馮桂群

“倍”這一數(shù)學概念比較抽象，二年級學生必須通過大量的感性材料及自身的動手操作、觀察思考、抽象推理等活動，才能實現(xiàn)對其真正理解與靈活建模?，F(xiàn)擷取三個片段與大家共同分享。

片段一：游戲情境中鏈接引新，使學生學得主動而深刻

（課前談話介紹拍手有延長壽命、變得聰明、給人快樂等好處）

師：這節(jié)課就從拍手數(shù)數(shù)開始，行不行？聽，我拍了幾下？

生：3下。

師：如果把老師拍的3下畫出來，你想到畫什么？

生1：畫叉。

生2：畫小圓圈。

……

師：不管畫什么都可以，但是哪種簡便就畫哪種。你覺得畫什么比較簡便？

生1：畫圓圈。

生2：畫一豎非常簡便。

師：豎線、圓圈都很簡便。老師現(xiàn)在就來畫3個圓圈。

師：請你們再拍手6下。（生一起拍手）

師：如果讓你們上來畫，要畫幾個圓圈？

生：6個。

（師在黑板上畫完后讓學生一齊數(shù)出6個）

師：比較這兩個數(shù)，你覺得6和3之間有怎樣的關系？

生1：6是3的2倍。

師：真了不起，還可以怎么說？

生2：6比3多3個。

師：反過來可以怎么說？

生齊：3比6少3個。

師：這是說6和3相差3個。除了發(fā)現(xiàn)6和3的相差關系，我們還發(fā)現(xiàn)了什么？

生：2個3就是6。

師：反過來說6里面有——

生：6里面有2個3。

師：他說，6里面不多不少，正好有——

生齊：2個3。

師：伸出手，跟老師一起將2個3圈出來。

師：誰能拍拍手，讓人一聽就知道是2個3。（指名生拍）

師：拍3下快一點，中間停頓長些，就更好了。我們一起拍一下。（師生齊拍2個3）

師：6里面正好有2個3，我們就說6和3之間正好有2倍的關系。（板書：（ ）是（ ）的2倍）

師：想一想，6和3之間，誰是誰的2倍？同桌之間互相說一說。

生：6是3的2倍。（讓生齊讀這句話）

師：為什么說“6是3的2倍”？

生：因為6里面正好有2個3。

師：對，因為6里面正好有2個3，所以6是3的2倍。“倍”就是我們今天要認識的新朋友，它是專門用來表示兩個數(shù)之間關系的。想不想跟“倍”交朋友？誰來跟“倍”打個招呼？

生1：嗨，你好，“倍”！

生2：歡迎你，“倍”，我們來交個朋友吧！

師：想不想跟它交朋友？

生齊：想！

師：能不能跟“倍”交上朋友，就要看我們對“倍”的認識是不是深刻。想想看，還有哪兩個數(shù)之間有2倍的關系？

生1：2是1的2倍。

生2：10是5的2倍。

……

師：說得完嗎？

生：說不完。

師：好，我們繼續(xù)玩拍手游戲。

評析：課一開始，教師巧妙地將學生喜歡的拍手游戲引入課堂，并以“玩拍手游戲”這一情境串來組織教學，有效地吸引了學生的身心，體現(xiàn)了數(shù)學學習的趣味性。同時，又通過多個相關聯(lián)的問題情境，讓學生在情境中思考、建模，很好地體現(xiàn)了數(shù)學學習的思考性。如，通過如何將拍手的3下畫下來，培養(yǎng)學生的符號意識和

求簡思維；通過讓學生看圖說出6與3的關系，巧妙地激活兩數(shù)的相差關系，同時引出倍數(shù)關系并建立2倍的概念——6里面有2個3，6就是3的2倍。之后，又讓學生在類推中說出還有哪兩個數(shù)之間也有2倍的關系。此時，教師已巧妙地將具體數(shù)量間的倍數(shù)關系抽象為兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系，從而進一步拓展了有關“2倍”概念的外延。在上述學習過程中，學生心動、情動、身動、思動，學得生動而深刻，使學生真正享受了“有營養(yǎng)又好吃”的數(shù)學。

