史月杰

（1．首都師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院，北京 100048；2．保定師范?？茖W(xué)校 涿州分校，河北 保定 072750）

1 問題的提出

數(shù)學(xué)樣例是數(shù)學(xué)問題及其解答的組合體，或者是一個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式或原理的一個(gè)具體“實(shí)體”對(duì)象，一般而言，它可以解釋一個(gè)數(shù)學(xué)概念，例說一個(gè)原理或例示一個(gè)公式及其應(yīng)用，當(dāng)然也可以說明一類數(shù)學(xué)問題的解法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到樣板和示范的作用[1]（馬俊青，2009）．

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，樣例的學(xué)習(xí)通常以逐步呈現(xiàn)解答步驟的形式向?qū)W習(xí)者提供解決問題的方法或規(guī)則[2]（趙弘，2007）．近年來，研究課堂教學(xué)中樣例呈現(xiàn)的研究者認(rèn)為，樣例學(xué)習(xí)的優(yōu)越性主要表現(xiàn)在以下4個(gè)方面：（1）易化了認(rèn)知技能的獲??；（2）有效地防止了錯(cuò)誤學(xué)習(xí)和“手段—目的”分析策略的使用，減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷．（3）樣例學(xué)習(xí)中提供大量的例題和習(xí)題，明確表明了與學(xué)習(xí)有關(guān)的關(guān)鍵成分．（4）樣例學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變了學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)的地位，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助于培養(yǎng)其思維能力，提高其問題解決技能[3]（許永勤，2000）．近年來，許多學(xué)者開始將樣例作為學(xué)習(xí)的主要指導(dǎo)方法來研究[4]（邢強(qiáng)等，2003）．

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，新知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)常采用樣例加練習(xí)的形式．樣例和練習(xí)有不同的呈現(xiàn)方式，一般分為交互式、分塊式．交互式呈現(xiàn)方式為樣例與練習(xí)交錯(cuò)，樣例1—練習(xí)1—樣例2—練習(xí)2—……分塊式呈現(xiàn)方式是先樣例再練習(xí)形式，樣例1—樣例2—樣例3……練習(xí)1—練習(xí)2—練習(xí)3……[5]（Trafton和Reiser1993）．研究表明交互式樣例、練習(xí)呈現(xiàn)比分塊式呈現(xiàn)所用解題時(shí)間短，正確遷移數(shù)量多，與學(xué)習(xí)知識(shí)的編輯模型是一致的．近十年，有一些研究針對(duì)樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)及其有效變式的研究，結(jié)果顯示，練習(xí)題在與之解題步驟相同的樣例之后呈現(xiàn)是一種比較有效的教學(xué)模式[6]（孫志軍，2006）．另有一些研究認(rèn)為不完整的樣例呈現(xiàn)比完整的樣例呈現(xiàn)能更好地支持認(rèn)知技能的獲得[7]（邵光華，2003），但也有研究者提出了不同的看法．由Renkl和Atkinson等人（2002）提出的漸減提示法樣例呈現(xiàn)與傳統(tǒng)樣例學(xué)習(xí)方法不一樣，它可以動(dòng)態(tài)地實(shí)現(xiàn)樣例和問題的連接，促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)后面解法進(jìn)行推理和預(yù)期，促進(jìn)產(chǎn)生自我解釋和問題遷移．

