何姜林

（成都大學(xué)城鄉(xiāng)建設(shè)學(xué)院,四川成都610106）

一種關(guān)于函數(shù)之間關(guān)系的函數(shù)與究極關(guān)系

何姜林

（成都大學(xué)城鄉(xiāng)建設(shè)學(xué)院,四川成都610106）

定義了一種新的關(guān)系“究極關(guān)系”,通過(guò)“究極關(guān)系”找到了判斷函數(shù)大小關(guān)系和復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的一般方法,通過(guò)這種求導(dǎo)的方法求切線(xiàn)斜率變得非常簡(jiǎn)單,并討論了函數(shù)之間的一些微妙性質(zhì).由究極關(guān)系得到了一種新的函數(shù)形式（分部變化函數(shù)）,并初步討論了這種函數(shù)的積分.

究極關(guān)系；求導(dǎo)關(guān)系；分部變化函數(shù)；積分；函數(shù)關(guān)系

以前的數(shù)學(xué)工作者研究一個(gè)函數(shù),研究的是這個(gè)函數(shù)中變量對(duì)這個(gè)函數(shù)整體的效果,而如今數(shù)學(xué)的發(fā)展是研究函數(shù)自身,我們必須了解一個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)是怎么影響這個(gè)整體的[1-3]；按照以往的研究思路很難具體地了解函數(shù)本身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)于這個(gè)整體的影響,對(duì)函數(shù)的研究很難突破這個(gè)瓶頸[4],迫切地尋求一種新的思路、一種新的工具來(lái)研究函數(shù)[5-6].

本文把一個(gè)函數(shù)分成多個(gè)部分來(lái)研究.受方程中設(shè)未知數(shù)的思想的影響,以全新的定義實(shí)現(xiàn)了對(duì)于在多個(gè)函數(shù)之間建立未知關(guān)系即“究極關(guān)系”的方法,并根據(jù)“究極關(guān)系”把任意一個(gè)函數(shù)分為多個(gè)部分,進(jìn)而得到了全新的求導(dǎo)方法：分部分求導(dǎo)再相加.簡(jiǎn)化了求導(dǎo)的運(yùn)算,打破了求切線(xiàn)斜率時(shí),坐標(biāo)不可在求導(dǎo)過(guò)程中代入運(yùn)算的思想,極大的簡(jiǎn)化了求切線(xiàn)的斜率的方法.并根據(jù)究極關(guān)系的一些固有性質(zhì)討論了函數(shù)的一些性質(zhì).

1 究極關(guān)系定義

在比較a與b的大小的過(guò)程中,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)最終是可以確定a與b的大小關(guān)系的,但是在化簡(jiǎn)之前是不確定的,這類(lèi)似于解方程中的未知數(shù)x,于是不妨也設(shè)a與b的大小關(guān)系為未知關(guān)系,然后利用關(guān)系運(yùn)算法則來(lái)最終確定.

定義1設(shè)“○x”表示一種不等關(guān)系,如“○x ”可以表示“＞”“＜”“=”.

設(shè)f（x）為定義域A內(nèi)單調(diào)函數(shù),且a∈A,b∈A；當(dāng)f（x）為單調(diào)函數(shù)時(shí)f（a）與f（b）的大小同a與b相同,當(dāng)f（x）為減函數(shù)時(shí),f（a）與f（b）的大小與a與b相反.例如,相同關(guān)系：a＞b則f（a）＞f（b）；相反關(guān)系：a＜b則f（a）＜f（b）.“=”的相反關(guān)系仍然是“=”.

不等關(guān)系是可以傳遞的,如,a＞b,b＞c則a＞c.

在F（x）=g（x）+f（x）中F（x）是由g（x）與f（x）兩部分在“+”這種關(guān)系下組成的,由此可以聯(lián)想到一個(gè)函數(shù)是G（x）由n個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)一定的關(guān)系聯(lián)合組成的,把G（x）叫做這n個(gè)函數(shù)的集函數(shù),把這n個(gè)函數(shù)叫做G（x）的分函數(shù).有n個(gè)究極關(guān)系式就有n+1個(gè)分函數(shù)（注：分函數(shù)之間可以有相同的函數(shù)）.

g(x)

iv同一個(gè)式子可以經(jīng)過(guò)不同的關(guān)系來(lái)表示；

vi函數(shù)G（x）中x的必須全部分配到分函數(shù)中.