片段二：有序操作中抽象建模，使學生學得生動而深厚

師：剛才我們通過拍手游戲初步認識了“倍”。為了能真正成為“倍”的好朋友，我們還要對它作進一步的認識。下面通過畫一畫、圈一圈來加深對“倍”的認識，好不好？

生：好！

師：拿出作業(yè)紙，我們來畫小棒并圈一圈。聽好要求：第一行畫2根小棒，第二行畫6根小棒。第二行小棒怎么圈，就能讓人一眼看出6是2的（ ）倍？

生：2個2個地圈，有3個2，6是2的3倍。

師：畫對的舉手，真好！下面來一個小棒多一點的，難一點的。聽好要求：第一行畫3根小棒，第二行畫15根小棒。動腦筋想一想，第二行的小棒怎么圈，就能一眼看出15是3的（ ）倍？

生：3個3個地圈，有5個3，15是3的5倍。

師：真能干！接下來的小棒更多：第一行畫8根小棒，第二行畫40根小棒。老師有一個要求：如果你不畫就知道了40是8的幾倍的，就不畫了。

生：40是8的5倍。

師：怎么想的？

生：40÷8=5。

師：為什么想到了用除法計算呢？

生：因為求40里面有幾個8，所以用除法。

師：對了，求40里面有幾個8可以用除法算。因為“倍”表示的是兩個數(shù)的關系，所以“倍”不是單位名稱，算式40÷8=5后面不要寫單位。

師：如果小棒的根數(shù)更多，能不能算出來？

生：能！

師：第一行8根小棒，第二行72根小棒。72是8的幾倍？

生：72÷8=9，72是8的9倍。

師：回到一開始我們所畫的3個圓圈和6個圓圈，要求6是3的幾倍，可以怎樣列式計算？

生：6÷3=2。

師：6÷3=2表示——

生齊：6是3的2倍。

評析：在建立有關“倍”的概念與算法過程中，教師能引導學生進行由直觀到抽象的有序操作活動，使學生真正經(jīng)歷并體驗了有關“倍”的建模過程——先通過拍、畫、看、說，讓學生初步建立2倍、3倍的概念；接著通過圈小棒、說寫倍數(shù)關系，讓學生進一步明晰：一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)，這個數(shù)就是另一個數(shù)的幾倍。最后通過將小棒的根數(shù)變大，讓學生在自主求簡中自然而然地探索出求誰是誰幾倍的算法：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，就是要看這個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)，用除法算。

在以上建模過程中，教師有序引領學生經(jīng)歷拍手掌、圈小棒、說思路、抽象出除法模型等數(shù)學學具操作、符號操作和言語表述的活動過程，將學生內隱的思維過程表征出來，使隱性的思維活動顯性化，讓學生在主動而有序的操作過程中經(jīng)歷多次的抽象與推理，最終實現(xiàn)有效的建模，從而扎實有效地積累數(shù)學活動經(jīng)驗，滲透抽象、推理、建模的數(shù)學基本思想和拍、畫、圈、算等逐步抽象化的數(shù)學方法，很好地體現(xiàn)了新一輪課標中有關落實“四基”的教學理念，使有活動和有思想的數(shù)學學習成為學生“成長的載體”，讓學生能帶走一輩子并終身受用。

