皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

并聯(lián)六自由度機構運動學與動力學標定對比

皮陽軍，王驥，胡玉梅

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044）

為了研究并聯(lián)六自由度機構不同標定方法的適用性，依據運動學標定和動力學標定，分別建立了并聯(lián)六自由度機構的標定模型，并通過數值仿真對標定效果進行對比分析。結果表明：運動學標定方法對提高機構運動正解精度更為有效，正解誤差比動力學標定的結果小4.9%，有利于傳統(tǒng)的基于關節(jié)空間的并聯(lián)機構控制策略；動力學標定方法對提高機構動力學模型精度更為有效，關節(jié)驅動力誤差比運動學標定的結果小5～25 N，更適合基于工作空間的并聯(lián)機構控制策略。

并聯(lián)六自由度機構；結構參數；標定方法；標定精度；關節(jié)空間；動力學標定；運動學標定

隨著并聯(lián)六自由度機構廣泛應用于航天航空、艦船模擬器、工業(yè)制造等領域，傳統(tǒng)的PID控制方式已經不能滿足人們在實際生產活動中對并聯(lián)六自由度機構精度的要求。國內外越來越多的學者將先進的控制理論應用到并聯(lián)六自由度機構的控制實踐上，如魯棒控制［1］、自適應控制等［2］。許多控制方法可歸類為基于模型的控制方法，其控制效果在很大程度上受到模型精度的影響。因此，需要提高機構模型精度。目前一種經濟有效的方法就是對機構的結構參數進行標定［3］。

并聯(lián)機器人的控制方式主要有基于關節(jié)空間和基于工作空間2種方式［4］?；陉P節(jié)空間的控制方式［5-7］盡管控制算法簡單，易實現［8］，但是，對于解決各驅動桿之間相互耦合以及關節(jié)空間到工作空間映射誤差的問題，還是存在著一些不足之處。目前，許多學者提出了基于工作空間的控制方式［9-10］，即通過測量動平臺的位姿信息作為反饋信號，然后與動平臺目標位姿進行對比，再調整各缸輸入量，從而控制動平臺跟蹤目標軌跡運動。在基于關節(jié)空間控制方法中，控制精度除了取決于控制器本身的精度外，還很大程度上依賴于機構正解精度，而正解精度往往取決于機構的結構參數，因此，需要對機構模型參數進行標定。許多學者提出了并聯(lián)六自由度機構的運動學標定方法［11-13］。另一方面，基于工作空間的控制方法需要有較高精度的機構動力學模型，文獻［14］提出一種動力學標定方法，該方法依據并聯(lián)六自由度機構的動力學模型以及關節(jié)力和廣義力之間的映射關系，構建實際廣義力與理論廣義力的差值為目標函數，采用最小二乘法求最優(yōu)解的方法標定出結構參數。該方法有效減小了關節(jié)驅動力誤差，提高了并聯(lián)六自由度機構動力學模型精度。

為比較2種標定方法的效果，首先建立了并聯(lián)六自由度機構虛擬樣機，然后分別對樣機進行動力學與運動學標定，最后對不同標定方法的標定效果進行對比分析。

1 并聯(lián)六自由度機構

建立并聯(lián)六自由度機構虛擬樣機，如圖1所示。圖2為結構示意圖，基坐標系O1X1Y1Z1和動坐標系O2X2Y2Z2分別是基平臺和動平臺上的坐標系，標定目標參數θ分別為：上平臺鉸鏈Pi在動坐標系中的位置坐標b′i；下平臺鉸鏈Bi在基坐標系中的位置坐標Bi；各桿的初始長度q。確定機構動力學、運動學模型時都需要以上參數，這些參數的精確性決定了機構模型的精度。

圖1 并聯(lián)六自由度機構ADAMS模型Fig.1 ADAMS model of the 6-DOF parallel mechanism

圖2 并聯(lián)六自由度機構示意圖Fig.2 Sketch map of the 6-DOF parallel mechanism

2 運動學標定原理

并聯(lián)機器人基于關節(jié)空間控制的理論基礎是并聯(lián)機構運動學模型的逆解算法，即動平臺目標位姿通過逆解算法計算得各桿的桿長，然后控制各桿運動至指定位置，從而獲得動平臺位姿。典型的并聯(lián)六自由度機構運動學標定方法也是基于并聯(lián)六自由度機構運動逆解算法，即動平臺位姿通過逆解算法計算得相應理論桿長增量，并利用關節(jié)傳感器獲得實際的桿長增量，構建實際桿長與理論桿長的差值作為目標函數，最后利用優(yōu)化算法辨識出機床的結構參數。

在動坐標系中的任一向量R＇可以通過坐標變換方法變換到固定坐標系中的R［15］：

式中：T為并聯(lián)六自由度機構動平臺位姿的方向余弦矩陣：

C為動坐標系的原點在固定坐標系中的位置矢量：

因此，可以得出上下平臺各鉸鏈點在固定坐標系中的位置向量bi，Bi（i＝1，2，…，6）。此時，第i根活塞桿桿長向量li可表示為則桿長增量Δli＝li－qi。構造桿長增量偏差目標函數Δe＝Δl－Δl′，其中模型桿長增量Δl＝［Δl1，…，Δl6］T，Δl′是實際桿長增量。最后通過最優(yōu)算法解得運動學標定結構參數使目標函數e最小。

