華旦玲

摘要：幾何直觀(guān)作為核心概念之一，對(duì)于深入理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)起到了重要的作用。在低年段解決問(wèn)題教學(xué)中，讓題意在幾何直觀(guān)中明了;使難點(diǎn)在幾何直觀(guān)中破解;促思維在幾何直觀(guān)中提升。從而幫助學(xué)生分析問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，不僅提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而且逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀(guān);解決問(wèn)題;低年段數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2014）12-0070-03

幾何直觀(guān)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)核心概念之一，利用幾何直觀(guān)描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。[1]小學(xué)生從低年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)“解決實(shí)際問(wèn)題”，但是他們的思維水平處于形象思維階段，離不開(kāi)具體事物的支持。幾何直觀(guān)憑借其直觀(guān)性特點(diǎn)，在解決問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用。

一、題意——在幾何直觀(guān)中明了

（一）抽象問(wèn)題形象化

用圖形說(shuō)話(huà)，用圖形描述問(wèn)題，這是幾何直觀(guān)的內(nèi)涵之一。解決實(shí)際問(wèn)題首先要讀懂題意、分析題意，能用圖形方式來(lái)理解一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。正如斯蒂恩所說(shuō)的：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就能整體把握了問(wèn)題?！盵2]所以在教學(xué)中讓學(xué)生運(yùn)用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把抽象的問(wèn)題直觀(guān)形象化。

如在一年級(jí)“排隊(duì)問(wèn)題”中，常會(huì)出現(xiàn)這樣兩種題目：（1）小朋友們排隊(duì)，小紅前面有4人，后面有5人。這一隊(duì)一共有多少人？（2）小朋友們排隊(duì)，從前往后數(shù)，小紅排在第4個(gè);從后往前數(shù)，小紅排在第5個(gè)。這一隊(duì)一共有多少人？遇到這兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生常常不知所措，對(duì)于兩道題目的區(qū)別也是說(shuō)不清道不明。于是教師問(wèn)：“有沒(méi)有什么辦法讓大家把這兩道題看得清楚明白些？”學(xué)生想到：“畫(huà)畫(huà)圖就行了，用圖形代表小朋友?！苯處熞龑?dǎo)：“想一想怎樣畫(huà)，既要能清楚地表示出小紅的位置，還能一眼看出兩道題的不同之處？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、嘗試、交流，得到了這樣的兩幅圖：

（1）

（2）

圖1

在這兩幅圖上，學(xué)生用不同顏色的圓區(qū)分了小紅和其他同學(xué)，非常醒目，而且又準(zhǔn)確地表達(dá)出“幾”和“第幾”的不同，同時(shí)清楚地認(rèn)識(shí)到第一題的4個(gè)和5個(gè)是不包括小紅在內(nèi)的人數(shù)，第二幅圖中的4個(gè)和5個(gè)都數(shù)到了小紅。運(yùn)用這樣的直觀(guān)圖，兩道題目表達(dá)的意思一目了然。

（二）形象問(wèn)題簡(jiǎn)明化

圖形，因其直觀(guān)形象的特點(diǎn)受到低年級(jí)的學(xué)生喜歡。所以在解題時(shí)學(xué)生常會(huì)用簡(jiǎn)單的圖形表示事物，如3個(gè)小朋友用3個(gè)○或3個(gè)△表示等等。低年級(jí)學(xué)生的幾何直觀(guān)從畫(huà)“示意圖”[3]開(kāi)始。在低年段學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)中，教師還要善于抓住契機(jī)引入“線(xiàn)段圖”，并讓學(xué)生感受到它可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)明化。

如教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的問(wèn)題時(shí)，教師是這樣引出線(xiàn)段圖的：首先出示7只蝸牛，瓢蟲(chóng)的只數(shù)是蝸牛的3倍，問(wèn)學(xué)生：“你會(huì)畫(huà)出瓢蟲(chóng)的只數(shù)嗎？”學(xué)生都說(shuō)會(huì)。教師又說(shuō)：“我只給你們30秒的時(shí)間?！睂W(xué)生興致很高。時(shí)間到，教師展示學(xué)生的畫(huà)法，第一種情況前面畫(huà)了兩只瓢蟲(chóng)后面就畫(huà)了圓圈，第二種情況直接用圖形表示了。教師表?yè)P(yáng)說(shuō)：“同學(xué)們想到用簡(jiǎn)單的圖形來(lái)表示，用7個(gè)圓形、7個(gè)三角來(lái)表示，真不錯(cuò)?？墒侨绻伵５闹粩?shù)不是7只，而是700只，你還愿意畫(huà)一個(gè)個(gè)圓嗎？”學(xué)生都笑著搖搖頭。