在樣例學(xué)習(xí)研究領(lǐng)域中，人們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)者從樣例學(xué)習(xí)中所得，不僅受到樣例設(shè)計(jì)的影響，也依賴于學(xué)習(xí)者如何解釋呈現(xiàn)給他們的問題解決的原理，即自我解釋．自我解釋（self-explaining）概念，是學(xué)習(xí)者經(jīng)常用來幫助自己理解,并以“問題”或“判斷”等各種形式呈現(xiàn)外部信息的加工過程，是一種由自我產(chǎn)生并指向自我知識(shí)建構(gòu)的心理活動(dòng)[8]（曾輝，2011）．普通意義上指的是學(xué)習(xí)者向自身做出解釋，以此力圖理解新信息的活動(dòng)．樣例學(xué)習(xí)中的自我解釋，指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)樣例的時(shí)候，為了充分理解樣例，積極地向自己解釋問題的解決步驟，解釋問題解決的原理，預(yù)計(jì)解決的步驟，使得學(xué)習(xí)者充分利用樣例所提供的信息來建構(gòu)理想的解決問題的圖式．已有研究表明，樣例學(xué)習(xí)的解釋中包含兩種類型：無誘發(fā)自我解釋（自發(fā)自我解釋，spontaneous self-explanation），誘發(fā)自我解釋．無誘發(fā)自我解釋和誘發(fā)自我解釋都是學(xué)習(xí)者自己生成的解釋，誘發(fā)自我解釋都或多或少地得到了外界解釋性信息的支持，而無誘發(fā)自我解釋則是完全依靠學(xué)習(xí)者自身．對(duì)大部分學(xué)習(xí)者來說，由于受學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，其無誘發(fā)自我解釋往往數(shù)量不足、質(zhì)量低下，對(duì)建構(gòu)學(xué)習(xí)的幫助不大．由于自發(fā)自我解釋的上述不足，研究者們開始關(guān)注通過學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)或更直接的方法—通過提示性問題來誘發(fā)自我解釋，在樣例學(xué)習(xí)中誘發(fā)自我解釋能促進(jìn)學(xué)習(xí)效果的結(jié)論已得到相關(guān)證實(shí)．

實(shí)驗(yàn)將樣例學(xué)習(xí)中的自我解釋作為干預(yù)因素與樣例呈現(xiàn)方式結(jié)合研究，將個(gè)別學(xué)習(xí)者樣例學(xué)習(xí)中的自我解釋方式抽離出來作為干預(yù)因素區(qū)別作用于不同的學(xué)習(xí)者，研究不同干預(yù)方式和不同呈現(xiàn)方式的組合作用對(duì)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的影響．選擇材料為全日制普通高中教材高二數(shù)學(xué)排列及排列的應(yīng)用內(nèi)容，此內(nèi)容思維性強(qiáng)，對(duì)學(xué)習(xí)者誘發(fā)自我解釋和無誘發(fā)自我解釋的區(qū)分度高，解答步驟分明，適合作為實(shí)驗(yàn)材料．將學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)成4種呈現(xiàn)方式“樣例—問題對(duì)+誘發(fā)自我解釋”、“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”、“樣例—問題對(duì)+無誘發(fā)自我解釋”，“漸減提示法+無誘發(fā)自我解釋”．

2 研究方法

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)采用2′2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，以樣例的呈現(xiàn)方式（樣例—問題對(duì)，漸減提示法）、自我解釋（誘發(fā)自我解釋、無誘發(fā)自我解釋）作為自變量，以測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)橐蜃兞浚?/p>

2.2 被 試

被試從某市高二年級(jí)理科班中隨機(jī)抽選59人，按以前模塊考試成績(jī)的平均成績(jī)作為分組依據(jù)，分成4組：“樣例—問題對(duì)組＋無誘發(fā)自我解釋”組（15人），“漸減提示法組＋無誘發(fā)自我解釋”組（16人），“樣例—問題對(duì)+誘發(fā)自我解釋”組（15人），“漸減提示法＋誘發(fā)自我解釋”組（13人）．經(jīng)單因素方差分析，各分組之間平均成績(jī)沒有顯著性差異（F=0.049，p=0.986）．

表1 4組被試平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)差異方差分析結(jié)果

2.3 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)材料由學(xué)習(xí)材料和測(cè)試材料構(gòu)成．學(xué)習(xí)材料的主要內(nèi)容是排列及其排列數(shù)公式，包括：教案、學(xué)案和樣例學(xué)習(xí)材料．“樣例—問題對(duì)+無誘發(fā)自我解釋”搭配組（第一組）的學(xué)習(xí)材料包括兩個(gè)樣例和兩道相似的問題，“樣例—問題對(duì)+誘發(fā)自我解釋”組（第二組）學(xué)習(xí)材料是在上述（第一組用）樣例和練習(xí)旁加注提示性問題．“漸減提示法+無誘發(fā)自我解釋”搭配組（第三組）的學(xué)習(xí)材料有兩個(gè)完整樣例（即應(yīng)用排列數(shù)公式解答的應(yīng)用題），兩個(gè)練習(xí)題，其解答提示步驟逐漸減少以至最后僅剩下問題去解決，“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組（第四組）所用材料是在第三組學(xué)習(xí)材料旁邊加注提示性問題．