3 動力學標定原理

動力學標定是基于并聯(lián)六自由度機構的動力學方程如下：

式中：M為上平臺的廣義質量陣，V為上平臺非線性科氏向心項系數矩陣，G為上平臺重力項，X為上平臺廣義位姿，F為上平臺所受廣義力。

同時，關節(jié)力f與廣義力F可以通過力雅可比矩陣Jf聯(lián)系起來，即

將式（6）代入式（5），可得

當并聯(lián)六自由度機構處于靜止狀態(tài)時，廣義速度X·和廣義加速度X¨均為零，所以，動力學方程可簡化為靜力學方程，可表示為

將力雅可比矩陣表示為關于結構參數與機構位姿的函數，可得到

對于給定的并聯(lián)六自由度機構，G為常數向量?？赏ㄟ^關節(jié)力傳感器測量機構處于不同位姿X時各關節(jié)的驅動力f，通過最優(yōu)算法，如最小二乘法，便可解得動力學標定結構參數θ。

4 標定及仿真結果

4.1 標定結果

在虛擬樣機仿真中測量運動學標定所需的動平臺位姿信息和活塞桿位移量，以及動力學標定所需的動平臺位姿和關節(jié)驅動力。通過最小二乘法求解得運動學標定參數和動力學標定參數。標定結果如表1～4所示。

表1 并聯(lián)六自由度機構實際結構參數Table 1 Actual structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表2 并聯(lián)六自由度機構設計結構參數Table 2 Design structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表3 并聯(lián)六自由度機構運動學標定結構參數Table 3 Kinematics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

表4 并聯(lián)六自由度機構動力學標定結構參數Table 4 Dynamics identified structural parameters of the 6 DOF parallel mechanism m

4.2 仿真結果

比較運動學標定與動力學標定的正解精度，首先給定6根活塞桿的位移輸入量如下

然后分別測量實際以及標定后的動平臺位移曲線，如圖3所示，計算得動平臺位置誤差如圖4所示。由圖可以看出，運動學標定后動平臺位置誤差小于動力學標定后及設計模型的動平臺位置誤差。因此，對于需要提高機構正解精度的情況（基于關節(jié)空間的控制），運動學標定更為適用。

圖3 動平臺位移曲線Fig.3 Displacement curves of moving platform

圖4 動平臺位置誤差Fig.4 Position errors of moving platform

為比較2種標定方法動力學逆解精度，首先給定動平臺運動曲線方程：

然后分別測量實際關節(jié)驅動力以及標定后的關節(jié)驅動力，從而得到關節(jié)驅動力誤差曲線，如圖5～7。

圖5 設計結構參數關節(jié)驅動力誤差Fig.5 Joint force errors without calibration

圖6 運動學標定后關節(jié)驅動力誤差Fig.6 Joint force errors with kinematic calibration

圖7 動力學標定后關節(jié)驅動力Fig.7 Joint force errors with dynamic calibration

從圖中可以看出，動力學標定后的關節(jié)驅動力誤差小于運動學標定后及設計模型的關節(jié)驅動力誤差。因此，對于需要提高機構動力學逆解精度的情況（基于工作空間的控制），動力學標定更加有效。

根據動平臺位置誤差曲線，以及關節(jié)驅動力誤差曲線，可得到運動學標定和動力學標定的誤差值對比，如表5所示。

表5 2種標定方法誤差值對比Table 5 Comparison of errors in two calibrations

5 結論

本文通過對并聯(lián)六自由度機構運動學與動力學標定方法進行對比分析，提出了這兩種標定方法對不同控制策略的適用性：1）當采用基于關節(jié)空間的控制方式時，僅控制各驅動桿的位移量，然后通過運動正解關系獲得動平臺位姿，最終控制精度不僅取決于關節(jié)控制精度，也依賴于機構的正解精度。由仿真結果可知，基于運動學的標定方法可以有效提高并聯(lián)六自由度機構的正解精度，該方法適宜于基于關節(jié)空間的控制方式。2）當采用基于工作空間的控制方式時，直接測量動平臺的位姿信息作為反饋量，然后通過并聯(lián)機構的動力學模型求得所需關節(jié)驅動力，控制精度在很大程度上依賴于動力學模型的精度。仿真結果表明，采用動力學標定后，關節(jié)驅動力誤差明顯減小，有效提高了并聯(lián)六自由度機構的動力學模型精度，該方法更適宜于并聯(lián)機構基于工作空間的控制方式。所得結論有助于并聯(lián)六自由度機構標定方法的選擇以及控制精度的提高。

［1］DONG H K，KANG J Y，LEE K I.Robust tracking control design for a 6 DOF parallel manipulator［J］.Journal of Robotic Systems，2000，17（10）：527-547.

