崔北祥

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解常見幾何體的體積公式和表面積公式;基本幾何體中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，特別是平行和垂直;掌握三視圖和直觀圖的畫法原理;另外要熟悉三個(gè)關(guān)系：一是三棱錐與四棱錐之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系;二是多面體與球體之間的組合關(guān)系;三是三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 努力培養(yǎng)觀察能力，尋求不規(guī)則幾何體與規(guī)則幾何體之間的聯(lián)系，掌握必要的“割補(bǔ)”技巧，熟練空間與平面之間的合理轉(zhuǎn)化，把握準(zhǔn)確切入試題的角度.

難點(diǎn)：其一，怎樣合理地選擇底和高求幾何體的表面積與體積;其二，怎樣恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“割補(bǔ)”、平面到空間的折疊和空間到平面的展開.

方法突破

一、求空間幾何體表面積與體積的基本步驟

求空間幾何體的表面積和體積的基本步驟是：先識(shí)圖，根據(jù)題目給出的圖形，想象出幾何體的形狀和有關(guān)線、面的位置關(guān)系，比如由三視圖想象直觀圖;再畫圖，根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明;接著要變圖，對圖形進(jìn)行必要的分解、組合，對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)，從不同的角度認(rèn)識(shí)圖形，選擇不同的高和底;最后解圖，明確目標(biāo)三角形，解三角形求出圖中的數(shù)量關(guān)系.

二、求空間幾何體表面積與體積的基本技巧

（1）表面積和側(cè)面積：空間幾何體的面積有表面積和側(cè)面積之分，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分它們. 多面體的表面積是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和.

（2）高：在空間幾何體表面積和體積的計(jì)算中都離不開“高”這個(gè)幾何量（球除外），因此，計(jì)算表面積和體積的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個(gè)量. 在計(jì)算這個(gè)幾何量時(shí)要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面.

（3）分割：實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其中一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積”，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)體積轉(zhuǎn)化為這些“部分體積”的和或差.

（4）補(bǔ)形：棱錐體常常補(bǔ)形為柱體，臺(tái)體經(jīng)常補(bǔ)形為錐體. 比如，球面四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，則4R2=a2+b2+c2，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接正方體（或其他圖形），從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法.

（5）展開：在求幾何體的面積時(shí)，經(jīng)常要把幾何體展開為平面圖形，注意在何處展開（多面體要選擇一條棱展開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線展開）.

（6）翻折：在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形（既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形）.翻折的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量. 一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化;翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. 抓住不變量是解決問題的突破口.

（7）切接：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接. 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)或接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖. 如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉(zhuǎn)體的組合問題，通常通過作它們的軸截面解題;球與多面體的組合問題，通常通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖解題.

典例精講

例1 ?如圖1，在體積為2的四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過EF任作一個(gè)平面γ分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，對于任意的平面γ，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，則幾何體AC-EGFH的體積是________.

思索 ?幾何體AC-EGFH是不規(guī)則幾何體，所以無法直接求出其體積，但由已知條件可知其體積等于四面體ABCD的體積減去平面γ下方部分的體積，而γ下方部分的體積等于四棱錐E-BGFD和三棱錐E-HFD的體積之和.

破解 ?因?yàn)镋F過GH的中點(diǎn)，所以S△EFG=S△EFH，平面γ下方部分的體積為V下=VE-BGFD+VE-HFD，而VE-HFD=VD-EHF，故知VD-EHF=VD-EFG=VE-GFD. 又F是CD的中點(diǎn)，可得S△GFD=S△GFC，可得VE-GFD=VE-GFC，故V下=VE-BGFD+VE-GFC=VE-BCD= VA-BCD=1. 所求體積為2-1=1.

圖1 ? ? ? ? ? ? 圖2

例2 ?如圖2（單位：cm），求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.

思索 ?本題是求旋轉(zhuǎn)體的表面積. 先注意以哪條線段所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)形成什么樣的旋轉(zhuǎn)體，此幾何體哪些面“暴露”在外，畫出直觀圖，合理地分割求出面積、體積.

