陳明明，馬江洪，楊 楠

（長(zhǎng)安大學(xué)a．經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院；b．理學(xué)院；c．信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

關(guān)于斜Laplace分布與Levy偏穩(wěn)定分布的性質(zhì)

陳明明a，馬江洪b，楊 楠c

（長(zhǎng)安大學(xué)a．經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院；b．理學(xué)院；c．信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

目前有關(guān)重尾或偏態(tài)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析和理論模型相對(duì)較少，基于傳統(tǒng)的Laplace分布，提出一種處理偏態(tài)和重尾數(shù)據(jù)的新模型——斜Laplace分布，以研究其參數(shù)估計(jì)方法。利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)推導(dǎo)出該分布與一些常見分布（如正態(tài)分布、指數(shù)分布）間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，并給出一種可通過設(shè)置不同參數(shù)值得到不同分布的Levy偏穩(wěn)定分布及其穩(wěn)定性。

斜Laplace分布；MLE估計(jì)；Levy偏穩(wěn)定分布

一、引 言

由于分布是對(duì)數(shù)據(jù)的一個(gè)描述，而在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的重尾或偏態(tài)數(shù)據(jù)，因此在統(tǒng)計(jì)建模以及對(duì)實(shí)際生活的數(shù)據(jù)處理中往往需要更靈活的概率分布。例如可用Kafadar所提出的基于正態(tài)分布的一元標(biāo)準(zhǔn)斜正態(tài)分布來處理數(shù)據(jù)中的重尾性，即由服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量與獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)變量的比值構(gòu)造而來，記作X～SLN（q），其中X＝Z／（U1／q），q＞0，隨機(jī)變量Z～N（0，1），U～U（0，1），且兩變量相互獨(dú)立［1］510－511。

此分布為一個(gè)對(duì)稱分布，且尾部比正態(tài)分布的尾部重，因此能很好地應(yīng)用到重尾數(shù)據(jù)的擬合中。Mosteller、Rogers分別研究了這個(gè)分布的一般性質(zhì)，且Getnon將Kafadar所提出的一元斜正態(tài)分布推廣到了多元的情形［2］135－162［3－4］；Tan在t分布的基礎(chǔ)上分別介紹了斜t和偏斜t分布，并研究其性質(zhì)［5］；吳劉倉(cāng)等人研究了缺失偏態(tài)數(shù)據(jù)下線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)問題［6］。筆者在陳明明等人提出的斜Laplace這一新分布的基礎(chǔ)上，將進(jìn)一步研究此分布的參數(shù)估計(jì)方法和相關(guān)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

二、斜Laplace分布

（一）參數(shù)估計(jì)

下面利用矩法及最大似然法對(duì)斜Laplace分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

在用最大似然方法做參數(shù)估計(jì)時(shí)，采用了兩種算法：一是通過解非線性方程組得到估計(jì)值，采用此解法是將方程組轉(zhuǎn)化為最小二乘問題，從一個(gè)初值開始，搜索方向?yàn)長(zhǎng)evenberg－Marquardt（L－M）的算法；二是遺傳算法（Genetic Algorithm，GA），這是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律（適者生存，優(yōu)勝劣汰遺傳機(jī)制）演化而來的隨機(jī)化搜索方法，主要特點(diǎn)是直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定；具有更好的全局尋優(yōu)能力；采用概率化的尋優(yōu)方法能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，不需要確定規(guī)則，而傳統(tǒng)優(yōu)化算法是從單個(gè)初始值迭代求最優(yōu)解的；容易誤入局部最優(yōu)解，而遺傳算法對(duì)搜索空間中的多個(gè)解進(jìn)行評(píng)估，減少了陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)算法本身易于實(shí)現(xiàn)并行化。

利用上述兩種算法進(jìn)行最大似然估計(jì)和矩估計(jì)，得到結(jié)果見表1。

表1 斜Laplace分布的參數(shù)估計(jì)表

從表1中可以看出，μ和σ中每個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都很接近。

（二）與斜Laplace相關(guān)的分布

三、Levy偏穩(wěn)定分布

Levy偏穩(wěn)定分布常用于分析臨界行為和金融數(shù)據(jù)中，同時(shí)在光譜學(xué)的分析中也被廣泛應(yīng)用。除了對(duì)于α＝2時(shí)的正態(tài)分布以外，穩(wěn)定分布都是重尾分布。