［2］XU Dongguang，DONG Yanliang，WU Shenglin，et al.Nonlinear adaptive controller design for the Stewart platform by hydraulic driven［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，43（3）：223-227.

［3］彭斌彬，高峰.并聯(lián)機器人的標定建模［J］.機械工程學報，2005，41（8）：132-135.PENG Binbin，GAO Feng.Modeling for calibration of parallel robot［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41（8）：132-135.

［4］吳東蘇.輕型飛行模擬器運動平臺先進控制技術研究［D］.南京：南京航天航空大學，2007：41-43.WU Dongsu.Advanced control technology research of light flight simulator motion platform［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2007：41-43.

［5］SU Y X，DUAN B Y，ZHENG C H.Nonlinear PID control of a six-DOF parallel manipulator［J］.IEEE Proceedings on Control Theory and Applications，2004，151（1）：95-102.

［6］QU Zhiyong，YE Zhengmao.Optimal joint space control design of a hydraulic Stewart manipulator［C］／／2011 International Conference on Information Technology for Manufacturing Systems.Shanghai，2011：2438-2441.

［7］PI Yangjun，WANG Xuanyin.Observer-based cascade control of a 6-DOF parallel hydraulic manipulator in joint space coordinate［J］.Mechatronics，2010，20（6）：648-655.

［8］GUO Hongbo，LIU Yongguan，LIU Guirong.Cascade control of a hydraulically driven 6-DOF parallel mechanism manipulator based on a sliding mode［J］.Control Engineering Practice，2008，16（9）：1055-1068.

［9］王宣銀，李強，程佳.液壓Stewart平臺基于工作空間綜合偏差的同步控制［J］.航空學報，2009，30（4）：720-725.WANG Xuanyin，LI Qiang CHENG Jia.Synchronous tracking control for hydraulic Stewart platform based on combination tracking errors in operation workspace［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30（4）：720-725.

［10］ASHRAF O，AYMAN K.Optimal task space control design of a Stewart manipulator for aircraft stall recovery［J］.Aerospace Science and Technology，2011，15（5）：353-365.

［11］高建設.新型五自由度并聯(lián)機床運動學標定與驅動輸入選擇研究［D］.秦皇島：燕山大學，2006：51-69.GAO Jianshe.Research on actuating input selection and kinematic calibration of a novel 5-DOF parallel machine tool［D］.Qinhuangdao：Yanshan University，2006：51-69.

［12］張文昌，梅江平，劉藝，等.基于激光跟蹤儀的Delta并聯(lián)機構運動學誤差標定［J］.天津大學學報，2013，46（3）：257-262.ZHANG Wenchang，MEI Jiangping，LIU Yi，et al.Calibration of delta parallel robot kinematic errors based on laser tracker［J］.Journal of Tianjin University，2013，46（3）：257-262.

［13］ZHUANG Hanqi，LIU Lixin.Self-calibration of a class of parallel manipulators［C］／／Proceedings of the IEEE International Conference Robotics and Automation.Minneapolis，USA，1996：994-999.

［14］皮陽軍，王宣銀，胡玉梅.基于關節(jié)力傳感器的并聯(lián)六自由度機構的標定方法［J］.農業(yè)機械學報，2012，43（10）：216-218.PI Yangjun，WANG Xuanyin，HU Yumei.Calibration of a 6-DOF parallel mechanism using joint force sensors［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2012，43（10）：216-218.

［15］黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機器人機構學理論及控制［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1997：37-41.HUANG Zhen，KONG Lingfu，FANG Yuefa.The parallel robot manipulator mechanism theory and control［M］.Beijing：China Machine Press，1997：37-41.

Comparison of dynamic and kinematic calibrations for the 6-DOF parallel mechanism

PI Yangjun，WANG Ji，HU Yumei
（State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

In order to study the usability of different calibration methods for the 6-DOF（six degrees of freedom）parallel mechanism，calibration models of the mechanism were established on the basis of kinematic and the dynamic calibrations.The comparative analyses of kinematic and the dynamic calibrations were done by the numerical simulation.The results showed that the kinematic calibration is more effective in improving forward solution precision of the mechanism.It is also shown that the forward solution error is 4.9%less than that of the dynamic calibration，which is beneficial to the conventional joint-space control of parallel mechanism.The dynamic calibration is more effective in improving dynamic model precision of the mechanism and joint force error is 5～25 N less than that of the kinematic calibration，which is suitable for the task-space control strategy of parallel mechanism.

6－DOF parallel mechanism；structural parameter；calibration method；calibration accuracy；joint spacing；dynamic calibration；kinematic calibration

10.3969／j.issn.1006-7043.201307047

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201307047.html

TH39

A

1006-7043（2014）11-1422-05

2013-07-16.網絡出版時間：2014-09-18.

國家自然科學基金資助項目（51105389）；中央高?；緲I(yè)務費資助項目（CDJZR12280013，CDJRC11280003）.

皮陽軍（1981-），男，副教授，博士.

皮陽軍，E-mail：cqpp＠cqu.edu.cn.