薛開，王久法，李秋紅，王威遠，王平

(哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

板結(jié)構(gòu)作為工程中最為常見的一種基本單元構(gòu)件，廣泛應(yīng)用于航空航天、土木工程、車輛工程等諸多領(lǐng)域。由于共振問題，板的振動分析尤其是固有頻率的求解越來越引起人們的高度重視。因此，許多學(xué)者對板的振動特性進行了大量的研究，并取得了豐碩的成果?？墒乾F(xiàn)有這些的研究中，很多是基于Kirchhoff薄板理論，此理論忽略了板的橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，因而會產(chǎn)生一定的誤差。當(dāng)板較薄時，這種誤差可以忽略;當(dāng)板的厚度增加到與板邊長相比不再是小量時，這種誤差就不能忽略了。

因此，近年來一些學(xué)者開始研究更符合真實情況的Mindlin板理論。目前常見的研究方法主要有能量法[1-4]和一些數(shù)值方法，如離散奇異卷積法[5-7]、微分求積法[8]等。但能量法需要選取合適的撓度函數(shù)，而撓度函數(shù)和邊界條件有關(guān)，其選擇比較困難;微分求積法的加權(quán)系數(shù)和樣點的選擇規(guī)則還不明確，離散奇異卷積法不能求解自由邊界問題，而且核序列的選取也無明確規(guī)則遵循;也有一些學(xué)者采用解析法進行了研究，如文獻[9-10]采用級數(shù)法分析了Mindlin板的振動問題，但種種方法只適用于至少有一對邊簡支的板;Gorman等[11-12]采用疊加法分析了Mindlin板在各種邊界條件下的振動，但此種方法求解過程過于復(fù)雜。

近年來，Li[13-14]提出了一種新的解析方法，即改進的傅里葉級數(shù)方法進行了任意邊界條件下薄板的振動分析。其通過將薄板結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)表示為傅里葉余弦級數(shù)和輔助多項式或者輔助級數(shù)的線性組合，使得彈性約束邊界條件能夠得到精確滿足，從而擴展了級數(shù)法的使用范圍，使其能應(yīng)用到任意的邊界條件下。

本文利用Mindlin板理論，采用改進傅里葉級數(shù)，將矩形板的位移函數(shù)及2個轉(zhuǎn)角函數(shù)表達為標(biāo)準(zhǔn)的二維傅里葉余弦級數(shù)和4項輔助級數(shù)的線性組合。利用Hamilton原理建立求解方程，建立線性方程組，得到一個標(biāo)準(zhǔn)的矩陣方程，然后求解矩陣的特征值得到Mindlin矩形板的固有頻率。最后，通過和已有文獻中的計算結(jié)果進行對比來驗證本方法的正確性。

1 理論模型的建立

本文所研究的Mindlin矩形板模型如圖1所示。板結(jié)構(gòu)的4個邊界處分別設(shè)置橫向位移彈簧、旋轉(zhuǎn)約束彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧3種類型的彈簧，通過改變剛度值來對任意邊界條件進行模擬。所有的經(jīng)典邊界條件都能夠通過將3種彈簧系數(shù)設(shè)置為無窮大或零來獲得。例如將四邊的橫向位移約束彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度值設(shè)置為無窮大，而將四邊的旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值設(shè)置為零，就相當(dāng)于模擬了四邊簡支的邊界條件。

圖1 任意彈性邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)Fig.1 The rectangular plate with arbitrary elastic boundary condition

根據(jù)Mindlin板理論，矩形板自由振動的控制方程為

式中:w為撓度，ψx為x方向的轉(zhuǎn)角，ψy為y方向的轉(zhuǎn)角，ρ為密度，μ為泊松比，h為厚度，D=Eh3/(12(1-μ2))為彎曲剛度，k為剪切系數(shù)，剪切剛度G=E/[2(1+μ)]。

板結(jié)構(gòu)的Hamilton方程為

式中:V為板結(jié)構(gòu)的總勢能，T為板結(jié)構(gòu)的總動能。對圖1所示的板結(jié)構(gòu)，總勢能可寫為

式中:V1為矩形板的勢能，V2為模擬邊界條件的彈簧的勢能。

V1、V2和 T的形式分別為

2 Mindlin矩形板的位移函數(shù)

Mindlin矩形板的位移函數(shù)和2個轉(zhuǎn)角函數(shù)可通過沿x和y軸方向的2個分量來描述，本文中采用改進的二維傅里葉余弦級數(shù)展開來表示:

與x相關(guān)的輔助函數(shù)表示為

從式(12)和(13)可以很容易得到關(guān)系式ξ1a(0)= ξ1a(0)= ξ＇1a(a)=0，ξ＇1a(0)=1，以及 ξ2a(0)=ξ2a(0)= ξ＇2a(0)=0，ξ＇2a(a)=1。需要說明的是，此關(guān)系式并不是必需的，本文選擇滿足此關(guān)系式的輔助函數(shù)是為了后續(xù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方便性與簡潔性。

與y相關(guān)的輔助函數(shù)可以將式(12)～(13)中的a和x分別用b和y進行替換得到。從方程(9)～(11)可以看出，位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)展開時除了標(biāo)準(zhǔn)的二維傅里葉級數(shù)，還有4項輔助的單傅里葉級數(shù)。在四條邊界上，撓度和轉(zhuǎn)角關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)潛在的不連續(xù)將有效地轉(zhuǎn)移到了輔助項，因此，位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)在整個板的求解域內(nèi)展開時都有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。所以這種傅里葉級數(shù)解形式，不僅適用于任意邊界條件，也可以改善級數(shù)的收斂性。

將式(6)～(11)代入Hamilton方程(4)中有:

