潘俊，祝海林，潘月仙，吳宏能

(常州大學機械工程學院，江蘇常州 213016)

隨著國民經濟的發(fā)展，液壓傳動已經得到越來越多行業(yè)的重視，而齒輪泵作為液壓傳動系統(tǒng)中比較常見的一種液壓元件，現(xiàn)已廣泛應用于機床、冶金、礦山、建筑、船舶等機械產品的液壓系統(tǒng)中［1］。

諧波式齒輪泵是在內嚙合齒輪泵的基礎上采用諧波齒輪傳動代替原有內嚙合齒輪傳動的一種新型齒輪泵，它不僅保留了內嚙合齒輪泵結構緊湊、相對滑動速度小、流量脈動小、容積效率高等優(yōu)點［2］，還具有諧波齒輪傳動承載能力大、傳動比大、傳動精度高、回差小等優(yōu)點［3］，并且解決了普通齒輪泵徑向力不平衡的問題。諧波式齒輪泵工作時，柔輪會不斷地發(fā)生彈性變形，從而使得柔輪極易產生疲勞破壞，直接影響泵的使用壽命，因此，對柔輪進行強度分析十分必要。

1 諧波式齒輪泵工作原理

諧波式齒輪泵工作原理如圖1所示，在剛輪與柔輪之間用月牙擋板隔開，這樣便形成4個密封的工作腔，當波發(fā)生器固定，剛輪按照圖1所示方向轉動時，柔輪也按同一方向轉動。隨著吸油口處剛輪與柔輪輪齒的脫開，密封的工作腔體積增大形成真空，使得外界壓力大于內部壓力，油液便在大氣壓作用下經吸油口進入吸油腔，并逐漸充滿輪齒間隙。當吸油腔充滿油液后，油液便隨著齒輪的轉動被帶入壓油腔，此時壓油口處剛輪與柔輪的輪齒正逐漸進入嚙合，使得工作腔體積減小，從而形成了高壓油腔，齒間的油液便通過壓油口被擠出，輸送到液壓傳動系統(tǒng)中。

圖1 諧波式齒輪泵原理簡圖

2 柔輪疲勞強度分析

2.1 柔輪的變形及應力分析

如圖2所示，柔輪受到雙滾輪波發(fā)生器兩個對稱的徑向力作用而發(fā)生變形，且在B、D兩點處出現(xiàn)最大正應力σmax，A、C兩點處出現(xiàn)最小正應力σmin。

柔輪轉動時，實際由彎曲正應力σ和扭轉切應力τ共同作用，但是由于諧波式齒輪泵的柔輪采用環(huán)形結構，不存在筒形柔輪從輪齒部分到光滑部分過渡時因橫截面形狀改變而產生的扭轉切應力集中現(xiàn)象［4］，因此，扭轉切應力τ對諧波式齒輪泵柔輪疲勞強度的影響很小，在近似計算中，可以只考慮彎曲正應力σ的影響。一般情況下，對諧波式齒輪泵柔輪進行疲勞強度分析，即確定它的疲勞強度安全系數(shù)是否滿足要求:

式中:σ-1為柔輪材料的彎曲疲勞強度極限，MPa;

λσ為實際柔輪與樣件的疲勞極限差異系數(shù)，一般取 1.8 ～2［5］;

ψσ為平均應力影響系數(shù)，一般取0.1～0.15［5］;

σα為柔輪截面上的循環(huán)應力幅值;

σm為柔輪截面上的平均應力;

［n］為柔輪材料許用安全系數(shù)，一般取1.3～1.5［5］。

其中［4］:

圖2 柔輪變形示意圖

2.2 柔輪疲勞強度校核

根據(jù)材料力學中有關變形和應力公式，采用莫爾積分可得諧波式齒輪泵環(huán)形柔輪長軸的直徑增大量為［6］:

即可得徑向力為:

式中:ω0為柔輪最大徑向變形量，mm;

E為柔輪材料的彈性模量，對于鋼，E=2.1×105N/mm2［6］;

dm為柔輪中性圓直徑，mm;dm=df-δ(df為柔輪齒根圓直徑，δ為柔輪壁厚)

在徑向力作用下，B、D兩點的彎矩為:

由公式 (4)和 (5)可得最大正應力為:

式中:Kδ為柔輪上的輪齒影響系數(shù)，一般取1.05～1.1［6］。

同理可得最小正應力為:

由公式 (6)和 (7)可得:

