陳蓬

摘 要：“異面直線”是高中數(shù)學教學中的重要內容之一，它既是空間圖形關系的基礎，同時也為學生認識、了解物體的空間關系提供了基礎構架，為學生認識立體圖形、解決空間圖象問題打下了堅實的基礎. 本文針對這一問題來具體談一談如何做好“異面直線”的教學設計.

關鍵詞：數(shù)學概念；異面直線；概念教學；教學設計

異面直線是高中數(shù)學的重點和難點，要想做好異面直線的教學設計，就必須使學生掌握異面直線的基礎概念，理解異面直線的空間形態(tài)，牢記其形成條件，提高運用能力. 教學設計不僅要全面，而且要有緩度，使學生的學習壓力最小化、學習樂趣最大化、學習質量最高化、學習能力綜合化，由淺入深地進行教學活動，從根本上提高異面直線的教學質量.

[?] 掌握異面直線的基礎概念

（一）相關問題

一些教師輕視基礎概念的重要性，在教學中對數(shù)學基礎概念的講解匆匆了事，期望利用題海戰(zhàn)術培養(yǎng)學生的數(shù)學能力. 這不僅無法使學生形成數(shù)學意識，而且還會使學生對數(shù)學失去學習興趣，不再深入學習和研究.

（二）基礎概念

異面直線是指兩條不在同一平面內的直線，它們既不相交也不平行.

（三）如何引入

由定義可以看出異面直線是三維概念，從其概念中可提取四個重點元素：空間、直線、不平行、不相交. 針對異面直線的概念引入，我們采取“三步走”的教學設計.

（1）認識直線關系

課始教師提問：“同一平面內，兩條直線有哪些位置關系？”學生答：“相交和平行.” 教師拿出兩根吸管，分別放在講桌上面的兩張紙上，擺出一定角度，提問：“此時兩根吸管所在直線形成何種位置關系？”學生齊答：“相交！”教師將其中一張紙拖著吸管往上抬起一段距離，又問：“此時兩根吸管所在直線有怎樣的位置關系？”一些學生疑惑地說：“相交？”另一些學生否定：“不對，兩條直線沒有交點.” 一些學生疑惑地說：“平行？”另一些學生說：“不對，這兩條直線顯然不是平行的.” 學生陷入深思：怎樣去形容這兩條直線的關系呢？出現(xiàn)既不平行又不相交的原因是什么？一些學生率先想到答案：問題的關鍵在于這兩條直線不處于同一平面，而平行和相交都是以同一平面為前提的.

（2）應用生活模型

教師將問題深入，帶入生活模型：“其實這種既不平行也不相交的例子在我們日常生活中非常常見，如教室的日光燈管所在直線與門框所在直線之間的關系. 你們還能舉出哪些類似的例子？”學生開動腦筋，回答：“衣柜底面垂直于墻面的邊所在直線與衣柜上面平行于墻面的邊所在直線是異面直線.”

（3）引入數(shù)學概念

最后教師再引出數(shù)學概念，使學生了解到“異面直線”的含義，并根據(jù)異面直線的概念回過頭去判定自己所提出的日常生活中的異面直線模型是否正確，從而加深學生對基礎概念重要性的認識.

[?] 理解異面直線的空間形態(tài)

為了使學生更形象、具體、直觀地了解異面直線的存在狀態(tài)，在教學中我們采用兩種教學設計方法.

（一）多媒體教學

利用多媒體課件，不僅可以使異面直線更形象化、感官化，而且可以為學生建立“有形”的空間模型，提高空間想象力. 教學過程如下：

首先在多媒體顯示屏上構建出一個二維平面α，在平面外取任意一點，記為點A，在其上出現(xiàn)一點，記為點B. 連結點A與點B，此時形成的直線記為直線AB. 在該平面上任意畫出一條直線，記做直線a，要求直線a不經(jīng)過點B，如圖1所示. 我們就可以稱直線AB與直線a為異面直線. 在演示過程中學生對空間結構有了形象的感官認知，并且對異面直線的空間位置關系有了更直觀的認識.

（二）建模教學

如何使兩條直線的空間狀態(tài)在草紙上表示出來，這是一個教學重點. 我們首先在黑板上為學生演示異面直線的表示方法，以一個平行四邊形作為二維平面，在其上取一點A，然后做一條直線穿過點A，要求此直線的兩端要超過平行四邊的內部區(qū)域. 之后我們擦去點A以下位于平行四邊內部的直線或用虛線表示，保留位于平行四邊形之外的直線.再在平行四邊形內部做一條不過點A的直線，那么這兩條直線就可以表示異面直線. 之后我們將全部學生分為若干個學習小組，每組5人，每人畫一幅異面直線圖，由小組內部穿插檢測其他學生畫得是否正確.

這樣做一來可以使枯燥的畫圖教學變得有趣，提高互動性；二來在學生為彼此檢查的過程中發(fā)現(xiàn)他人以及自身的問題，通過互幫互助改正錯誤，從而逐步提高學生對異面直線的理解.

