劉 巖,劉 敏

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

李代數(shù)是一類重要的非結(jié)合代數(shù)，無論就其理論的完整性還是其應(yīng)用的廣泛性，李代數(shù)都是一個很重要的數(shù)學(xué)分支,在[1-3]中對李代數(shù)的有關(guān)概念已經(jīng)給出了具體的定義.其中Novikov代數(shù)是在研究哈密爾頓算子時產(chǎn)生的，與李代數(shù)的聯(lián)系非常密切.由Novikov代數(shù)引出的Hom-Novikov代數(shù)是一個比較新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，至今已得到了一些結(jié)果，所以對Hom-Novikov代數(shù)的研究有很大的研究空間.我們可以通過對Novikov代數(shù)的性質(zhì)研究Hom-Novikov代數(shù)的一些性質(zhì).

這篇文章中，我們將討論四維Novikov代數(shù)上的Hom-Novikov代數(shù)的分類.本文主要由以下幾部分構(gòu)成: 第一部分中，我們簡單的給出關(guān)于Hom-Novikov代數(shù)的一些相關(guān)定義和性質(zhì)；第二部分中，我們給出復(fù)數(shù)域上四維Novikov代數(shù)的分類，然后根據(jù)定理1，計算出相應(yīng)的Hom-Novikov代數(shù).

1 準備知識

定義1[4]設(shè)(l,μ)是數(shù)域F上的向量空間，l上有雙線性乘積μ：L×L→L滿足：

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz)

(1)

和

(xy)z=(xz)y,

(2)

其中μ(x,y)=xy，則稱(L,μ)為Novikov代數(shù).

定義2[5]設(shè)(L,μ)是數(shù)域F上的向量空間，L上有雙線性乘積μ：L×L→L，并且a:L→L是一個線性映射滿足：

α(x,y)=α(x)α(y),

(3)

(xy)α(z)-α(x)(yz)=(yx)α(z)-α(y)(xz),

(4)

(xy)α(z)=(xz)α(y),

(5)

則稱(L,μ,α)為Hom-Novikov代數(shù).

定理1[5]令(L,μ)為Novikov代數(shù)且有α:L→L為一個代數(shù)映射，那么Lα=(L,μα,α)為Hom-Novikov代數(shù).

我們稱Lα=(L,μα,α)為Novikov代數(shù)(L,μ)的一個變形，我們可以通過定理1得到與Novikov代數(shù)對應(yīng)的Hom-Novikov代數(shù).接下來給出兩個類似于定理1的構(gòu)造Hom-Novikov代數(shù)的方法：

定理2[5]令(L,μ,α)為Hom-commutative代數(shù)且D:L→L為一個導(dǎo)子滿足Dα=αD，那么(L,*,α)Hom-Novikov代數(shù)，其中a*b=μ(a,D(b))=aD(b).

推論1[5]令(L,μ)是一個associative和commutative代數(shù)且有α:L→L為一個代數(shù)映射，并且D:L→L為一個導(dǎo)子滿足Dα=αD，那么(L,*,α)為Hom-Novikov代數(shù)，其中x*y=α(xD(y))，x,y∈A.

定理3[5]令(L,[-,-],α)為Hom-Lie代數(shù)，f:L→L為一個線性映射使得fα=αf.定義一個乘積x*y=[f(x),y]，x*'y=[x,f(y)].x,y∈L.那么我們得到：

(1)(L,*,α)為Hom-Novikov代數(shù)當且僅當以下各式成立f([f(x),y]+[x,f(y)])-[f(x),f(y)]∈Z(?(L))，和[f([f(x),y]),α(z)]=[f([f(x),z]),?(y)],x,y,z∈L；

(2)(L,*',α)為Hom-Novikov代數(shù)當且僅當以下各式成立[[f(x),y]+[x,f(y)],f(α(z))]-[?(x),f([y,f(z)])]+[?(y,f([x,f(z)]))]=0和[f(x),f(y)]∈Z(?(L))，x,y,z∈L.

2 四維Hom-Novikov代數(shù)

設(shè)(L,μ)是復(fù)數(shù)域上的四維Novikov代數(shù)，e1,e2,e3,e4是L的基，則它的特征矩陣為

設(shè)α:L→L是一個代數(shù)映射，且μα=α·μ是Hom-Novikov代數(shù)的乘積，則它的特征矩陣為

并且α:L→L是一個線性映射，則它的四階矩陣為

根據(jù)定理1的構(gòu)造方法以及M(α)、M(μ)、M(μα)之間的關(guān)系，我們就可以由[4]中的四維Novikov代數(shù)的分類算出它的所有的代數(shù)態(tài)射M(α)，再根據(jù)定理1得出與之相對應(yīng)的Hom-Novikov代數(shù)，如下所示.

定理4四維Novikov代數(shù)上的Hom-Novikov代數(shù)的分類，如下:

表1 四維Novikov代數(shù)上的Hom-Novikov代數(shù)

續(xù)表

續(xù)表

證明 由于方法相似，我們以A4,2為例進行證明.設(shè)α:L→L為A4,2的一個線性映射.

由α(e1e1)=α(e1)α(e1)=(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)=a112e2=α(e2)可得a112=a22,a12=a32=a42=0.

由α(e1e2)=α(e1)α(e2)=(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)(a12e1+a22e2+a32e3+a42e4)=a11a12e2=0

可得a11a12=0.

同理有a11a13=0，a11a14=0，a122=0，a12a13=0，a12a14=0，a132=0，a13a14=0，a142=0,

所以根據(jù)以上結(jié)論我們得出

則d111=d311d411=0,d211=1.

所以α(e1e1)=d111α(e1)+d211α(e2)+d311α(e3)+d411α(e4)=α(e2),

即α(e1e1)=a12e2

所以與A4,2相對應(yīng)的Hom-Novikov代數(shù)為

注：矩陣中的系數(shù)a,b,c,d,ai,bi,ci,di和λ都在上.

參考文獻：

[1]JACOBSON N.LIE Algebras[M].New York:Dover,1979.

[2]J.Humphreys.Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M].New York:Springer-Verlag,1972.

[3]孟道驥,復(fù)半單李代數(shù)引論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1998.

[4]Dietrich Burde,Willem de Graaf: Classification of Novikov algebras[J].AAECC(2013).

[5]Donald Yay.Hom-Novikov Algebras[J].arXiv:0909.0726v2.