熊艷飛，石志廣，郭建，李吉成

(1.湘潭大學(xué)材料與光電物理學(xué)院，湖南湘潭 411005; 2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)ATR重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

基于海浪譜模型和FFT的海面建模

熊艷飛1，石志廣2，郭建1，李吉成2

(1.湘潭大學(xué)材料與光電物理學(xué)院，湖南湘潭 411005; 2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)ATR重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

針對(duì)海面波浪的隨機(jī)性和復(fù)雜性等仿真難點(diǎn)問題，從海洋學(xué)的觀測(cè)和研究成果出發(fā)，使用風(fēng)浪、涌浪和震蕩波(choppy波)共同構(gòu)成海浪譜。提出一種逼真度高且計(jì)算量小的基于海浪譜模型和快速傅里葉變換(FFT)的海面建模方法。在Matlab軟件環(huán)境下仿真較為真實(shí)的海況，不僅實(shí)現(xiàn)了風(fēng)浪和涌浪的模擬，還實(shí)現(xiàn)了震蕩波的模擬，其中震蕩波是為了解決海面的非線性問題。將3種海面波形高度譜疊加，對(duì)波形幅值進(jìn)行FFT，計(jì)算出空域隨時(shí)間變化的波形。仿真結(jié)果表明:該方法可以快速有效地模擬動(dòng)態(tài)海面，能夠滿足海面建模的逼真性和實(shí)時(shí)性的要求。

風(fēng)浪;涌浪;震蕩波;海浪譜;快速傅里葉變換

海浪是一種復(fù)雜的隨機(jī)過程，早期的學(xué)者采用均方差高度和相關(guān)長(zhǎng)度等統(tǒng)計(jì)信息來簡(jiǎn)單地表征海面特征，沒有反映出海面自身的紋理結(jié)構(gòu)。隨著人們對(duì)海浪的深入研究，海浪建模已取得了較大突破，目前主要從3個(gè)領(lǐng)域?qū)Ｃ娌ɡ诉M(jìn)行建模［1］:一是針對(duì)液體的波動(dòng)，從海面波浪的物理特性出發(fā)，不直接模擬海浪的運(yùn)動(dòng)，通過計(jì)算力學(xué)N－S方程［2］獲得海浪內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如Kass等［3］提出的方法所生成的海浪形狀接近真實(shí)的物理現(xiàn)象，但求解方程非常困難，不能滿足實(shí)時(shí)性的要求，應(yīng)用較少;二是從海面波浪的幾何形狀出發(fā)，通過構(gòu)造一定的數(shù)學(xué)函數(shù)，人為設(shè)置海浪參數(shù)，模擬一個(gè)近似真實(shí)的海洋表面。如鄢來斌等［4］提出的方法簡(jiǎn)單且實(shí)時(shí)性好，但真實(shí)感較差，人為痕跡較明顯，適用范圍比較窄，多應(yīng)用于游戲或動(dòng)畫等場(chǎng)景中;三是從海洋觀測(cè)的結(jié)果出發(fā)，采用適當(dāng)?shù)暮＠俗V方法模擬海面波浪。如王寶龍等［5］提出的方法簡(jiǎn)化了計(jì)算，滿足實(shí)時(shí)性要求，模擬效果良好。由于多數(shù)海浪譜建模的方法只考慮了風(fēng)浪和涌浪構(gòu)成的線性海面，沒有涉及非線性問題，因而海面的逼真性問題還有待進(jìn)一步研究。

本文針對(duì)海面建模方法中出現(xiàn)的計(jì)算復(fù)雜或海面逼真性差的問題，結(jié)合已有的海洋學(xué)研究成果，在仿真真實(shí)海面時(shí)，使用風(fēng)浪、涌浪和震蕩波共同構(gòu)成海浪譜，再結(jié)合FFT方法仿真三維海面的高度分布，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)海面的建模。這種方法不僅計(jì)算量小，而且可以仿真任意真實(shí)海況，對(duì)海上運(yùn)動(dòng)和微波遙感等研究具有重要意義。

1 海浪譜模型

海面是自然界中最為常見和復(fù)雜的背景之一，海面海浪的研究在流體力學(xué)、波浪學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域有重要價(jià)值。海浪模擬技術(shù)作為海面建模的重要組成部分，直接影響海面建模的逼真度和效率。海浪模擬一直是人們感興趣的研究方向，并已逐漸被廣泛應(yīng)用于游戲、電影、航海模擬器仿真和虛擬戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境等軍事和民用領(lǐng)域中。海面可被看作有一定介電常數(shù)的隨機(jī)粗糙面，由于風(fēng)的作用，海面高度起伏，海浪波動(dòng)呈現(xiàn)隨機(jī)性和復(fù)雜性，這使得海浪的模擬過程相當(dāng)困難。

