段存麗，王 濤，范明國(guó)，王振宇

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院，陜西西安 710032)

激光諧振腔近場(chǎng)自再現(xiàn)模式分布的研究

段存麗，王 濤，范明國(guó)，王振宇

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院，陜西西安 710032)

根據(jù)對(duì)稱共焦腔的基本衍射理論，對(duì)激光光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模式理論進(jìn)行了分析，建立了方形反射鏡諧振腔和圓形反射鏡諧振腔橫向模式空間分布的數(shù)學(xué)模型。利用MATLAB軟件，對(duì)選取確定的腔長(zhǎng)和反射鏡半徑、輸出波長(zhǎng)的激光諧振腔橫向模式進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算仿真，模擬的結(jié)果直觀、形象地反映了不同模式下的光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模的空間分布。選取輸出波長(zhǎng)為800 nm、脈沖寬度為120 fs鈦寶石飛秒激光器進(jìn)行模式測(cè)試，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了激光器的光場(chǎng)分布與仿真結(jié)果非常符合。證實(shí)建立的理論模型是正確的。

激光諧振腔;自再現(xiàn)模式;數(shù)學(xué)模型;數(shù)值模擬計(jì)算

1 引 言

使激光器產(chǎn)生激光的三要素［1］有:(1)提供放大作用的增益介質(zhì)作為激光工作物質(zhì);(2)合適的外界激勵(lì)源;(3)光學(xué)諧振腔。光學(xué)諧振腔的特性可以控制激光束的輸出參數(shù)，一般的激光器光學(xué)諧振腔大多數(shù)是穩(wěn)定的球面腔，而任意一個(gè)穩(wěn)定的球面腔都可等價(jià)成一個(gè)對(duì)稱共焦腔，因而研究不同條件下的對(duì)稱共焦腔的特性是具有普遍性的。本文主要針對(duì)于對(duì)稱共焦激光諧振腔，利用光學(xué)諧振腔的衍射理論，推導(dǎo)了穩(wěn)定的共焦球面諧振腔輸出光場(chǎng)各點(diǎn)的光場(chǎng)空間分布情況，建立不同條件的激光束在空間的分布理論模型，并選取不同的條件進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與激光器實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相符。

2 理論建模

常見的激光諧振腔的腔鏡有方形和圓形兩種，以下就從這兩個(gè)方面來作理論分析，建立數(shù)學(xué)模型。

2.1 方形反射鏡諧振腔的光場(chǎng)分布模型

圖1 方形鏡共焦腔

將式(2)代入方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模所對(duì)應(yīng)的積分方程［1－2］:

方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模所對(duì)應(yīng)的積分方程為:

對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)變量代換:

在式(6)中不存在X和Y的交錯(cuò)乘積項(xiàng)，可以進(jìn)行變量分離。由上式可以看出來欲求解自再現(xiàn)模問題就等于變量分離之后求解以下兩個(gè)積分方程的本征值問題，如下所示:

對(duì)于方形鏡腔的自再現(xiàn)模的數(shù)學(xué)模型式(10)，若已知激光諧振腔的腔長(zhǎng)L，輸出光波的波長(zhǎng)λ，選取某一模式的參數(shù)m，n值，代入式(10)，可計(jì)算出該模式下的空間光場(chǎng)分布。

2.2 圓形諧振腔的光場(chǎng)分布數(shù)學(xué)模型

設(shè)圓形鏡鏡腔直徑2a，腔長(zhǎng)L，光波波長(zhǎng)λ，并且把x，y坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在鏡面上:

可以證明的是，當(dāng)腔菲涅耳數(shù)N趨近于無窮的時(shí)候，圓形鏡共焦腔積分方程的本征函數(shù)近似解可以表達(dá)為拉蓋爾－高斯函數(shù)，圓形腔的自再現(xiàn)模的數(shù)學(xué)模型為:

對(duì)于圓形鏡腔的自再現(xiàn)模的數(shù)學(xué)模型式(12)，若已知激光諧振腔的腔長(zhǎng)L，輸出光波的波長(zhǎng)λ，選取某一模式的參數(shù)m，n值，代入式(12)，可計(jì)算出該模式下的空間光場(chǎng)分布。

3 根據(jù)理論數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計(jì)算仿真

3.1 方形腔的光場(chǎng)分布仿真

利用MATLAB軟件進(jìn)行模擬［3－4］，在模擬的過程中，取腔鏡邊長(zhǎng)2a=4 mm，球面腔長(zhǎng)為R=L= 0.5 m，激光輸出光波波長(zhǎng)λ=0.6328μm，當(dāng)m和n取不同值的條件下，對(duì)光強(qiáng)進(jìn)行最大值歸一化。利用式(10)數(shù)值計(jì)算仿真，仿真結(jié)果在表1中，圖(a)對(duì)應(yīng)的x方向和y方向的一維空間分布圖，圖(b)為三維的空間場(chǎng)分布圖，圖(c)二維空間光強(qiáng)灰度圖［5－7］。