片段三：變式練習中運用拓展，使學生學得靈動而深遠

師：圖1表示誰的人數(shù)是誰的5倍？

生：男生人數(shù)是女生的5倍。

師：看，現(xiàn)在呢？（指圖2）誰來完整地說一說？

生：男生人數(shù)是女生的3倍。

師：再看（指圖3），誰來說一說？

生：男生人數(shù)是女生的2倍。

師：再來看（指圖4），誰是誰的幾倍？

生：男生人數(shù)是女生的1倍。

師：女生人數(shù)和男生人數(shù)一樣了，“男生人數(shù)是女生的1倍”還可以怎么說？

生：女生人數(shù)是男生的1倍。

師追問：女生人數(shù)一直沒變，為什么男女生人數(shù)的倍數(shù)關系卻變了呢？

生：因為男生人數(shù)在變化，所以他們的倍數(shù)關系就變化了。

……

師：○的個數(shù)是△的3倍。你能畫圖表示這樣的關系嗎？想一想，有沒有不同的表示方法？看誰的方法最巧妙？說說你怎么畫的？

生1：圓畫9個，三角形畫3個。

師：同意嗎？掌聲送給她。還有不同的畫法嗎？

生2：圓畫3個，三角形畫1個。

師：還有不同的畫法嗎？

生3：圓形畫6個……

師：停，大家猜猜看，他的三角形畫了幾個？

生齊：2個。

師：假如三角形畫4個，圓形畫多少個？

生：12個。

師：假如圓形畫15個，三角形畫多少個？

生：5個。

師：觀察圖5這兩排數(shù)，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：第一排數(shù)從小到大在變，第二排數(shù)也在變。

師：第一排的數(shù)每次多多少？

生齊：1。

師：第二排的數(shù)每次多多少？

生齊：3。

師：能發(fā)現(xiàn)什么是不變的嗎？

生：圓形個數(shù)總是三角形的3倍。

師：真好！那表示圓與三角形個數(shù)3倍關系的畫法有多少種？

生：無數(shù)種。

師：如圖6，老師用條形圖來這樣表示可不可以？

生：可以。

師：能簡潔點嗎？不畫長方形了，可以畫什么？

生：畫線段。

師：對，如圖7，可以用線段圖來表示。

師：請看：蘋果個數(shù)是梨的幾倍？先一起來數(shù)一數(shù)蘋果的個數(shù)。

生：1、2、3、4、5、6、7、8，8個。

師：梨被藏在藍色長方形的后面，猜猜看，梨有幾個？蘋果個數(shù)是梨的幾倍？

生：梨有4個，蘋果個數(shù)是梨的2倍。

師：好！再猜，梨還可以是幾個？（猜到有8個，2個，1個）

……

生：還可以是3個。

師：如果梨有3個，蘋果個數(shù)是梨的幾倍呢？

生：蘋果個數(shù)是梨的2倍多2個。

師：看一下，去掉2個，蘋果個數(shù)正好是梨的2倍，所以說——

生齊：蘋果個數(shù)是梨的2倍多2個。

師：那添上一個，蘋果個數(shù)正好是梨的3倍，但添上的這一個實際上是沒有的，所以說蘋果個數(shù)是梨的——

生齊：3倍少1個。

……

評析：在練習環(huán)節(jié)，教師安排了三個維度的變式教學。第一個維度是先出現(xiàn)男生人數(shù)是女生5倍的條形圖，然后3次變化男生人數(shù)的條形圖，讓學生感悟其中的規(guī)律：一份數(shù)不變，另一份數(shù)變了，兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系就變了。第二個維度是出現(xiàn)“圓形個數(shù)是三角形的3倍”這一不變的倍數(shù)關系，讓學生在開放的思考空間想出多種具體的畫法，不僅再次讓學生感受數(shù)學學習中變與不變的規(guī)律，還巧妙地滲透了函數(shù)思想和數(shù)形結合的思想，并抓住時機及時地引導學生學會更抽象、更簡潔的數(shù)學化表征方式。第三個維度告訴學生蘋果8個，讓他們猜出梨的個數(shù)并說出蘋果個數(shù)是梨的幾倍。這里，學生的思維空間一下子被打開了，創(chuàng)造熱情空前高漲。學生不僅會想到梨的個數(shù)是1、2、4、8個，還想到可能是3個，等等。這樣就將兩種水果的倍數(shù)關系由整數(shù)倍拓展到幾倍多幾和幾倍少幾的情況，從而為后續(xù)學習打下伏筆，同時又溝通相差關系與倍數(shù)關系之間的聯(lián)系，實現(xiàn)了對兩數(shù)關系認識的整體建構，同時也很好地培養(yǎng)了學生的開放思維，彰顯了數(shù)學思考的迷人魅力。

◇責任編輯：徐新亮◇