可以這樣理解函數(shù)中的究極關(guān)系,即設(shè)一個(gè)時(shí)鐘是由指針、機(jī)械螺母、電池3部分合理連接、協(xié)調(diào)工作組成了時(shí)鐘這樣一個(gè)整體；這3部分的連接關(guān)系就相當(dāng)于函數(shù)中的究極關(guān)系.

2 函數(shù)的關(guān)系

判斷：（用反證法）假設(shè)f( x)≠m( x),設(shè)a為任意一個(gè)常數(shù),令a=x則有F( a)=f( a)—x—→ g( a)=m(a)—x—→ g( a)；

圖1 兩個(gè)函數(shù)的分部情況Fig.1 Case of two functions

由圖1可以看出在這種情況下當(dāng)W( x)在[m(a3),f(a1)]之間存在單減情況時(shí)假設(shè)成立.如,,其中f( x)=x, g( x)=3,當(dāng)m( x)=x+2π時(shí),成立.

定理1x 設(shè)F(x)為定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),當(dāng)存在有等式g( x)和F( x)=m( x)——→g( x),則必有f( x)=m( x)恒成立.

推論（唯一確定性定理）1設(shè)F(x)為定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),存在有下面兩個(gè)等式和,則必有恒成立.

那么必有

把y(x)叫做中介函數(shù).

定理2對(duì)任意一個(gè)函數(shù)F(x)可以有任意多個(gè)任意分函數(shù).

證明：由式（1）有

其中

同理有

推論2對(duì)任意一個(gè)函數(shù)F(x)可以有任意多個(gè)任意的完整的或不完整的分函數(shù).

3 究極關(guān)系下的求導(dǎo)公式

令g( x)=a, f( x)=b ,則

設(shè)F'(x)=m( x, a, b),m( x, a, b)為求導(dǎo)最后結(jié)果,再把b、a分別用f( x)、g( x)帶入m( x, a, b)即得結(jié)果.其中a、b并不參與變量的求導(dǎo),稱(chēng)b、a為函數(shù)f( x)、g( x)的常數(shù)表達(dá)形式.

證明：設(shè)F（x）函數(shù)的常數(shù)表達(dá)式為f( x)=a、g( x)=b,根據(jù)式（2）有

即得

上面是把一個(gè)函數(shù)化為兩個(gè)函數(shù)表示時(shí)的求導(dǎo)方法,那么當(dāng)把一個(gè)函數(shù)化為三個(gè)或則更多個(gè)函數(shù)表示時(shí)的求導(dǎo)方法為,設(shè)

則有

令

代入式（3）,有

令

代入則有

同理,令

那么就有

上述只考慮的函數(shù)之間構(gòu)成的是完整關(guān)系,根據(jù)式（2）易知對(duì)于不完整關(guān)系也成立.

由上可以看出求導(dǎo)的過(guò)程是先對(duì)一部分變量進(jìn)行求導(dǎo),再對(duì)另一部分求導(dǎo),最后兩部分結(jié)果相加得到的過(guò)程.

解：令1-x=a,1+x=b ,根據(jù)（2）則

例二：求f( x)=xxx的導(dǎo)數(shù).

另一解法：兩邊同取對(duì)數(shù)lnf( x)=xxlnx,兩邊求導(dǎo)；令y=xx,則lny=xln x；

定理3設(shè)F（x）、g（x）為定義域內(nèi)的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),則有

其中b=g( x), c=F( x)；F( x)=f( x)g( x),f( x)=F( x)g( x),f( x)為中介函數(shù).

為了方便討論把g（x）中的自變量標(biāo)記為j,F（x）中的自變量標(biāo)記為x.

得W'[g( x)]=y( j ),因?yàn)間（x）并不唯一所以y（j）也不唯一,即

的值并不唯一,得證.

4 究極關(guān)系下的斜率與積分

4.1 過(guò)點(diǎn)（x0,y0）的切線(xiàn)斜率

設(shè)（fx）過(guò)點(diǎn)A（x0,y0）,且,求在點(diǎn)A的斜率.