評(píng)分方法：測(cè)試材料為有關(guān)排列及其排列數(shù)公式應(yīng)用的試題，一共8題．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：第1、2題為選擇題，每題5分，第3題共5分，給出百位數(shù)求法得2分，給出十位數(shù)求法得2分，有個(gè)位數(shù)求法及結(jié)論得1分；第4題共5分，選派正、付組長(zhǎng)一人值班得2分，選擇其他5人值班排列得3分；第5題共7分，能分成3類得2分，各類的路線條數(shù)答對(duì)分別為2、2、1分；6、7、8題的分?jǐn)?shù)分別為5分，5分，7分，賦分方式參看3、4、5題總分為44分．

2.4 實(shí)驗(yàn)程序

第一步，對(duì)被試分組，對(duì) 4組學(xué)生做前測(cè)（時(shí)間約為20分鐘），主要檢查排列組合中兩個(gè)基本原理的掌握情況．

第二步，將被試59人集中一起，按學(xué)案設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)排列和排列數(shù)公式內(nèi)容，時(shí)間一節(jié)課．回收學(xué)案，課間休息 10分鐘．第二節(jié)課，將被試4組同學(xué)帶到4個(gè)教室，分開學(xué)習(xí)．分發(fā)各組樣例學(xué)習(xí)材料，學(xué)習(xí)時(shí)間為40分鐘．在學(xué)習(xí)過程中，教師會(huì)根據(jù)時(shí)間將問題或不完整樣例的答案利用幻燈片投影出來，以便學(xué)生能夠?qū)ψ约赫莆盏那闆r進(jìn)行及時(shí)掌控．然后回收樣例材料．1天后進(jìn)行同時(shí)測(cè)試，測(cè)試時(shí)間為 45分鐘．

3 結(jié)果與分析

對(duì)各分組成績(jī)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示．

表2 各組成績(jī)描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果

可看出，在4個(gè)分組中后，后兩個(gè)分組的成績(jī)比前兩個(gè)分組高一些，其中“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組成績(jī)最高，而“樣例—問題對(duì)+無誘發(fā)自我解釋”組成績(jī)最低．

對(duì)后測(cè)成績(jī)進(jìn)行2′2方差分析，其中，樣例呈現(xiàn)方式和自我解釋類型都是被試間因素．結(jié)果如表3．

表3 后測(cè)成績(jī)2（兩種樣例呈現(xiàn)方式）′2（兩種自我解釋類型）方差分析結(jié)果

這表明：樣例呈現(xiàn)方式主效應(yīng)顯著（F(1, 58)=5.708，p=0.020<0.05），自我解釋類型主效應(yīng)顯著F(1, 58)=4.846，p=0.031<0.05）．結(jié)合表1，樣例漸減提示呈現(xiàn)方式在后測(cè)成績(jī)（M=31.733，SD=2.334）上顯著高于樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)方式（M=23.536，SD=2.276）．且誘發(fā)自我解釋干預(yù)方式在后測(cè)成績(jī)（M=31.417，SD=2.373）上顯著高于無誘發(fā)自我解釋干預(yù)方式（M=23.852，SD=2.236）．但樣例呈現(xiàn)方式與自我解釋類型兩因素交互作用沒有達(dá)到顯著水平（F(1,58)=1.042，p=0.282>0.05）．

對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的水平搭配分組做獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果如表4．

表4 二因素水平搭配分組的獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)

其中，分別用 A0表示水平樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)方式、用A1表示漸減提示法呈現(xiàn)方式；B0表示無誘發(fā)自我解釋、B1表示誘發(fā)自我解釋．

可以看出，有3組水平搭配均值差異顯著，另外3組沒有達(dá)到顯著水平．其中“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)（M=35.333，SD=3.619）好于“樣例問題對(duì)+無誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)（M=21.571，SD=3.360）“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)好于“漸減提示法組+無誘發(fā)自我解釋”組（M=26.133，SD=3.1）．“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)好于另外“樣例—問題對(duì)+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)（M=25.500，SD=3.261）．雖然其它3組在均值上差異有大小之別，但都沒有達(dá)到顯著水平．

