田 晶, 唐 寧, 曾浩生

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非馬可夫環(huán)境中的量子邏輯操作

田 晶, 唐 寧, 曾浩生*

(湖南師范大學(xué) 物理系, 教育部低維量子結(jié)構(gòu)與調(diào)控重點(diǎn)實驗室, 湖南 長沙, 410081)

研究了非馬可夫環(huán)境中單量子比特邏輯門的性質(zhì), 發(fā)現(xiàn)量子過程的非馬可夫性有助于抑制環(huán)境產(chǎn)生的錯誤, 更好地保護(hù)邏輯門的質(zhì)量. 同時也發(fā)現(xiàn), 當(dāng)噪聲邏輯門的操作時間略小于理想邏輯門所規(guī)定的時間時, 邏輯操作的質(zhì)量更好.

單量子比特邏輯門; 非馬爾可夫度; 平均保真度; 最佳操作時間

近年來人們對開放量子系統(tǒng)非馬可夫動力學(xué)的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣, 許多有趣的性質(zhì), 如在非馬可夫環(huán)境下量子關(guān)聯(lián)的非單調(diào)減小[1—2]、量子關(guān)聯(lián)拍[3]、糾纏囚禁[4]、量子不可熱化現(xiàn)象[5]等, 不斷被認(rèn)識. 而且人們還發(fā)現(xiàn), 非馬可性可作為一種有效的資源在量子信息處理中有著重要的應(yīng)用, 如非馬可性有助于提高量子計量學(xué)[6]、量子密鑰分布[7]和量子隱性傳態(tài)[8]的精度, 提高量子通道的容量[9]和量子信息傳輸?shù)馁|(zhì)量[10]. 本文的主要目的是研究非馬可夫環(huán)境對量子邏輯門的影響, 進(jìn)一步展示非馬可夫性在量子信息處理中的積極作用. 將以受驅(qū)的二能級原子在非馬可夫環(huán)境中所構(gòu)造的單量子比特邏輯操作為例進(jìn)行研究.

1 動力學(xué)模型

單量子比特邏輯門是最簡單的量子邏輯門, 是實現(xiàn)普適量子計算所必需的. 模擬單量子比特邏輯門的最簡單的模型是采用一束頻率為L的經(jīng)典驅(qū)動光場與一個頻率為0的二能級原子的相互作用, 在不考慮環(huán)境干擾的理想情況下, 系統(tǒng)的哈密頓量可寫為:

其中,,y,z是原子的泡利算符;±是原子的翻轉(zhuǎn)算符; Rabi頻率描述原子和驅(qū)動場的耦合強(qiáng)度. 將上述哈密頓量作幺正變換= exp[-iLt/2], 即在頻率為L的旋轉(zhuǎn)框架下, 上述哈密頓量變?yōu)?

然而實際邏輯操作中, 系統(tǒng)不可避免地受到環(huán)境的影響, 從而導(dǎo)致操作錯誤. 本文的主要目的是討論非馬可夫環(huán)境對單量子比特邏輯操作的影響. 為此, 假設(shè)原子除受到驅(qū)動激光的作用外, 還受到一個零溫諧振子庫的影響. 因此, 在旋轉(zhuǎn)框架下系統(tǒng)的哈密頓量為:

在推導(dǎo)過程中, 忽略了系統(tǒng)的蘭姆位移, 并采用了宏運(yùn)動近似. (6)式第1項代表由哈密頓量(2)式支配的自由演化, 第2項代表環(huán)境引起的耗散:

其中,

2 邏輯門的平均保真度和過程的非馬可夫性

2.1 非馬可夫環(huán)境對單量子比特邏輯操作的影響

上述的平均是對所有初始態(tài)進(jìn)行的. 為了后面研究的需要, 我們將沒有環(huán)境下的理想操作時間o和有環(huán)境存在時的實際操作時間r加以區(qū)分. 經(jīng)過積分后得到平均保真度為:

在通常情況下, 總?cè)≡肼曔壿嬮T的操作時間r和理想邏輯門的操作時間o相等, 即r=oo,故(15)式可進(jìn)一步簡化為:

圖1中, 畫出了單比特相位門(即t = p/(2wD))的平均保真度隨環(huán)境無量綱參數(shù)D/g0和l/g0變化, 其中, wD = W = 20g0. 可以看出, 當(dāng)系統(tǒng)和環(huán)境的失諧D/g0增大時平均保真度增大; 而當(dāng)環(huán)境譜寬l/g0增大時平均保真度減小. 且平均保真度受失諧的影響較小, 而隨環(huán)境譜寬的變化非常敏感. 這種依賴關(guān)系在物理上是容易理解的: 因為當(dāng)原子與環(huán)境的頻率失諧增大時, 原子與環(huán)境的耦合將降低, 故平均保真度增大; 而當(dāng)環(huán)境的譜寬度增加時, 將有更多的環(huán)境模與原子耦合, 故平均保真度降低. 因此, 在實際操作中可通過調(diào)節(jié)環(huán)境譜的單色性和增加同環(huán)境模的失諧來提高邏輯操作的質(zhì)量, 而且提高環(huán)境譜單色性的方法更為有效.

