趙曉運(yùn)ZHAO Xiao-yun

（臺(tái)州學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，臺(tái)州318000）

0 引言

導(dǎo)數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，也是當(dāng)代工程技術(shù)應(yīng)用分析的有力工具之一。導(dǎo)數(shù)本身體現(xiàn)出變量間的關(guān)系或函數(shù)功能及其極限過(guò)程操作的思考，變數(shù)體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)了物理世界的變化。在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要對(duì)物理世界中功能關(guān)系的變化進(jìn)行分析和利用，導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度內(nèi)涵的“數(shù)”和“形”對(duì)應(yīng)著對(duì)物理世界的一定認(rèn)識(shí)，對(duì)物理世界的應(yīng)用起著指導(dǎo)和創(chuàng)造作用。正確理解它們的結(jié)論和含義，能夠在廣泛的工程技術(shù)應(yīng)用中形成突破和創(chuàng)新，更好地利用物質(zhì)世界，創(chuàng)造出更有用、更有效的物質(zhì)世界。

1 導(dǎo)數(shù)及其含義

導(dǎo)數(shù)反映的是因變量和自變量的比率關(guān)系，導(dǎo)數(shù)本身是關(guān)于自變量變化方向的矢量，具有大小和方向，其幾何形象是“斜率”。在工程實(shí)踐中，若影響考察目標(biāo)的因素中只有一個(gè)主因，其它因素可以不計(jì)它們的影響，便形成了單一因素的工程實(shí)踐應(yīng)用問(wèn)題。在一元函數(shù)中，“斜率”的幾何方向僅是與單一自變量變化方向相聯(lián)系的，相應(yīng)“斜率”的概念注重整體連續(xù)指向性，即考查各位置相對(duì)自變量的變化方向和整體變向指向情況。撇開(kāi)其具體的物理和現(xiàn)實(shí)意義，主從變量之間的關(guān)系可以純粹地用數(shù)量關(guān)系描述，進(jìn)而可以用圖形顯示其屬性含義，形成認(rèn)識(shí)的“形象特征”，即“斜率”的概念。

2 方向?qū)?shù)及其含義

方向?qū)?shù)仍然是變化率的問(wèn)題，方向?qū)?shù)是方向一定的變化量，只有大小，其幾何形象描述仍然是“斜率”。在工程實(shí)踐中，若影響考察目標(biāo)的因素中可以近似認(rèn)為有兩個(gè)主因，其它因素可以不計(jì)影響，便形成了雙因素的工程實(shí)踐問(wèn)題。由于增加了一個(gè)影響因素，因而影響域是一個(gè)平面，在這個(gè)影響域內(nèi)，兩個(gè)不同變量的變化趨勢(shì)便決定了影響域內(nèi)的方向，那么方向?qū)?shù)便是考查目標(biāo)相對(duì)這個(gè)方向的變化趨勢(shì)情況。撇開(kāi)具體的物理意義，考察目標(biāo)即相應(yīng)的空間變量，在影響域兩個(gè)變量的作用下，形成一個(gè)空間曲面“形象”，在該曲面任一位置可形成一個(gè)切平面，這個(gè)切平面上任意直線方向與平面域的夾角便反映了方向?qū)?shù)的“斜率”。由此可見(jiàn)，方向?qū)?shù)針對(duì)一個(gè)單一方向的變化率，反映空間變量相對(duì)于某一方向的變化情況，這一方向是由雙因素聯(lián)合而形成。若分別設(shè)x和y為兩個(gè)主要影響因素，則方向?qū)?shù)的“斜率”可以理解為以點(diǎn)（x,y）為起點(diǎn)，沿xoy平面某一方向，從變量變化趨勢(shì)的“坡度”大小，即該量在所給方向上變化趨勢(shì)相對(duì)于xoy平面的傾斜程度。用方向?qū)?shù)來(lái)描述空間點(diǎn)的“斜率”，則體現(xiàn)了局部指向性。由于方向?qū)?shù)是給定方向后的變化率，所以，方向?qū)?shù)本身是標(biāo)量，其值反映的是斜率的大小。

3 梯度及其含義

梯度反映的是空間變量變化趨勢(shì)的最大值和方向。梯度是導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)的綜合問(wèn)題，從本質(zhì)上說(shuō)，梯度仍是“斜率”問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的是切平面與平面域的夾角。切平面上任意方向與平面域的夾角中，只有一個(gè)方向與平面域的夾角最大，該夾角代表空間變量在平面域?qū)?yīng)方向的方向?qū)?shù)所反映的“斜率”，斜率的大小為梯度的模，因而梯度實(shí)質(zhì)是空間變量方向?qū)?shù)最大的方向的反映。空間變量在一位置點(diǎn)沿一個(gè)變量方向的方向?qū)?shù)為該變量的偏導(dǎo)數(shù)，“斜率”為該位置切平面上沿該變量的方向與該變量方向的夾角?？臻g變量在一位置點(diǎn)的梯度方向是空間變量相對(duì)于兩個(gè)自變量所決定的平面的變化情況，體現(xiàn)的是空間變量在該位置所形成的切平面與兩個(gè)主變量平面的夾角（二面角）。切平面與自變量平面的夾角的正切值即為該點(diǎn)梯度的大小（模）。所以，梯度是方向?qū)?shù)的線性組合，是有方向的。梯度的方向是從變量變化（方向?qū)?shù)）最大的方向，其值（模）為該方向的方向?qū)?shù)，對(duì)應(yīng)的斜率是導(dǎo)數(shù)變化最大的方向與變量平面域的夾角即二面角。