4 結(jié)果討論

4.1 樣例呈現(xiàn)方式中“漸減提示”方式組測(cè)試成績(jī)高于“樣

例—問題對(duì)”方式組的歸因分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，漸減提示法呈現(xiàn)樣例的成績(jī)好于樣例—問題對(duì)方式呈現(xiàn)的樣例，其原因可能是：樣例—問題對(duì)的呈現(xiàn)方式雖然對(duì)學(xué)習(xí)者認(rèn)知圖式的獲得有一定的作用，但由于其很難有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)者進(jìn)行樣例學(xué)習(xí)的自我解釋，因而影響了學(xué)習(xí)的成效．而樣例呈現(xiàn)漸減提示法方式，由于既考慮到在學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)者的自我建構(gòu)過程，又能在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)過程中提供認(rèn)知建構(gòu)的框架等外部支持措施，符合認(rèn)知技能獲得的四階段模型[9]（按照Anderson（1997））．認(rèn)知技能獲得的四階段模型指，認(rèn)知技能的獲得是一個(gè)漸進(jìn)的、動(dòng)態(tài)的變化過程，第一階段，學(xué)習(xí)者通過類比解決問題，即他們依照已知的樣例并試圖把樣例與問題的解決聯(lián)系起來；第二階段，學(xué)習(xí)者形成了抽象的陳述性規(guī)則，書面知識(shí)引導(dǎo)他們解決問題；第三階段，問題解決的速度變得很快，進(jìn)入這一階段后學(xué)習(xí)者不再按照他們習(xí)得的書面知識(shí)而是自動(dòng)按照熟悉的問題很快地、自動(dòng)地解決問題，沒有使用較多的注意資源；第四階段，學(xué)習(xí)者在頭腦中已經(jīng)擁有了大量樣例的不同類型的問題，因此可以很快地直接從記憶中提取問題的解法．而且這些階段可以是相互疊加的，它反映的是學(xué)習(xí)者使用不同解決方法的靈活性．顯然，當(dāng)學(xué)習(xí)者在第一階段或從第一階段進(jìn)入第二階段時(shí)依據(jù)樣例的學(xué)習(xí)是非常重要的，而當(dāng)學(xué)習(xí)目標(biāo)是促進(jìn)第三階段的獲得時(shí)，樣例可能不是一個(gè)首選的方法，問題解決練習(xí)顯得特別關(guān)鍵．漸減提示法呈現(xiàn)組正是考慮到這個(gè)動(dòng)態(tài)變化的認(rèn)知過程來安排樣例學(xué)習(xí)，最初呈現(xiàn)的完整樣例為后來學(xué)習(xí)者建構(gòu)關(guān)于樣例的知識(shí)圖式提供了一個(gè)認(rèn)知模型，伴隨著不斷簡(jiǎn)化的支架問題直到最終問題，學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)了新知識(shí)圖式的建構(gòu)．建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)支架式教學(xué)的重要性，認(rèn)為支架式教學(xué)為學(xué)習(xí)者建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解提供了一種概念框架，這種框架中的概念是為發(fā)展學(xué)習(xí)者對(duì)問題的進(jìn)一步理解所必須的．為此,事先要把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)加以分解，以便于把學(xué)習(xí)者的理解逐步引向深人．漸減提示法正式通過以上方法，引導(dǎo)著教學(xué)的進(jìn)程．其次，漸減提示法呈現(xiàn)方式促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)樣例問題進(jìn)行高質(zhì)量的自我解釋，對(duì)下一步是什么或怎樣解決有一個(gè)心理預(yù)期，能進(jìn)行積極的推理．樣例文本的空缺和心理模型的空缺是相互對(duì)應(yīng)的，通過自我解釋產(chǎn)生的推理填補(bǔ)了這種空缺．所以通過漸減提示學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者不斷譯碼樣例材料，也就不斷完善了自我建構(gòu)的心理模型．

實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)材料是排列和排列數(shù)公式內(nèi)容，比較適合用樣例學(xué)習(xí)方式，不同的樣例呈現(xiàn)方式對(duì)學(xué)習(xí)效果也有不同的影響，從測(cè)試的結(jié)果來看，漸減提示法組的成績(jī)高于樣例—問題對(duì)組，也能從上述理論得出解釋．利用兩個(gè)基本原理解決排列問題，必須理解問題解決中的策略和步驟，明確分成幾類，各類再分成幾步．而利用樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)方式不能很好地促進(jìn)學(xué)生重點(diǎn)掌握問題解決中的策略和方法，不能有效激發(fā)自我解釋，而相應(yīng)的漸減提示法不同，把要解決的任務(wù)分成幾個(gè)步驟來提示，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)該類任務(wù)的解決方法和步驟，能有效激發(fā)自我解釋并按方法步驟處理問題，學(xué)習(xí)效果自然不同．