2.2 過程的非馬科夫性隨環(huán)境參數(shù)的變化

近幾年來人們已經(jīng)提出了幾種度量量子過程非馬可夫度的方法, 其中最典型的方法莫過于基于跡距離的度量方法[11]和基于動力學(xué)可分性的度量方法[1]. 本文采用跡距離的度量方法,

來研究量子過程的非馬可夫性. (17)式中,[1(),2()]表示當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為1(0)和2(0)時,時刻系統(tǒng)末態(tài)1()和2()跡距離的時間導(dǎo)數(shù), 而求最大值是對所有的初態(tài)對進(jìn)行的. 根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知, 最佳初態(tài)對應(yīng)位于Bloch球面上相對的兩個位置. 因此, 可設(shè)初始態(tài)對的Bloch矢量為1(0) =-2(0) = (sincos, sincos, cos). 在該初始態(tài)對下, 跡距離對時間的導(dǎo)數(shù)可表示為:

圖2 N隨環(huán)境參數(shù)的變化曲線

3 最佳操作時間

在前面的研究中, 引入了2個操作時間. 一個是在沒有環(huán)境存在時, 一個特定的邏輯門操作所需要的時間, 稱之為理想操作時間o. 另一個是在有環(huán)境存在時, 邏輯門的實際演化時間, 稱為實際操作時間r. 通常情況下, 由于不知道環(huán)境是怎樣影響邏輯操作的, 因此, 總是取實際操作時間r等于理想操作時間o. 現(xiàn)在我們要問: 這樣的取法是不是最好呢？答案是否定的. 事實上, 環(huán)境的作用可能會加快或減慢邏輯門的運(yùn)行速度, 從而導(dǎo)致最佳的實際操作時間不等于理想的操作時間. 下面來討論該問題.

定義無量綱參數(shù)=r/o. 若環(huán)境的作用加快邏輯門的運(yùn)行速度, 則< 1. 反之, 若環(huán)境的作用減慢邏輯門的運(yùn)行速度, 則> 1. 本文中, 僅以單量子比特的相位門為例展開討論, 即取o=p/2D. 于是(15)式成為:

這是一個關(guān)于r的函數(shù), 當(dāng)保真度F(r)取最大值時, 對應(yīng)于最佳的實際操作時間. 令(20)式關(guān)于r的導(dǎo)數(shù)等于零, 可得方程:

4 總結(jié)

本文研究了噪聲環(huán)境中單量子比特邏輯門的性質(zhì), 其中環(huán)境是一個具有洛倫茲譜的零溫諧振子庫, 邏輯操作由一個受激光驅(qū)動的二能級原子系統(tǒng)實現(xiàn). 研究結(jié)果表明, 當(dāng)原子與環(huán)境的頻率失諧較小時, 隨著該失諧的增大和環(huán)境譜寬度的變窄, 邏輯操作的保真度變大, 而量子過程的非馬可夫性也恰好增大, 說明非馬可夫環(huán)境有助于抑制噪聲作用, 保護(hù)邏輯操作的質(zhì)量. 研究還發(fā)現(xiàn)在噪聲環(huán)境下, 當(dāng)噪聲邏輯門的實際操作時間略小于理想邏輯門所規(guī)定的操作時間時, 邏輯門的精度更高, 說明環(huán)境作用加速了邏輯門的運(yùn)行速度. 在環(huán)境的譜寬度較大時, 需要適當(dāng)調(diào)節(jié)噪聲邏輯門的操作時間使之略小于理想的操作時間, 從而提高邏輯門的操作精度.

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Quantum logic operations in Non-Markov Environments

TIAN Jing, TANG Ning, ZENG HaoSheng

(Key Laboratory of Low-Dimensional Quantum Structures and Quantum Control of Ministry of Education, Department of Physics, Hunan Normal University, Changsha 410081, china)

The properties of single-qubit logic gates was studied under the effects of non-Markov environments. It was found out that the non-Markovianity of quantum process was beneficial for the suppression of mistakes induced by environments, so that improved the quality of logic operation; when the operation time of the noisy gate was slightly smaller than the one of the corresponding ideal gate, the accuracy of the logic gate was the best.

single-qubit gate; non-Markovianity; average fidelity; optimal operation time

O 431.2

1672-6146(2014)02-0001-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.02.001

通訊作者email: hszeng@hunnu.edu.cn;

email: 616124809@qq.com.

2014-04-27

國家自然科學(xué)基金項目(11275064); 高等學(xué)校博士點(diǎn)基金項目(20124306110003).

(責(zé)任編校: 江 河)