仿真計(jì)算的結(jié)果顯示，在模式參數(shù)m、n取不同值的情況下光強(qiáng)的分布情況是不同的。當(dāng)m= 0，n=0的時(shí)候，所對(duì)應(yīng)的橫模稱為基模，此時(shí)輸出光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單，僅為一個(gè)圓斑，光場(chǎng)分布均勻，能量最集中，大多數(shù)的激光器輸出這個(gè)模式。模式參數(shù)m、n的值越大，輸出光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，光場(chǎng)分布不均勻，光場(chǎng)分布也越向外擴(kuò)散，光場(chǎng)空間整體為矩形分布。

3.2 圓形腔的光場(chǎng)分布仿真

同理在圓形腔的模擬過程中，取腔鏡邊長(zhǎng)2a= 4 mm，球面腔長(zhǎng)為R=L=0.5 m，激光輸出光波波長(zhǎng)λ=0.6328μm，當(dāng)m和n取不同值的條件下，對(duì)光強(qiáng)進(jìn)行最大值歸一化，利用式(12)數(shù)值計(jì)算仿真，仿真結(jié)果在表2中，圖(a)對(duì)應(yīng)的x方向和y方向的一維空間分布圖，圖(b)為三維的空間場(chǎng)分布圖，圖(c)二維空間光強(qiáng)灰度圖。

仿真計(jì)算的結(jié)果顯示，在模式參數(shù)m、n取不同值的情況下光強(qiáng)的分布情況是不同的。當(dāng)m=0，n=0對(duì)應(yīng)的基橫模，光場(chǎng)分布與方形腔的分布情況相同，僅為一個(gè)光場(chǎng)均勻、能量集中的圓斑。當(dāng)模式參數(shù)m、n的值越大，輸出光場(chǎng)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，光場(chǎng)分布也越向外擴(kuò)散，圓形腔光場(chǎng)空間整體為圓形分布。

表1 不同模式下方形腔的光場(chǎng)空間分布數(shù)值計(jì)算結(jié)果

表2 不同模式下圓形腔的光場(chǎng)空間分布數(shù)值計(jì)算結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

一般常用的圓形鏡諧振腔He-Ne連續(xù)激光器的光場(chǎng)分布TEM00，這個(gè)實(shí)驗(yàn)非常清楚，實(shí)驗(yàn)非常容易驗(yàn)證。本實(shí)驗(yàn)選取脈沖的鈦寶石激光飛秒激光器(型號(hào):Verdi-v10+Mira900)，輸出波長(zhǎng)為800 nm，脈沖寬度為120 fs，重復(fù)頻率為 76 MHz。對(duì)其出射光場(chǎng)分布進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖2所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)試激光器是圓形諧振腔，激光光場(chǎng)輸出的模式TEM10，與MATLAB軟件數(shù)值計(jì)算仿真的結(jié)果完全符合，證實(shí)了建立的理論數(shù)學(xué)模型是正確的。

圖2 飛秒激光光場(chǎng)分布測(cè)試結(jié)果

5 結(jié) 論

根據(jù)對(duì)稱共焦腔的衍射理論，對(duì)激光光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模理論進(jìn)行了分析，推導(dǎo)了諧振腔與腔參數(shù)之間的定量關(guān)系式，建立了方形反射鏡和圓形反射鏡諧振腔的數(shù)學(xué)模型。利用MATLAB軟件，對(duì)激光腔長(zhǎng)、激光腔的反射鏡的大小以及激光輸出波長(zhǎng)等條件確定的情況下，進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算仿真，仿真結(jié)果反映了不同條件下的光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模的空間分布。實(shí)驗(yàn)選取脈沖的鈦寶石激光飛秒激光器進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果與仿真光場(chǎng)分布非常符合，說明分析推導(dǎo)建立的數(shù)學(xué)模型是正確的。

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Research on the distribution of near-field self-reproducing mode in laser resonator

DUAN Cun-li，WANG Tao，F(xiàn)AN Ming-guo，WANG Zhen-yu
(School of Optoelectronic Engineering，Xi’an Technological University，Xi’an 710032，China)

According to the basic diffraction theory of symmetric confocal cavity，the theory of self-reproducingmode of laser optical resonant cavity is analyzed，mathematicalmodels of squaremirrors resonator and circularmirror resonator for transversemode spatial distribution are established.Numerical simulation is done for a given length of resonator，radius ofmirror and the laser resonator’s transversemodes are obtained by using MATLAB software.Results of the simulation demonstrate spatial distribution of the self-reproductionmodel in differentmodes of optical resonator.In the experiment，the Ti:sapphire FS laser is selected，output wavelength and pulse width of this laser are 800 nm，120 fs respectively.The experiments prove that laser light field distribution is very consistent with the simulation results.It confirms that the theoreticalmodel is correct.

laser resonator;self-reproduction mode;mathematicalmodels;numerical simulation

O43

A

10.3969/j.issn.1001-5078.2014.05.005

1001-5078(2014)05-0496-06

陜西省教育廳項(xiàng)目(No.12JK0980)資助。

段存麗(1972－)，女，副教授，主要研究方向?yàn)榧す饧夹g(shù)和光學(xué)檢測(cè)。E-mail:duancunli2003@126.com

2013-09-20