4.2 樣例呈現(xiàn)方式中“誘發(fā)自我解釋”干預(yù)組測(cè)試成績(jī)高

于“無誘發(fā)自我解釋”干預(yù)組的歸因分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，樣例呈現(xiàn)方式中誘發(fā)自我解釋組成績(jī)好于無誘發(fā)自我解釋組，且“漸減提示法+自我解釋”組成績(jī)優(yōu)于“樣例—問題對(duì)+自我解釋”組，可能原因：樣例呈現(xiàn)中的“樣例—問題對(duì)”組，呈現(xiàn)給學(xué)生的樣例的表面內(nèi)容是相似的，因而它們的基本結(jié)構(gòu)和解題步驟也是相同的，雖然被試會(huì)有自發(fā)的自我解釋，但是他們還是不能很好地監(jiān)控自己的解釋活動(dòng)，不能有意識(shí)地加工子目標(biāo)和算子之間的聯(lián)結(jié)條件．而使用漸減提示法呈現(xiàn)方式卻相反，在誘發(fā)的自我解釋條件下，可以在有限的認(rèn)知限度內(nèi)進(jìn)行自我推理，辨別子目標(biāo)和算子之間的聯(lián)結(jié)條件，建構(gòu)起較為有效的心理模型，提高學(xué)習(xí)成績(jī)．本實(shí)驗(yàn)中采用的學(xué)習(xí)材料是排列和排列數(shù)公式，在誘發(fā)自我解釋條件下，學(xué)生能夠更加關(guān)注排列的步驟，不管是漸減提示法還是樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)，都能使學(xué)生更好地理解排列中分類和分步的道理，提高數(shù)學(xué)成績(jī)[10~13]．

因此，在利用樣例進(jìn)行教學(xué)過程中，最好使用不完整樣例的漸減提示法，因?yàn)檫@些需要學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)，并填充已跳躍過的部分，促進(jìn)學(xué)習(xí)中的自我解釋；樣例學(xué)習(xí)過程中的自我解釋的質(zhì)和量對(duì)學(xué)習(xí)效果有很大影響，在設(shè)計(jì)自學(xué)材料時(shí)，最好使用“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋的方式呈現(xiàn)樣例．

5 研究結(jié)論

已有的研究比較重視樣例類型和呈現(xiàn)方式的研究，重視樣例與問題的聯(lián)結(jié)方式對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，也重視和類比遷移、認(rèn)知負(fù)荷與自我解釋等學(xué)習(xí)心理機(jī)制的結(jié)合研究，相比于以往的研究，這里將自我解釋作為樣例學(xué)習(xí)中的干預(yù)因素來研究設(shè)計(jì)，研究不同干預(yù)方式、不同呈現(xiàn)方式及其不同組合作用對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的影響．

基本結(jié)論：

在排列及其應(yīng)用教學(xué)中，樣例呈現(xiàn)方式和自我解釋主效應(yīng)均顯著，但樣例呈現(xiàn)方式和自我解釋之間交互效應(yīng)不顯著．總的說，樣例漸減提示呈現(xiàn)方式組在后測(cè)成績(jī)上顯著高于樣例—問題對(duì)呈現(xiàn)方式組；誘發(fā)自我解釋干預(yù)方式組在后測(cè)成績(jī)上顯著高于無誘發(fā)自我解釋干預(yù)方式組．具體來說，“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)顯著好于“樣例問題對(duì)+無誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)；“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)顯著好于“漸減提示法組+無誘發(fā)自我解釋”組；“漸減提示法+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)好于另外“樣例—問題對(duì)+誘發(fā)自我解釋”組后測(cè)成績(jī)．

[1] 馬俊青．?dāng)?shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)與學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)形成關(guān)系的研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（4）：68-70．

[2] 趙弘．國(guó)外的樣例研究對(duì)數(shù)學(xué)例題教學(xué)的啟示．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，（2）：70-72．

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