于是教師借助多媒體先用直條覆蓋原先的圓形，形成一幅直條圖，讓學(xué)生描述直條表示的意思。接著再把直條壓縮變形，形成了線(xiàn)段圖。（見(jiàn)圖2）

在這一過(guò)程中，教師恰當(dāng)?shù)貜闹睏l圖引到線(xiàn)段圖，并且讓學(xué)生體會(huì)到一條線(xiàn)段可以表示任何數(shù)，線(xiàn)段圖的好處不容忽視。

二、難點(diǎn)——在幾何直觀(guān)中破解

（一）思維障礙處明理

幾何直觀(guān)將抽象的數(shù)學(xué)文字與直觀(guān)的圖形表達(dá)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使得數(shù)量關(guān)系清晰化、簡(jiǎn)單化，依托幾何直觀(guān)，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維大門(mén)，突破理解上的難點(diǎn)。

如一年級(jí)有這樣一個(gè)題目：小紅送給小明12張郵票后，兩人郵票的張數(shù)同樣多。原來(lái)小紅比小明多多少?gòu)?？學(xué)生拿到這個(gè)問(wèn)題是無(wú)從下手的，如果光憑語(yǔ)言上的講解，學(xué)生聽(tīng)得云里霧里。所以我們可以通過(guò)直觀(guān)圖為學(xué)生打開(kāi)思維通道。教學(xué)中教師逐步出示直觀(guān)圖（見(jiàn)圖3）。教師問(wèn)：“小紅小明原來(lái)的郵票的張數(shù)沒(méi)有告訴我們，可以怎么表示呢？”學(xué)生說(shuō)可以用直條表示，并且還指出小紅的直條要比小明的長(zhǎng)一些。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“小紅是不是把多出來(lái)的郵票都送給了小明呢？小紅送給小明的12張，在直條上是哪一部分呢？”通過(guò)辨一辨、指一指，學(xué)生很快就能理解：12張應(yīng)該是小紅比小明多出來(lái)張數(shù)的一半，所以小紅比小明多的張數(shù)應(yīng)該是2個(gè)12張，列式為：12+12=24（張）。

（二）知識(shí)混淆處辨析

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多知識(shí)相互之間有著一定的聯(lián)系，但又有本質(zhì)的區(qū)別。在低年段解決問(wèn)題過(guò)程中，遇到一些容易混淆的題目，可以運(yùn)用直觀(guān)圖幫助學(xué)生認(rèn)清區(qū)別所在，感受到問(wèn)題的本質(zhì)屬性。

如二年級(jí)有這樣一道題：男生說(shuō)：“我做了6個(gè)沙袋?！迸f(shuō)：“我也做了6個(gè)沙袋。”男生又說(shuō)：“我做了5個(gè)毽子。”女生說(shuō)：“我做了6個(gè)毽子?！眴?wèn)題是：一共做了多少個(gè)沙袋？做了多少個(gè)毽子？對(duì)于二年級(jí)孩子來(lái)說(shuō)，首先要學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題選擇相關(guān)的條件，求沙袋的個(gè)數(shù)要選擇兩個(gè)小朋友關(guān)于沙袋的數(shù)量，求毽子的個(gè)數(shù)則要選擇關(guān)于毽子的數(shù)量;其次，在這之前學(xué)生一直在學(xué)習(xí)乘法，由于思維的定勢(shì)，解決毽子的問(wèn)題常會(huì)出現(xiàn) “5×6=30（個(gè)）”的錯(cuò)誤算式。這說(shuō)明學(xué)生對(duì)加法和乘法含義的區(qū)分不夠清晰。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的方法把題意表達(dá)出來(lái)，用不同的圖形表示出沙袋和毽子，用不同的顏色表示出男生和女生。（見(jiàn)圖4）