一個(gè)Levy偏穩(wěn)定分布是由4個(gè)參數(shù)所控制的分布，具體定義如下：

（一）穩(wěn)定性

（二）特殊形式

通過觀察Levy穩(wěn)定分布的特征函數(shù)φ（t），可以得出以下三種特殊情形：

從中可以看出Cauchy分布、正態(tài)分布以及Levy分布都是Levy偏穩(wěn)定分布中參數(shù)取不同值時(shí)的特殊情形。

四、結(jié) 論

本文針對(duì)處理重尾或者有偏數(shù)據(jù)的新分布——斜Laplace分布，研究其參數(shù)估計(jì)方法以及與常見分布之間的關(guān)系，通過這些關(guān)系揭示出了構(gòu)造斜Laplace分布的不同方法，并通過設(shè)置Levy偏穩(wěn)定分布中不同的參數(shù)值，將正態(tài)分布、Cauchy分布及Levy分布聯(lián)系在一起。

［1］ Kafadar K．Slash Distribution［M］．Encyc lopedia of Statistical Sciences，New York：Wiley，1988．

［2］ Mosteller F，Tukey J W．Data Analysis and Regression［M］．Reading MA：Addison－Wesley，1977．

［3］ Rogers W H，Tukey J W．Understanding Some Long-Tailed Symmetrical Distributions［J］．Statist．Neerlandica，1972．

［4］ Genton M G，Wang J．The Multivariate Skew-Slash Distributions［J］．Journal of Statistical Planning and Inference，2006（1）．

［5］ Tan Peng．The Slash and Skew-Slash Student t Distributions［J］．Submitted to Elsevier Science，2005．

［6］ 吳劉倉(cāng)，張家茂，邱貽濤．缺失偏態(tài)數(shù)據(jù)下線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2013（9）

［7］ 陳明明，馬江洪，吳田軍．斜t分布與斜Laplace分布［J］．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2014（1）．

［8］ Simon M K．Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables ［M］．New York：Kuwer Academic Publishers，2002．

［9］ Kozubowski T，Podgórski K，Samorodnitsky G．Tails of Levy Measure of Geometric Stable Random Variables ［J］．Extremes，1998（1）．

［10］Nolan J P．Stable Distributions：Models for Heavy-Tailed Data［M］．Boston：Birkhauser，2009．

［11］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 ［M］．北京：高等教育出版社，2004．

On the Properties of the Slash Laplace Distribution and the Levy Skew Stable Distribution

CHEN Ming-minga，MA Jiang-hongb，YANG Nanc
（a．School of Econcmics and Management；b．College of Science；c．School of Information Engineering，Chang＇an University，Xi＇an 710061，China）

In the present，there are few studies focused on statistical analysis and theoretical models for heavy－tailed or skewed data．Based on the classical Laplace distribution，we propose a new model，called slash Laplace distribution，to deal with such data，develop its parametric estimation methods，and establish the statistical relationships between the slash Laplace distribution and several common （e．g．，normal，exponential）distributions by the knowledge of mathematical statistics．Levy skew stable distribution and its stability property are introduced by setting different parameters which can result in different distributions．

slash Laplace distribution；maximum likelihood estimation；Levy skew stable distribution

O212．1∶F222

A

1007－3116（2014）07－0016－06

2014－03－07；修復(fù)日期：2014－05－15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《GIS若干不確定性問題的新刻畫及其應(yīng)用研究》（41071247）；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《模糊假設(shè)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)理論和方法研究》（11261044）

陳明明，女，山東棗莊人，博士生，研究方向：運(yùn)輸統(tǒng)計(jì)分析；

馬江洪，男，陜西綏德人，教授，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法；

楊 楠，男，河南洛陽(yáng)人，博士生，研究方向：圖像處理和機(jī)器學(xué)習(xí)。

（責(zé)任編輯：郭詩(shī)夢(mèng)）