4 工程應(yīng)用的思考

導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度是從變量相對(duì)于自變量的變化率的描述，其共同特征是“斜率”或“坡度”的反映，都有特定“形象特征”的認(rèn)識(shí)且具有關(guān)聯(lián)性。方向?qū)?shù)是局部趨勢(shì)的反映，是標(biāo)量。導(dǎo)數(shù)和梯度則聯(lián)系由局部到整體，并揭示整體趨勢(shì)的反映，變量及其組合是有其變化趨勢(shì)和方向的，導(dǎo)數(shù)和梯度是關(guān)于變量方向的矢量，同樣是有大小和方向的。深刻、充分理解導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度的本質(zhì)特征和相互之間的關(guān)聯(lián)性，對(duì)于相應(yīng)的工程應(yīng)用問(wèn)題起到指導(dǎo)和推動(dòng)作用。許多實(shí)際問(wèn)題，研究考察目標(biāo)相對(duì)諸多影響因素的任一“方位”的變化情況，分析關(guān)聯(lián)性，并對(duì)整體應(yīng)用給出參考和指導(dǎo)。如定勢(shì)移動(dòng)、波動(dòng)等諸多問(wèn)題的分析，都需要用到對(duì)導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度等的形象認(rèn)識(shí)和理論分析，進(jìn)而形成工程手段去實(shí)現(xiàn)相關(guān)目的。液體定勢(shì)和電力定勢(shì)應(yīng)用問(wèn)題中，液流強(qiáng)度和電流強(qiáng)度反映的是液勢(shì)和電勢(shì)的變化趨勢(shì)，因而，液流強(qiáng)度和電流強(qiáng)度與梯度有著直接聯(lián)系，可理解為相應(yīng)的強(qiáng)度（勢(shì)能變化率）垂直于其等勢(shì)面，且與勢(shì)能增加方向相反。具體來(lái)說(shuō)，在某點(diǎn)處的勢(shì)能強(qiáng)度與該點(diǎn)處勢(shì)能的負(fù)梯度方向相同。

總之，導(dǎo)數(shù)這一變化“趨勢(shì)”的認(rèn)識(shí)，可以應(yīng)用到諸多領(lǐng)域。即可定性，亦可定量。用定性導(dǎo)出定量，用定量去實(shí)現(xiàn)定性。工程應(yīng)用的本質(zhì)特征就是運(yùn)用所認(rèn)識(shí)的技術(shù)手段，在變量變化的精度范圍內(nèi)，去近似實(shí)現(xiàn)工程的目標(biāo)功能，為人類社會(huì)提供更優(yōu)的服務(wù)。

5 結(jié)論與展望

數(shù)學(xué)理論來(lái)源于實(shí)踐，其隱含的“形象特征”認(rèn)識(shí)又能反作用于實(shí)踐客體?？v觀世界變化，各種現(xiàn)象及功能皆有“數(shù)”和“形”的對(duì)應(yīng)機(jī)理，人們可以根據(jù)需要研究特殊的“數(shù)”和“形”的關(guān)系，通過(guò)控制“數(shù)量”的裝置，創(chuàng)造出“連續(xù)數(shù)量”所顯示的物質(zhì)。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分的不可分離的結(jié)合”。物質(zhì)世界是“形象”客體的化身，是“形象源”的重組與顯現(xiàn)?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)成就往往出現(xiàn)理論推導(dǎo)先于實(shí)際應(yīng)用，掌握并利用這些理論需要對(duì)其“形象源”認(rèn)識(shí)透徹、完整，方可全面、有效地指導(dǎo)實(shí)踐。在實(shí)際應(yīng)用中，將導(dǎo)數(shù)理論和空間幾何學(xué)、空間運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合起來(lái)，甚至進(jìn)行更大范圍的推廣，可以深層次地、更廣泛地開(kāi)辟為人類服務(wù)的手段和工具。比如，可以用導(dǎo)數(shù)和運(yùn)動(dòng)來(lái)描述曲線和曲面，進(jìn)而進(jìn)行生成和制造，也可以由一定形狀的曲線和曲面來(lái)約束運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和狀態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)所需的物理功能。因此，對(duì)于有形象特征的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，知其源，察其用，感其形，經(jīng)過(guò)分析組合，必能夠?yàn)楣こ碳夹g(shù)應(yīng)用提供“形象源”，進(jìn)而推動(dòng)工程技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展。

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