接著引導(dǎo)學(xué)生辨析，沙包的個(gè)數(shù)是2個(gè)6相加，而毽子的個(gè)數(shù)是一個(gè)5和一個(gè)6相加，只有相同數(shù)相加才可以用乘法表示，所以求沙包的個(gè)數(shù)可以用2×6計(jì)算，毽子的個(gè)數(shù)只能用5+6計(jì)算。相比純文字的敘述，直觀(guān)圖更加清晰地反映出兩題之間的區(qū)別，更加有利于學(xué)生進(jìn)一步夯實(shí)對(duì)加法和乘法含義的理解。

三、思維——在幾何直觀(guān)中提升

（一）以圖促思，使思維更靈活

對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，很多時(shí)候解題的靈感往往來(lái)自于幾何直觀(guān)，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用圖直觀(guān)地表示出來(lái)，學(xué)生就可能展開(kāi)想象和創(chuàng)造性的思考探究活動(dòng)。[4]

如解決這樣的問(wèn)題：一件上衣45元，一條褲子比上衣貴12元。一套衣服多少元？通常情況下，不需要借助直觀(guān)圖，學(xué)生會(huì)先求出褲子的價(jià)錢(qián)，然后求出一套衣服的價(jià)錢(qián)。教學(xué)中，教師不會(huì)讓學(xué)生的思維局限于此，還會(huì)指導(dǎo)學(xué)生用線(xiàn)段圖來(lái)表示這個(gè)問(wèn)題。（見(jiàn)圖5）

教師啟發(fā)學(xué)生用不同的方法解決問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一番思考，學(xué)生列出了這樣的算式：45×2=90（元）90+12=102（元）。這種思考方法的合理性在圖上體現(xiàn)得清清楚楚。

（二）借圖構(gòu)型，使思維更深刻

幾何直觀(guān)本身包含“直觀(guān)感知”和“直觀(guān)洞察”兩個(gè)層次。[5]幾何直觀(guān)是利用圖形洞察問(wèn)題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)。[6]在教學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，借助幾何直觀(guān)，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，構(gòu)建出一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般模型，幫助學(xué)生更深刻地理解知識(shí)的本質(zhì)。

如教學(xué)《連乘應(yīng)用題》，我們第一步借助直觀(guān)圖，理解數(shù)量關(guān)系。教師出示例題“每袋乒乓球有5個(gè)，每個(gè)乒乓球2元，買(mǎi)6袋乒乓球共要多少元？”并配上直觀(guān)圖。（見(jiàn)圖6）

借助直觀(guān)圖，學(xué)生能清楚地表達(dá)自己的思考方法：可以先求一共有多少個(gè)球，再求一共多少元;也可以先求一袋多少元，再求一共多少元。第二步替換素材，初步建構(gòu)模型。教師出示：“每筒羽毛球有5個(gè)，每個(gè)羽毛球2元，買(mǎi)6筒羽毛球共要多少元？”通過(guò)交流學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目意思同樣可以用剛才的圖來(lái)表達(dá)，同時(shí)思考的過(guò)程與方法也是一樣的。第三步自編問(wèn)題，夯實(shí)模型。教師問(wèn)：“這幅圖除了表示乒乓球和羽毛球一共多少元的問(wèn)題，你還能看著圖自己編出一道題嗎？”學(xué)生在小組里熱烈交流著。最后教師引導(dǎo)學(xué)生交流、比較、思考。學(xué)生感悟到，不管這個(gè)圖形表示什么物體，解題思路都用連乘方法計(jì)算，從而學(xué)生建構(gòu)出連乘應(yīng)用題的一般模式。

總之，在低年段解決問(wèn)題教學(xué)中，我們要善于靈活運(yùn)用幾何直觀(guān)，幫助學(xué)生分析問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6.

[2]吳小潔.第一學(xué)段學(xué)生畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)積累的實(shí)踐探索[J].教育研究與評(píng)論，2014（2）.

[3]曹培英.“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四——幾何直觀(guān)（下）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（7.8合刊）.

[4]王林.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011：171.

[5]曹培英.“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四——幾何直觀(guān)（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（6）.

[6]陳惠芳.借助幾何直觀(guān)提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力[J].江蘇教育研究，2014（1B）.

責(zé)任編輯：石萍