任慧英

摘要：在三角形角平分線一章中，經(jīng)常出現(xiàn)三角形及多邊形中（內(nèi)、外）角平分線的夾角計(jì)算問(wèn)題，這一問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)此常常不能很好地掌握。本文主要針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：三角形；角平分線；例題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）03-0100

在三角形這一章的教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)有一類典型題經(jīng)常出現(xiàn)，即：三角形及多邊形中（內(nèi)、外）角平分線的夾角計(jì)算問(wèn)題，因其過(guò)程中涉及的知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)，從而成為幾何問(wèn)題中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。筆者現(xiàn)就這一問(wèn)題進(jìn)行歸納、推導(dǎo)。

問(wèn)題1：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)I。請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BIC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論1：∠BIC=90°+■∠A

理由如下：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)I

∴∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=90°+■∠A

問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BOC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論2：∠O=90°-■∠A

證法一（利用三角形內(nèi)角和定理及其推論）：

∵點(diǎn)O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分線的交點(diǎn)

∴∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB=180°-■（180°+∠A）=90°-■∠A

證法二（利用問(wèn)題1中的結(jié)論）：作∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)I，則顯然有∠BIC=90°+■∠A。由于鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直，所以，∠IBO=∠ICO=90°。

在四邊形IBOC中，∠O=180°+180°-∠IBO-∠ICO-∠BIC=90°-■∠A。

問(wèn)題3：如圖，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠D之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論3：∠D=■∠A。

證法1（利用三角形外角和定理及其推論）：

∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點(diǎn)

∴∠DBC=■∠ABC，∠ACD=■∠ACE

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB

=180°-∠DBC-（∠ACB+∠ACD）

=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ACE

=（180°-∠ABC-∠ACB）-■∠A=∠A-■∠A=■∠A。

證法2：（利用外角的性質(zhì)）

∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACE的平分線的交點(diǎn)

∴∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

證法3：（利用問(wèn)題1中的結(jié)論）

作∠ACB的平分線交BD于I。由結(jié)論①可知，∠BIC=90°+■∠A。

由于鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直，所以∠ICD=90°。

又∠BIC=∠ICD+∠D，故∠D=∠BIC-∠ICD=（90°+■∠A）-90°=■∠A。

應(yīng)用舉例：例1. 已知：如圖，∠XOY=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OX、OY上移動(dòng)，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C，試問(wèn)∠ACB的大小是否變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)發(fā)生變請(qǐng)求出變化范圍。

推廣一：推廣到三角形內(nèi)角的n等分線的夾角

問(wèn)題4：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分線相交于點(diǎn)I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BIC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論4：∠BIC=120°+■∠A。理由如下：

∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=120°+■∠A。

問(wèn)題5：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分線相交于點(diǎn)I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BIC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論5：∠BIC=60°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=60°+■∠A。

問(wèn)題6：如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的n等平分線相交于點(diǎn)I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■ACB，并且-1≤m≤n-1請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BIC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論6：∠BIC=（1-■）180°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB

=180°-■（180°-∠A）=（1-■）180°+■∠A。

推廣二：推廣至外角n的等分線的夾角

問(wèn)題7：如圖，點(diǎn)O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的n等分線的交點(diǎn)，并且∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB，并且1≤m≤n-1，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠BOC之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論7：∠O=（1-■）180°-■∠A。

理由如下：∵∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB

=180°-■（180°-∠ABC+180°-∠ACB）

=180°-■（180°+∠A）=（1-■）180°-■∠A。

推廣三：推廣至內(nèi)、外角n的等分線的夾角

問(wèn)題8：如圖，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACE的n等分線的交點(diǎn)，并且∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE，并且1≤m≤n-1，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示∠A與∠D之間具有的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

結(jié)論8：∠D=■∠A。

理由如下：

∵∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

推廣四：推廣至四邊形的鄰角平分線的夾角

問(wèn)題9：在ABCD中，BO是∠B的平分線，CO是∠C的平分線，試求∠O與∠A，∠D的關(guān)系。

結(jié)論9：∠O=■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠ABC、∠DCB的平分線相交于點(diǎn)O

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=■（∠A+∠D）

應(yīng)用舉例：在ABCD中，BO是∠B的平分線，CO是∠C的平分線，并且∠A+∠D=200°，求∠BOC的度數(shù)。

問(wèn)題10：在ABCD中，BO是∠B的n等分線，CO是∠C的n等分線，并且∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB，其中1≤m≤n-1，試求∠O與∠A，∠D的關(guān)系。

結(jié)論10：∠O=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

推廣五：推廣至凹四邊形的對(duì)角平分線的夾角

問(wèn)題11：如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，假∠A>∠D，求∠P與∠A、∠D的關(guān)系。

結(jié)論11：∠P=■（∠A-∠D）

理由如下：∵∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P

∴∠ACD=2∠ACP，∠ABD=2∠ABP

又∵∠ACD=∠A+∠D+∠ABD

∴2∠ACP=∠A+∠D+2∠ABP

（上接第101頁(yè)）

∴∠ACP-∠ABP=■（∠A+∠D）∵∠AEP=∠ACP+∠P，∠AEP=∠ABP+∠A

∴∠P=∠A+∠ABP-∠ACP=∠A-（∠ACP-∠ABP）=∠A-■（∠A+∠D）=■（∠A-D）

應(yīng)用舉例：如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數(shù)為（ ）

A. 15° B. 20°

C. 25° D. 30°

解題規(guī)律能幫助學(xué)生打開解題思路，加快解題速度。因此，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要重視對(duì)知識(shí)的積累、提煉、總結(jié)與提高。這五個(gè)推廣前四個(gè)會(huì)自然而然想到，第五個(gè)推廣是在做題中遇到的，當(dāng)然還有一些情況沒有討論。比如推廣四中照樣可以推廣到四邊形外角平分線的夾角及內(nèi)外角平分線的夾角的情況，還可以推廣到等分線的情況，這里不再討論。筆者相信掌握了這些解題方法，就可以觸類旁通，快速找到解題思路。

（作者單位：山西省長(zhǎng)治市沁源縣太岳中學(xué) 046500）