吳峰

【摘要】 數(shù)學(xué)源于生活，其研究對(duì)象為數(shù)量、空間，抽象、邏輯是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征. 將數(shù)學(xué)問題中數(shù)量的關(guān)系轉(zhuǎn)為圖形信息與數(shù)量間的關(guān)系，此為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用思維策略，把抽象同形象的思維結(jié)合，對(duì)圖形處理 ，實(shí)現(xiàn)抽象與具象的轉(zhuǎn)化，化難為易. 形中覓數(shù)，數(shù)上構(gòu)形，但它們并非彼此獨(dú)立的. 我們要培養(yǎng)學(xué)生逐步建立數(shù)形結(jié)合思想，以提高解決問題的能力. 作者據(jù)多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值體現(xiàn)問題.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；解題；教學(xué)；直觀

一、數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值體現(xiàn)

1. 提高解題能力

對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用而言，其教學(xué)目的在于將相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的轉(zhuǎn)換，使數(shù)學(xué)問題得到簡(jiǎn)化，使數(shù)學(xué)解題的靈活性增加. 如在解決初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題時(shí)，以圖形作為輔助解題手段，能有效啟發(fā)學(xué)生的形象思維，使學(xué)生找到解決問題的最優(yōu)方法；在處理幾何問題時(shí)，以代數(shù)知識(shí)為解題依據(jù)，同樣也能使解題的難度降低. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容而言，“數(shù)”的表現(xiàn)形式多為不等式、函數(shù)、實(shí)數(shù)等內(nèi)容，“形”所表示的內(nèi)容主要包括角、三角形、多邊形、拋物線、圓等內(nèi)容. 二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值體現(xiàn)之一. 因此，在二次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，老師重視借助數(shù)形結(jié)合思想來開展教學(xué)工作，以此使得學(xué)生的形象、抽象思維得以轉(zhuǎn)化，使學(xué)生的靈活解題能力得到提升.

2. 提升教學(xué)效率

數(shù)形結(jié)合思想作為一種非常重要的教學(xué)方式，對(duì)提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率發(fā)揮著非常重要的作用. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)傳授給學(xué)生“借數(shù)解形”與“借形助數(shù)”的思考方法，由此引導(dǎo)學(xué)生真正地掌握復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解決方法，令教學(xué)的效率亦能得以真正的提升. 在與數(shù)形結(jié)合相關(guān)的開放性習(xí)題的解題過程中，已知信息常常含有答案不是單獨(dú)的因子. 這對(duì)老師來說，在問題的講解過程里，須重視與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，憑借數(shù)形結(jié)合的思維模式由不相同的角度對(duì)題進(jìn)行分析思考，以此提升學(xué)生們的發(fā)散思維能力. 譬如在解答行程的相關(guān)問題時(shí)，老師須據(jù)已知信息，引導(dǎo)學(xué)生一步一步將線段圖畫出來，且據(jù)圖形將所對(duì)應(yīng)的方程式列出來，以此使學(xué)生的解題能力得到提升，改善課堂的教學(xué)效率.

二、數(shù)形結(jié)合思想的引入、展開與升華

在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，引入數(shù)軸即是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)良好開頭，整數(shù)都有各自的確切位置，且令相反數(shù)與絕對(duì)值等概念得以具體化，也使有理數(shù)的大小比較更明晰，到學(xué)無理數(shù)后便得出實(shí)數(shù)同數(shù)軸上的點(diǎn)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，既滲透了一一對(duì)應(yīng)的思想，又為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，而利用數(shù)軸表示一元一次不等式和一元一次不等式組的解集，則更能體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程，要突破這一難點(diǎn)，往往就要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖. 這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法，例如：教材中的行程問題、追擊問題、勞動(dòng)力調(diào)配問題、工程問題、濃度問題，教學(xué)中教師必須滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，依據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖，才能幫助學(xué)生迅速找到等量關(guān)系列出方程，從而突破難點(diǎn) .

數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)這一章得以升華，第一次讓學(xué)生真正覺得數(shù)與形的不可分離，體現(xiàn)的一個(gè)重要方面是函數(shù)的圖像. 函數(shù)的圖像是平面上滿足函數(shù)關(guān)系式的所有點(diǎn)的集合，由函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的特征，就更具體、更直觀、更明了. 一方面，利用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的特征，另一方面，一個(gè)圖形也反應(yīng)了量與量之間的相互變化的關(guān)系. 在“解直角三角形”一章中，從三角函數(shù)概念的引入到推導(dǎo)三角形的解法和應(yīng)用，無一不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法. 在解直角三角形的問題時(shí)，常借助圖形的直觀性確定已知元素、未知元素，并發(fā)現(xiàn)其關(guān)系，使問題得到順利解決，這是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的一種升華 .

三、數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用

在初中代數(shù)的“統(tǒng)計(jì)初步”這一章中，一組數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)平面上就是一群離散點(diǎn). 研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)），相當(dāng)于考察這群離散點(diǎn)的分布狀態(tài)，而研究一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。ǚ讲?、標(biāo)準(zhǔn)差），就相當(dāng)于考察坐標(biāo)平面上這群離散點(diǎn)的分布規(guī)律. 這里融入了數(shù)形結(jié)合的思想方法，教學(xué)中老師如果注意到了這一數(shù)形結(jié)合思想方法，可令學(xué)生對(duì)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等概念加深理解. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以解二元一次方程，充分把方程、 函數(shù)及圖像結(jié)合起來，使得二元一次方程的解可以用圖像法解，而且用數(shù)形結(jié)合的方法可以使學(xué)生對(duì)二元一次方程的解有一個(gè)很好地理解. 在有關(guān)圓的一章內(nèi)容中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用比較多，譬如借助數(shù)量關(guān)系來解決圖形的問題，尤其突出的是點(diǎn)、直線、圓同圓的位置關(guān)系 .

