此公式可以對本文中描述問題的應力強度因子進行理論計算。圖7顯示，本文中通過實驗計算得到的應力強度因子KⅠ與理論值吻合較好。

3 結(jié) 論

介紹了數(shù)字梯度敏感測量技術的基本原理，并將其運用于PMMA材料Ⅰ型裂紋尖端變形場和斷裂特征的測量，通過數(shù)字圖像相關方法對光線偏轉(zhuǎn)角的計算提取了Ⅰ型裂紋應力強度因子KⅠ。結(jié)果表明：DGS方法對斷裂力學裂紋尖端區(qū)域的應力梯度敏感；通過DGS方法測得的KⅠ與理論結(jié)果吻合較好；由于DGS方法對環(huán)境要求低、光路簡單，且與現(xiàn)已比較成熟的DIC方法相結(jié)合，在相關材料應力集中問題全場測量方面是一種行之有效的方法。

［1］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.A full-field reflection-mode digital gradient sensing method for measuring orthogonal slopes and curvatures of thin structures［J］.Measurement Science and Technology，2013，24（2）：025202.

［2］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.Measurement of orthogonal stress gradients due to impact load on a transparent sheet using digital gradient sensing method［J］.Experimental Mechanics，2013，53（1）：97-111.

［3］ BRUCK H A，MCNEIL S R，SUTTON M A，et al.Digital image correlation using Newton-Raphson method of partial differential correction［J］.Experimental Mechanics，1989，29（3）：261-267.

［4］ PETERS W H，RANSON W F.Digital imaging techniques in experimental stress analysis［J］.Optical Engineering，1981，21（3）：427-431.

［5］ CHU T C，RANSON W F，SUTTON M A，et al.Applications of digital-image-correlation techniques to experimental mechanics［J］.Experimental Mechanics，1985，25（3）：232-244.

［6］ YU H，GUO R X，XIA H T，et al.Experimental study on the elastic modulus of WC/Cu composite material with different WC content［J］.Laser Technology，2013，37（2）：140-143（in Chinese）.

［7］ PERIASAMY C，TIPPUR H V.A full-field digital gradient sensing method for evaluating stress gradients in transparent solids［J］.Applied Optics，2012，51（12）：2088-2097.

［8］ TIPPUR H V，KRISHNASWAMY S，ROSAKIS A J.Optical mapping of crack tip deformations using the methods of transmission and reflection coherent gradient sensing-a study of crack tip K-dominance［J］.International Journal of Fracture，1991，52（2）：91-117.

［9］ YAO X F，YU W，LIU D L，et al.Coherent gradient sensing interferometry technology and its application［J］.Journal of Experimental Mechanics，2006，21（5）：560-564（in Chinese）.

［10］ SCHREIER H W，SUTTON M A.Systematic errors in digital image correlation due to undermatched subset shape functions［J］.Experimental Mechanics，2002，42（3）：303-310.

［11］ LI Q F，LI S F.Fracture mechanics and its application in engineering［M］.Harbin：Harbin Engineering University Press，2008：29-253（in Chinese）.

Digital gradient sensing measurement applied in static fracture mechanics experiments

YU Hai1，GUO Rongxin1，XIA Haiting1，YAN Feng1，ZHANG Yubo1，HE Tianchun2
（1.Key Laboratory of Yunnan Higher Education Institutes for Mechanical Behavior and Microstructure Design of Advanced Materials，Department of Engineering Mechanics，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；2.Yunnan University，Kunming 650500，China）

In order to study the local deformation field of crack tip and fracture characteristics in fracture mechanics，static fracture tests of the limited-width polymethyl methacrylate specimen with center-crack were carried out with digital gradient sensing method.Speckle patterns under different states of stress near the crack tip were recorded by CCD in the experiment.Angular deflection was obtained by digital image correlation method and stress intensity factor in modeⅠcrack was extracted by angular deflection.It shows that the stress intensity factor calculated by digital gradient sensing measurement method is consistent with theoretical results.

image processing；fracture mechanics；digital gradient sensing；digital image correlation；angular deflection；stress intensity factor

O348.1

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.011

1001-3806（2014）05-0627-05

云南省應用基礎研究基金面上資助項目（2011FB029）；教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20105314110006）

俞 海（1986-），男，碩士研究生，主要從事光測實驗力學的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：guorx@kmust.edu.cn

2013-09-23；

2013-10-29