式中，A為未知的系數(shù)向量，其形式為

K為剛度矩陣，M為質(zhì)量矩陣，其形式為

子矩陣 M1，3和 M1，5可以通過將 M1，2和 M1，4中的函數(shù)ζ的下標(biāo)1更換為2得到。子矩陣M1，6到M1，15均為零矩陣。質(zhì)量矩陣中的其他子矩陣和剛度矩陣可依此形式寫出。式中m'=0，1，…，M，m=0，1，…，M，n'=0，1，…，N，n=0，1，…，N，s=m(N+1)+n+1，t=m'(N+1)+1，M、N 表示展開級數(shù)的截斷值，這個根據(jù)結(jié)果所要的精度來確定。

求解式(14)中矩陣特征值，即可得到固有頻率和特征向量。每階特征向量實際上包含著所對應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)形狀分布的傅里葉系數(shù)。板的振動模態(tài)可以利用式(9)～(11)得到。

3 數(shù)值計算及分析

矩形板的結(jié)構(gòu)及其材料參數(shù)為:板的長為a，寬為b，板的厚度為h，長寬比a/b，厚度比h/b，板的密度為 ρ=7 800 kg/m3，彈性模量 E=210 GPa，泊松比μ=0.3，剪切系數(shù)k=5/6。為了表述方便，本文中用C表示固支邊界條件，F(xiàn)表示自由邊界條件，SS表示簡支邊界條件。

為了檢驗本文方法的收斂性，表1給出了矩形板在 SS-F-SS-F 邊界條件下、長寬比為 0.5，厚度為 0.1時，截斷數(shù)M=N取不同值時的計算結(jié)果。簡支邊位移約束彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)約束彈簧都設(shè)置為無窮大(本文中無窮大取值為D×107，而旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度都設(shè)置為零，自由邊上的3種類型的彈簧的剛度值都設(shè)置為零。從表1中可以看出，截斷數(shù)取較小值時就能得到精確的結(jié)果，而且隨著截斷數(shù)的增加，結(jié)果得到一致性改善者，即本方法有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。

為了驗證本文方法的準(zhǔn)確性，考慮SS-F-SS-F邊界條件下板的振動情況。表2給出了不同厚度比和長寬比下Mindlin矩形板的前6階無量綱固有頻率，同時給出了文獻[9]中采用解析法求得的結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)本方法的結(jié)果和精確值的結(jié)果吻合良好，兩者的誤差在5‰內(nèi)。在本文計算過程中，2個方向的位移展開采用相同的截斷數(shù)，表1中的值是M=N=12時的計算結(jié)果。

表1 SS-F-SS-F Mindlin矩形板頻率的收斂性Table 1 Convergence of frequency for SS-F-SS-F Mindlin rectangular plates

表2 SS-F-SS-F Mindlin矩形板的固有頻率Table 2 Natural frequency for SS-F-SS-F Mindlin rectangular plates

為了驗證本方法在處理其他經(jīng)典邊界條件的準(zhǔn)確性，表3給出了Mindlin矩形板在C-F-SS-F邊界條件下，長寬比為 0.4 和 1、厚度比為 0.1 和 0.2 時，4種情況下自由振動的無量綱頻率值，為了便于與文獻中的結(jié)果比較，表3中的無量綱頻率取為Ω=(ωa2/π2)(ρh/D)1/2。為了模擬固支邊，在 x=0 邊上的3種類型的彈簧都設(shè)置為無窮大，截斷數(shù)M和N取12。同時表中給出了文獻[1]用能量法和文獻[7]用離散奇異卷積法求得的結(jié)果，通過比較可以看出，本文的結(jié)果具有很高的精度。

本方不僅可以求解任意經(jīng)典邊界條件下的振動問題，還可以求解任意彈性邊界條件下Mindlin板的振動問題。為了模擬任意邊界條件，在SS-F-SS-F板的基礎(chǔ)上，表4給出了厚度h=0.1時，x=0邊上的扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度Kyx0取不同值時，Mindlin矩形板的前6階無量綱固有頻率，從計算結(jié)果可知，隨著剛度的增加，同階的固有頻率也隨之增加。同時可以看出，當(dāng)剛度值增加到D×107時，頻率值趨于穩(wěn)定，其大小等于C-F-SS-F邊界條件下的頻率值，即邊界條件轉(zhuǎn)變了C-F-SS-F。

表3 C-F-SS-F Mindlin矩形板的固有頻率Table 3 Natural frequency for C-F-SS-F Mindlin rectangular plates

表4 x=0邊上不同扭轉(zhuǎn)剛度下SS-F-SS-F板的固有頻率，Kyx0=K×DTable 4 Natural frequency for SS-F-SS-F plates with torsional restraints at x=0，Kyx0=K×D

4 結(jié)束語

本文應(yīng)用改進的傅里葉級數(shù)方法，將Mindlin矩形板的振動位移和2個轉(zhuǎn)角都表示為一個標(biāo)準(zhǔn)的二維傅里葉余弦級數(shù)和輔助級數(shù)的線性疊加，建立了任意彈性邊界條件下的自由振動模型。通過4項輔助級數(shù)的引入，使位移和轉(zhuǎn)角的導(dǎo)數(shù)在邊界處潛在的不連續(xù)得到了轉(zhuǎn)移，有效地克服了邊界不連續(xù)的問題，因此，本模型可以適用于任意的彈性邊界條件。本方法中，所有位移和轉(zhuǎn)角的展開系數(shù)可以通過Hamilton方程進行求解，而所有的固有頻率都可以通過求解矩陣特征值而得到。最后數(shù)值計算結(jié)果表明，本方法能夠快速收斂并具有很高的計算精度。

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