解：令a=u( x), b=v( x),則

求出f'(x),再令x=x0則得（fx）在點(diǎn)A的斜率

例一：求y=x ln x在x=1處的導(dǎo)數(shù).

解：在x=1處有

例二：求y=(1+x2)tanx在x=0的導(dǎo)數(shù).

4.2 分部變化函數(shù)及其積分

設(shè)f'(x)=g(x)+g(x),其中g(shù)(x) =[y(x)—x— →y( x)]'；令

121120

則有

所以有

定義4把這種為了滿(mǎn)足特定的情況通過(guò)控制變量的變化而把一部分變量暫時(shí)當(dāng)作常量進(jìn)行求導(dǎo)的函數(shù)叫做分部變化函數(shù).

F（x,x0）為f（x,x0）的一個(gè)原函數(shù),稱(chēng)（4.1）為廣義積分公式,當(dāng)x0=0時(shí)即為傳統(tǒng)求積公式.根據(jù)廣義積分公式易知有

已知∫kf( x, x0)dx=k∫f( x, x0)d x ,設(shè)G（x）為（fx,x）的一個(gè)原函數(shù),令

根據(jù)此方程組中的某些方程即可解出G（x）,對(duì)于方程vi和viii要是最后不能將方程中的x0消去,則方程vi和viii就等價(jià)于方程v和vii；以后對(duì)分部變化函數(shù)的研究也得依據(jù)此方程組.

5 小結(jié)

本文引入究極關(guān)系是為了研究函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系,以及函數(shù)在某一關(guān)系下所具有的性質(zhì).通過(guò)究極關(guān)系可以研究系統(tǒng)與系統(tǒng)間的連接方式,根據(jù)系統(tǒng)的連接方式來(lái)確定部分系統(tǒng)和求得系統(tǒng)的性質(zhì).討論了究極關(guān)系對(duì)求導(dǎo)的幫助,通過(guò)對(duì)究極關(guān)系的研究將對(duì)分部變化函數(shù)、微分方程以及極限的研究開(kāi)啟一種新的思路；更是將函數(shù)與函數(shù)之間的研究抽象到關(guān)系與關(guān)系的研究.今后對(duì)用怎樣的組合關(guān)系對(duì)函數(shù)的研究更方便,及函數(shù)（或系統(tǒng)）之間的組合方式和究極關(guān)系在多元函數(shù)中的性質(zhì)還需進(jìn)一步研究.

[1]Hardy G H.純數(shù)學(xué)教程[M].北京：人民郵電出版社,2011.

[2]北京大學(xué)哲學(xué)系外國(guó)哲學(xué)史教研室.西方哲學(xué)原著選讀[M].北京：商務(wù)印書(shū)館,1982.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析,上冊(cè)[M].3版.北京：高等教育出版社,2001：101.

[4]甘欣榮,湯光送.冪指函數(shù)性質(zhì)的推廣[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,25（2）：26-28.

[5]Wu T,Biswas S.Minimizing inter-cluster interference by self-reorganizing MAC allocation in sen,networks[J].Wireless Networks, 2007,13（5）：691-703.

[6]盧亞麗,李艷華,李戰(zhàn)國(guó),等.變限積分函數(shù)求導(dǎo)方法研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2004,13（1）：4-6.

（責(zé)任編輯：盧奇）

A new function about relationship between functions and Ultimate Relationship

He Jianglin
（College of Urban and Rural Construction,Chengdu University,Chengdu 610106,China）

The definition of Ultimate Relationship and through Ultimate Relationship find judging function size and the derivation method of complex function,through this derivation method makes the slope of the tangent line method becomes very simple.The Ultimate Relationship is a new form of function（Segment varying function）,and discusses the function of integral.

Ultimate Relationship；the derivation relation；segment varying function；Integration；functional relation.

O174.6

A

：1008-7516（2014）01-0049-07

10.3969/j.issn.1008-7516.2014.01.010

2013-11-14

成都大學(xué)創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)資助（CDUCX201301028）

何姜林（1992-）,男,四川雅安人.主要從事數(shù)理邏輯、分析哲學(xué)研究.