柯炳春

目前，中考考場雖然無法直接考查“課題學習”的實踐過程，但試題的設(shè)計可以呈現(xiàn)學生獨立利用數(shù)學知識和數(shù)學能力觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的過程，呈現(xiàn)學生自主探索研究的課題學習過程。因此，在初中數(shù)學“課題學習”的復習教學中，仍應重視過程性教學，以更好地促進學生理解知識，發(fā)展應用意識和思維能力，提高復習效益。重視復習問題的選擇，以讓學生能夠經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程，是我們在實際教學中可采用的有效方法.

一、重現(xiàn)數(shù)學知識的產(chǎn)生過程，提高建模能力

《2014年福建省數(shù)學學科考試大綱》指出，課題學習要結(jié)合實際，會提出、探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程.進而體驗從實際問題抽象出數(shù)學問題、建立數(shù)學模型，綜合應用已有的知識解決問題的過程.建模能力是初中數(shù)學課題學習的核心能力之一.因此，在課題復習教學過程中，教師要重視依托實際問題為背景重現(xiàn)數(shù)學知識的產(chǎn)生過程，讓學生重溫從實際問題中提煉出數(shù)學問題，進而轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型的過程，以促進學生建模能力的提升.

例1 一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖1，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立向高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m.已知：李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高度CD的長（精確到0.1m）.

本題依托學生身邊的實際問題為背景，貼近學生的生活現(xiàn)實，圍繞著初中數(shù)學的核心知識呈現(xiàn)數(shù)學知識的產(chǎn)生過程進行合理設(shè)置問題，有利于引導學生日常注意從身邊的事物與活動中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題、提煉出數(shù)學問題.在問題解決的過程中，讓學生重溫“問題情境—建立模型—求解”的基本過程，學會從實際問題中提煉出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的建模能力，有效提升課題學習復習效益.

二、展現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程，培養(yǎng)研究方法

經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，是學生獲取感性知識，習得學習、研究問題方法的主要來源.《課程標準（實驗稿）》在課題學習的具體目標培養(yǎng)提出在學習過程中要獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學知識.數(shù)學課題學習為學生營造了一種“研究”的氣氛，學生在教師的指導下，以課題為中心展開研討活動，通過動手實踐、自主探索和合作交流等學習方式來“做數(shù)學”；實際上是給學生提供了一個自主學習的體驗和實踐機會，讓學生在學習的過程中接觸到一些有研究和探索價值的題材和方法，幫助學生全面認識數(shù)學、理解數(shù)學.因此，在課題復習教學過程中，應當重視選題，重新展現(xiàn)“知識背景-知識形成-揭示聯(lián)系”的數(shù)學知識的形成過程，讓學生經(jīng)歷必要的猜想與驗證、分析與研究的數(shù)學思維活動；促進學生在“研究”活動中進行獨立思考、自主探索、發(fā)現(xiàn)知識、尋找規(guī)律，提升學生的綜合與實踐能力，培養(yǎng)數(shù)學的學習、研究方法.

例2 閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：

sin30°=■，cos30°=■，則sin230°+cos230°= ；①

sin45°=■，cos45°=■，則sin245°+cos245°= ；②

sin60°=■，cos60°=■，則sin260°+cos260°= ；③

……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A= .④

（1）如圖2，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；

（2）已知：∠A為銳角（cosA>0）且sinA=■，求cosA.

本題利用學生掌握較為扎實的“銳角三角函數(shù)”知識為背景，從特殊的銳角函數(shù)值這一基礎(chǔ)的數(shù)學知識入手，讓學生經(jīng)歷“特殊-猜想-一般”和“猜想-論證-應用”的數(shù)學學習、研究歷程.在問題解決的過程中，學生通過自主的計算、猜想、概括等數(shù)學思維活動，親身經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，進一步加深對相關(guān)數(shù)學知識的理解，認識數(shù)學知識之間的聯(lián)系，體驗數(shù)學的研究活動的真諦，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與提升，有效培養(yǎng)數(shù)學研究方法.

三、呈現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)展過程，提升學習能力

數(shù)學教學應當關(guān)注學生的長遠發(fā)展，課堂教學不僅要關(guān)注學生的數(shù)學學習現(xiàn)況，而且重視激發(fā)學生后續(xù)的學習潛力，不可忽視對數(shù)學學習能力的培養(yǎng)，為終身教育和可持續(xù)發(fā)展做準備.從課題學習的教學功能上分析，數(shù)學課題學習追求的目標不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生去經(jīng)歷、去嘗試數(shù)學學習、研究活動，通過數(shù)學學習活動學會數(shù)學的思維，獲得創(chuàng)造性數(shù)學思維活動的經(jīng)驗，感悟數(shù)學的思想方法，培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識，提高數(shù)學學習能力.因此，在課題學習的復習教學中，應當重視呈現(xiàn)數(shù)學知識的發(fā)展過程，引導學生去體驗、感受知識擴充、拓展的經(jīng)過，以及向前發(fā)展的方向、知識之間的聯(lián)系與綜合，獲得數(shù)學學習能力的提升.

例3 在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx） （x為自然數(shù)）.例：如圖3，直線a分別交AB、AC于P、N點，則 PN是△ABC的一條相似線.

應用：（1）如圖3，∠A=90°， ∠C=55°，PN是△ABC的一條相似線，則∠ANP= 度.

（2）如圖3，∠A=90°，設(shè)∠B=∠C，當BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC， l2∥AC），此外還有 條.

探究：如圖4，∠A=90°，∠B=30°，當■為何值時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的■？

本題以學生熟悉的“相似形”為背景，發(fā)展導出“三角形相似線”這一新概念，并從定義、舉例、應用、探究四個逐步深入的方式進行設(shè)置問題.在問題解決過程中，有效地促使學生進行動手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、思考歸納、推理論證等數(shù)學思維活動，認識、理解、應用、探究的數(shù)學學習歷程；有效地將學習過程中的觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、概括、創(chuàng)新等數(shù)學思維活動暴露出來，有利用于學生數(shù)學學習能力的提升.

課題學習的內(nèi)容是具有打挑戰(zhàn)性的，各地中考數(shù)學試卷中與“課題學習”有關(guān)的試題，從顯性上看似乎是在考查基礎(chǔ)知識及應用能力等，但從隱性上看卻在考查學生在解決一些具有挑戰(zhàn)性問題的策略、方法和能力.這相當于在考查學生在平時課題學習的過程中所積累下來的包括建模、探究、學習能力、學習策略、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等數(shù)學能力.因此，在“課題學習”的復習教學時，要善于選擇課題，有效引導學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程，誘導學生主動進行數(shù)學探究、實驗、概括、應用等思維活動，加深理解相關(guān)的數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學思維能力，掌握基本的科研方法，提高數(shù)學建模、探究、學習、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等課題學習的核心能力，使課題學習的復習效益得于有效提升.