將公式 (8)代入公式 (1)，并取 λσ=1.8［5］，ψσ=0.15［5］，Kδ=1.05［6］，=0.9［6］，可得諧波式齒輪泵柔輪疲勞強度校核公式為:

3 柔輪輪齒彎曲強度分析

3.1 柔輪輪齒最大彎矩分析

諧波式齒輪泵柔輪受載時，齒根所受的彎矩最大，因此齒根處的彎曲疲勞強度最弱。當載荷作用于齒頂時，此時彎矩的力臂雖然最大，但是力并非最大，因此彎矩并不是最大。根據(jù)分析，柔輪齒根所受的最大彎矩發(fā)生在嚙合點位于單對齒嚙合區(qū)最高點處，即如圖3所示齒面法向力Fn作用于柔輪分度圓處，因為此時Fn與輪齒對稱中心線的垂線的夾角β剛好等于分度圓壓力角α，從而使得齒面法向力Fn用于產生彎曲應力的分力達到最大，因此，齒根彎曲強度校核也應按載荷作用于單對齒嚙合區(qū)最高點來計算。

根據(jù)機械原理，將輪齒看作懸臂梁，如圖3所示，齒面法向力Fn與輪齒對稱中心線的垂線的夾角為β，F(xiàn)1與F2為Fn的兩個分力，F(xiàn)1使齒根產生彎曲應力，F(xiàn)2則產生壓應力，因此，柔輪齒根危險截面的彎曲力矩為［7］:

式中:K為載荷系數(shù)，當原動機為電動機時，一般取1.2 ～ 1.6［7］;

Fn為齒面法向力，N;

β為法向力與輪齒對稱中心線的垂線的夾角;

h1為單對齒嚙合區(qū)最大力臂，mm;

圖3 柔輪輪齒受力示意圖

法向力Fn可用以下關系式表示:

式中:Ft為齒輪圓周力，N;

T為泵的輸入轉矩，N·mm;

p為泵的出口壓力，MPa;

q為泵的排量，mL/r;

m為齒輪模數(shù)，mm;

zg為剛輪齒數(shù);

α為分度圓壓力角。

如圖3所示，單對齒嚙合區(qū)最大力臂h1可用以下關系式表示:

式中:zr為柔輪齒數(shù)。

將公式 (11)、(12)代入公式 (10)可得柔輪輪齒最大彎矩為:

3.2 柔輪輪齒彎曲強度校核

柔輪輪齒的危險截面可看作是一個寬為b、高為SF的長方形，因此，其截面慣性矩為［8］:

式中:b為柔輪齒寬，mm;

SF為柔輪輪齒危險截面的高，mm。

為方便計算，可將SF視為柔輪基圓處齒厚對應的弦長，根據(jù)任意圓上的齒厚公式可得基圓處齒厚為［9］:

式中:rb為柔輪基圓半徑，mm;

r為柔輪分度圓半徑，mm;

αb為基圓壓力角。

根據(jù)任意圓上的壓力角公式可得基圓壓力角為［9］:

將公式 (16)代入公式 (15)可得:

因此，柔輪基圓處齒厚對應的弦長為:

由公式 (13)、(14)和 (18)可得柔輪輪齒彎曲強度校核公式為:

式中:［σF］為許用安全應力，MPa;

σ-1為柔輪材料的彎曲疲勞強度極限，MPa;

SFmin為最小安全系數(shù)，塑性材料一般取1.5～2。

4 實例分析

現(xiàn)有一諧波式齒輪泵，出口壓力p=4 MPa，排量q=630 L，柔輪材料為30CrMnSiA，熱處理方式為調質+氮化，彎曲疲勞極限σ-1=620 N/mm2，最小安全系數(shù)SFmin=1.8，彈性模量E=2.1×105MPa，柔輪齒數(shù)zr=70，剛輪齒數(shù)zg=72，模數(shù)m=4 mm，載荷系數(shù)K=1.6。

將上述數(shù)據(jù)分別代入公式 (9)和 (19)可得:

因此，柔輪滿足疲勞強度要求和輪齒彎曲強度要求。

5 結論

隨著機械行業(yè)的發(fā)展，齒輪泵作為液壓傳動系統(tǒng)中常見的一種液壓元件，必將得到越來越廣泛的應用。諧波式齒輪泵作為一種新型齒輪泵，解決了徑向力不平衡這一問題，在未來的社會發(fā)展中一定會起到重要作用。文中推導出的柔輪疲勞強度校核公式和輪齒彎曲強度校核公式，可校核柔輪是否滿足強度要求，為新型齒輪泵的設計和開發(fā)提供了理論參考。

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