[?] 牢記異面直線的形成條件

為了使學生牢記異面直線的形成條件，我們采用探究式的教學設計，提問：我們知道，不在同一平面內，既不相交，也不平行的兩條直線就是異面直線，那么我們是否還能將其精簡一下，并說明原因. 教師讓學生進行小組討論.在討論之后，學生紛紛認為“異面直線”的概念可以精簡為：兩條既不平行又不相交的直線. 學生進一步進行解釋，該簡化概念中涵蓋兩個重點，一是兩條不平行的直線，二是兩條不相交的直線. 首先我們對兩條直線進行限定，不平行. 假如在同一平面內，兩條直線相互不平行，那這兩條直線必相交. 然后我們又限定這兩條直線不相交，否定了兩條直線在同一平面內的假設. 通過這樣的雙重限定，限制了這兩條直線的位置關系. 教師首先給予學生表揚，之后在黑板上畫出草圖，進一步引導學生思考：在一個平面內有一條直線，取直線上任意一點，與直線外任意一點做出一條新的直線，問這條兩直線屬于什么樣的位置關系.

一些學生說：“這兩條直線異面相交.” 另一些學生立即糾正了這種說法：“不應該有異面相交這種說法，這兩條直線同面相交. 因為由這兩條直線可以構成一個新的平面，這個平面與原平面相交.” 此時教師補充：“這兩個平面叫做相切面.” 之后在課堂上開展一個有趣的小游戲：在書本中找到異面直線.學生分小組開始討論，結果多數(shù)學生的解法為：將書本翻到任意一頁，在其中一頁畫上一條平行于頁軸的直線，在另一頁上畫出一條垂直于頁軸的直線，此時兩條直線為異面直線. 教師給予鼓勵，之后將自己書頁中的頁軸涂上顏色，說：“看，現(xiàn)在我們有三條直線，分別位于兩個相切的平面內，而書軸為兩個平面的切線，并且每條一面直線均與切線在同一平面內，它們平行或是相交.” 學生若有所思.之后教師在多媒體上演示平面間的關系.

由此我們將異面直線問題延伸成為空間平面的關系，建立學生初步的空間思維，為學生樹立以數(shù)學概念為依據(jù)的嚴謹?shù)慕忸}思路和探究思路.

[?] 提高異面直線的運用能力

異面直線概念教學的最后一步就是鞏固概念和使用概念，對這一教學內容，我們同樣也從兩個方面進行.

（一）習題練習

例題1：對下列命題的真?zhèn)涡赃M行判斷：

①空間內兩條不相交的直線為異面直線；

②不在同一平面內的兩條直線為異面直線；

③分別位于兩個不同平面內的兩條直線為異面直線；

④不平行也不相交的兩條直線為異面直線.

此題考查學生對基礎概念的理解，根據(jù)異面直線的概念，完全可以對各個命題進行判定，十分簡單.

例題2：現(xiàn)有已知平面α和平面β，以下哪個條件可以判定平面α與平面β平行：

①平面α內有不共線的三個點到平面β的距離相等；

②平面α與平面β都垂直于同一平面；

③平面α內有AB和CD兩條直線，滿足AB∥平面β，CD∥平面β；

④AB和CD是兩條異面直線，滿足AB∥平面α，CD∥平面α，AB∥平面β，CD∥平面β.

這道題目的難度有所增加，考查學生對異面直線關系以及異面直線所處平面關系的理解.

解析：此時我們采用上文提過的頁面模型. ①X型相交平面內可以找到不共線的三個點到另一平面的距離相等. ②以課桌為另一平面，將翻開書的立于課桌上，此時兩平面相交. ③此時AB與CD可能平行. ④兩條異面直線分別平行于兩個平面，則這兩個平面相互平行.

在做題時學生可以總結小規(guī)律，提高做題速度.

（二）拓展延伸

在學習中一些學生提出問題：異面直線之間能不能形成角度，異面直線的距離怎么計算？

我們以書頁模型為基礎向學生講解：任何兩條異面直線所在的不同平面均可以構建出一個正切關系，即兩平面相互垂直，正切線是唯一的. 這條切線與每條異面直線之間都處于同一平面內，由此我們以正切線為關聯(lián)點找到異面直線距離和角度的關系.

角度：正切線與其中一條異面直線存在一個焦點，經(jīng)過該焦點做一條平行于另一條異面直線的平行線，這條平行線與該異面直線所成的角度即為兩條異面直線的角度. 另外，我們規(guī)定該角度范圍是（0°，90°].

距離：在正切線與一條異面直線的焦點上做一條垂直于另一條異面直線的垂線，那么該焦點到另一條異面直線的距離即為兩條異面直線間的距離.

總之，異面直線是一個三維概念，在教學設計中以二維平面為出發(fā)點，以線與線關系為基礎延伸出面與面關系，通過由淺入深、由概念變實用的教學設計，使學生對異面直線的理解深度化、廣度化，促進學生空間思維的形成，使數(shù)學做到有理有據(jù)，這才是最好的教學設計.