破解 ?由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓臺(tái)下的底面和側(cè)面，以及一半球面. S半球=8π，S圓臺(tái)側(cè)=35π，S圓臺(tái)底=25π. 故所求幾何體的表面積為68π（cm2）. 由V圓臺(tái)= ×[π×22+ +π×52]×4=52π，V半球= π×23× = π，所以，旋轉(zhuǎn)體的體積為V -V =52π- π= π（cm3）.

例3 ?一個(gè)長方體經(jīng)過切割后得到的幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積是（ ? ?）

圖3

A. 4 ?B. 4.5 ?C. 5 ?D. 5.5

思索 ?三視圖“轉(zhuǎn)譯”為直觀圖時(shí)，對于題設(shè)中已經(jīng)給出原立體圖的類型或容易看出原立體圖的類型的問題，一般可先由俯視圖確定其底面的形狀（通常情況下與其全等），再由正視圖、側(cè)視圖及俯視圖確定其他頂點(diǎn)的位置，以此可知本題是長方體上被切去兩個(gè)三棱錐剩下的幾何體，其體積不難求解.

破解 ?由三視圖可知幾何體如圖4所示，是在原長方體中挖去兩個(gè)三棱錐A-BCD，A-EFG，所以幾何體的體積為V=V -V -V =3×2×1-2× × ×1×1×3=5. 選C.

圖4 ? ? ? ? ?圖5

例4 ?如圖5，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置. 當(dāng)∠CDE取何值時(shí)，三棱錐E-ABD的體積取最大值？并求此時(shí)三棱錐E-ABD的側(cè)面積.

思索 ?本題是動(dòng)態(tài)幾何體問題，解題時(shí)注意推理證明：利用垂直關(guān)系選擇好底和高，建立體積函數(shù)，不難求三棱錐的體積的最大值.

破解 ?設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為h，則h≤ED=2. 易知BD⊥DE. 當(dāng)ED⊥CD時(shí)，因?yàn)锽D∩CD=D，所以ED⊥平面ABCD. 所以當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，h=ED=2，三棱錐E-ABD的體積取最大值. 此時(shí)ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AD，ED⊥BD. 在Rt△DBE中，DB=2 ，DE=DC=AB=2，S△BDE= DB·DE=2 . 在Rt△ADE中，S△ADE= AD·DE=4. 因?yàn)锳B⊥BD，DE⊥AB，BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，所以AB⊥平面BDE，所以AB⊥BE. 因?yàn)锽E=BC=AD=4，所以S△ABE= ·AB·BE=4.

綜上，∠CDE=90°時(shí)，三棱錐E-ABD的體積取最大值，此時(shí)側(cè)面積S=8+2 .

變式練習(xí)

1. 若一個(gè)圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖相似，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與全面積之比為（ ? ?）

A. ? B.

C. ? D.

2. 某幾何體的三視圖如圖6所示，正視圖和左（側(cè)）視圖是全等的直角梯形，俯視圖是正方形，則此幾何體的體積為（ ? ?）

A. 2 ? B. 4 ? C. 6 ? D. 8

圖6

3. 如圖7，在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個(gè)圓柱的體積的最大值是（ ? ?）

A. ?πR3

B. ?πR3

C. ?πR3

D. ?πR3

4.在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如圖8所示，則切割掉的兩個(gè)小長方體的體積之和等于________.

圖8

5. 如圖9，已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=1.在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊AC上，半圓分別與BC，AB相切于點(diǎn)C，M，與AC交于點(diǎn)N），則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________.

6. 如圖10，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AA1，CC1上，且AE= AA1，CF= CC1，點(diǎn)A，C到BD的距離之比為3∶2，則三棱錐E-BCD和F-ABD的體積比為________.

7. 如圖11，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點(diǎn)，AE=3，圓O的直徑為9.

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE;

（2）求三棱錐D-ABE的體積.

參考答案

1. B ? ?2. B ? ?3. A ? ?4. 54

5. ? ? ?6.

7. （1）略.

（2）因?yàn)镃D⊥平面ADE，DE 平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE為圓O的直徑，即CE=9. 設(shè)正方形ABCD的邊長為a. 在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9. 由81-a2=a2-9，解得a=3 ，所以DE= =6. 因?yàn)镃D⊥平面ADE，AB∥CD，所以AB⊥平面ADE，所以VD-ABE=VB-ADE= S△ADE·AB= × ×3×6×3 =9 .