在初中階段，數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在數(shù)軸的應(yīng)用、二元一次方程的圖像解法、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步、三角函數(shù)和圓等，它們的教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的引入、展開和升華. 下面我就初中數(shù)學(xué)中如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以例題的形式談?wù)剛€(gè)人的體會(huì).

1. 提高問題分析與解決的能力

在數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用過程中，應(yīng)讓學(xué)生了解到，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，針對(duì)具體問題的屬性，巧妙地將數(shù)與形結(jié)合起來，這也是解決初中數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在.

分析 對(duì)于初中生來說，還未接觸到等比數(shù)列，若讓他們直接計(jì)算，難度會(huì)比較大. 在該問題的解決過程中便可以引入數(shù)形結(jié)合思想，并設(shè)計(jì)出如圖1所示的圖. 將邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行逐次平分，能分別得出每項(xiàng)值，于是可以得出1減去2的n次方分之一的差.

由這個(gè)例子可以看出，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能使問題變得非常形象、直觀，解題思路也會(huì)變得非常清晰. 同時(shí)，對(duì)于數(shù)形結(jié)合解題思想的運(yùn)用能有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主參與與自主探究.

2. 拓展數(shù)形結(jié)合的教學(xué)空間

數(shù)形結(jié)合思想作為一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)解題過程中發(fā)揮著非常重要的作用. 在日常的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)圖形有了一定的認(rèn)識(shí)，而教師便可以利用學(xué)生的這些基礎(chǔ)知識(shí)來將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)與生活中的形與數(shù)聯(lián)系起來，在具體教學(xué)過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以達(dá)到拓展數(shù)學(xué)教學(xué)空間的目的.

例2 解二元一次方程組：x - y = 1，2x + y = 2.

解答此題，可以運(yùn)用函數(shù)圖像的方法，由第一個(gè)方程可知函數(shù)圖像y = x - 1，由第二個(gè)方程可以得到其圖像y = -2x + 2（如圖2 ）.

這個(gè)步驟使得求方程組的解的問題被轉(zhuǎn)化為求兩直線交點(diǎn)值，點(diǎn)P（1，0） 即為解.

針對(duì)此問題來說，數(shù)形結(jié)合思想在以教材知識(shí)點(diǎn)作切入點(diǎn)進(jìn)行滲透有著充分的體現(xiàn)，且有效地轉(zhuǎn)化了數(shù)形結(jié)合的問題，有效地提升了學(xué)生的認(rèn)識(shí)層面，由此對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間給予極大地拓展，也使初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程不再枯燥. 3. 數(shù)形結(jié)合攻破教學(xué)難點(diǎn)

上面已提及，針對(duì)初中階段的數(shù)學(xué)課程來說，二次函數(shù)乃是重難點(diǎn). 此部分的內(nèi)容，于教學(xué)的過程里，須對(duì)引入數(shù)形結(jié)合思想給予重視，由此使得題目的難度有所降低，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率亦有所提高.

例3 已知方程x2 - 2px + 10 = 0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)實(shí)數(shù)根大于1，另一個(gè)實(shí)數(shù)根小于1，請(qǐng)求p的取值范圍.

分析 據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系可以知到，函數(shù)的兩個(gè)解其實(shí)也就是方程（如圖 3）同x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 因?yàn)槠渲幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根大于1，另一個(gè)實(shí)數(shù)根是小于1的，由此可得一元二次方程同x軸的相交點(diǎn)，一個(gè)是在1的左邊，而另一個(gè)是在1的右邊，而且函數(shù)的開口是向上的. 故此，當(dāng)n為1的時(shí)候，y小于0，也就是說12 - 2p + 10 < 0， 可得到p > 5.5.

此題是不等式與方程相關(guān)的問題，要解答此類問題就須對(duì)數(shù)形結(jié)合思想重視，由此達(dá)到抽象、形象思維二者有機(jī)結(jié)合的目的，以揭示隱藏于問題內(nèi)部所含的信息，這樣讓問題更加明晰簡(jiǎn)單，解題過程得以優(yōu)化，另外也讓學(xué)生們相應(yīng)地發(fā)展了自身的數(shù)學(xué)思維.

四、結(jié)束語

任何事物都有數(shù)形兩方面，數(shù)、形結(jié)合存在于生活的各方面，它直接源于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也就是數(shù)學(xué)研究對(duì)象是來源于現(xiàn)實(shí)世界的形式與數(shù)量間的關(guān)系. 既然如此，數(shù)形結(jié)合的思想也就自然成為了研究事物的一種重要的數(shù)學(xué)思想，而且可以憑借數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法去解決更多在理論中及現(xiàn)實(shí)生活里的問題. 故此，此思想在數(shù)學(xué)與其他各門學(xué)科中有著很廣泛的運(yùn)用. 針對(duì)初中數(shù)學(xué)來說，能不能持之以恒地遵循此思想即是數(shù)學(xué)教學(xué)是否成熟的評(píng)判關(guān)鍵原則. 除此之外，數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)與滲透，也令學(xué)生為日后的繼續(xù)深入學(xué)習(xí)做好了充分的準(zhǔn)備工作. 數(shù)形結(jié)合思想乃是一種很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想，對(duì)于初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)工作起著很重要的作用. 經(jīng)過對(duì)此思想的適度應(yīng)用，就得以達(dá)成數(shù)與形二者的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，如此使得頗多復(fù)雜性問題變得明了清晰. 在日后的初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該給予此教學(xué)方法進(jìn)行持續(xù)地完善、創(chuàng)新等工作，以此達(dá)到對(duì)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的目的.

【參考文獻(xiàn)】

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