實(shí)際海面波浪可稱之為隨機(jī)海浪，隨時(shí)間任意變化，可以被看作是由大量不同波高振幅、不同波長(zhǎng)、不同頻率、不同傳播方向及位相雜亂的波浪相互混合而呈現(xiàn)出的紊亂復(fù)雜現(xiàn)象。海浪運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜而隨機(jī)的過程，因而可以結(jié)合海浪特征和隨機(jī)過程來描述隨時(shí)間而變化的海浪。由此增加的隨機(jī)過程模擬不僅可以體現(xiàn)海面的不規(guī)律運(yùn)動(dòng)，揭示海浪內(nèi)部波動(dòng)能量的分布特征，還可以克服用確定的函數(shù)來描述有明顯隨機(jī)性的海面所帶來的困難，其隨機(jī)性可利用數(shù)學(xué)上的高斯分布實(shí)現(xiàn)。

海浪譜［6－9］是海面的功率密度譜，反映了海浪能量在波長(zhǎng)和傳播方向上的統(tǒng)計(jì)分布，是海面高度起伏相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。譜是指能量相對(duì)于頻率的分布，海浪具有的能量是由各組成波動(dòng)貢獻(xiàn)的。海浪譜可以描述波能量的平均統(tǒng)計(jì)分布在空間尺度和時(shí)間尺度上的變化特性。基于海浪譜的海面建模技術(shù)在海洋學(xué)多年的觀測(cè)資料和研究成果的基礎(chǔ)上進(jìn)行建模，體現(xiàn)了真實(shí)的海浪特性。

海面某一點(diǎn)的高度是海面上各個(gè)方向和頻率的正弦波振幅在該點(diǎn)處的疊加，海面上的高度是空間和時(shí)間的函數(shù)。利用海水高度譜模型可模擬一定范圍海面的高低起伏，整個(gè)海面可看作是由許多高低起伏的海面小波面組成。海浪的成分主要分為風(fēng)浪和涌浪，它們高低長(zhǎng)短不齊、雜亂無章、此起彼伏，具有明顯的隨機(jī)性。風(fēng)浪的生成、發(fā)展和衰減是一個(gè)自然物理過程，直接由海面風(fēng)吹動(dòng)引起，是一種強(qiáng)制波，其形成可看作是大氣到海洋的能量傳播過程，常表現(xiàn)為海面連續(xù)變化的紊亂的波峰和波谷，波形極不規(guī)則，波浪傳播方向也變化不定。涌浪是由風(fēng)形成的海面長(zhǎng)周期波浪，在風(fēng)停止后仍可保持很長(zhǎng)一段時(shí)間。涌浪與風(fēng)浪不同，其海面呈現(xiàn)較為規(guī)則的波峰和波谷，波形也較為圓滑，離風(fēng)區(qū)越遠(yuǎn)，波形越規(guī)則，略近似正弦波。本文主要考慮風(fēng)浪模型即重力波模型和涌浪模型，并增加對(duì)震蕩波模型的建模，以期更好地符合海面波峰比較尖銳和波谷比較平坦的海洋物理特性。

1.1 重力波模型

海面狀況受到很多因素的影響，如天氣狀況、地理位置、風(fēng)速等，其中風(fēng)速對(duì)海面起伏影響最大，因?yàn)轱L(fēng)會(huì)將能量傳遞給海浪。風(fēng)很弱時(shí)，海面保持平靜;當(dāng)風(fēng)達(dá)到一定速度時(shí)，海面將開始出現(xiàn)毛細(xì)波。毛細(xì)波的波長(zhǎng)很短，波高的絕對(duì)幅度很小，只存在于海面的很薄一層水面上。當(dāng)風(fēng)繼續(xù)吹刮時(shí)，促使毛細(xì)波的波長(zhǎng)和波高增大，變成重力波［6－8］。海浪在風(fēng)力的作用下不會(huì)無限地產(chǎn)生，當(dāng)波浪的能量聚焦達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)(即風(fēng)對(duì)波浪的能量輸入與波浪的能量耗散相平衡)，波浪會(huì)漸趨穩(wěn)定，其統(tǒng)計(jì)特性基本不會(huì)再隨時(shí)間變化。

根據(jù)線性波浪理論，可以通過無限個(gè)隨機(jī)的余弦波疊加的線性波或重力波構(gòu)造海浪波面。除了暴風(fēng)雨天氣外，重力波模型可以真實(shí)地表示典型的海面形狀。不同波長(zhǎng)的波以不同的速度進(jìn)行傳播最后導(dǎo)致波的分散現(xiàn)象稱為波的擴(kuò)散現(xiàn)象，波的頻率與波數(shù)之間的關(guān)系稱為擴(kuò)散關(guān)系，擴(kuò)散關(guān)系表達(dá)式為ω=()f k［12］。風(fēng)和水流形成海浪，可看作滿足波擴(kuò)散關(guān)系的平面波疊加。擴(kuò)散性取決于海面上波的傳播運(yùn)動(dòng)，水深為D的海面波數(shù)和頻率滿足:

其中:ω為頻率;波數(shù)k=2π/λ;g為重力加速度。這里僅考慮由風(fēng)形成的重力波，因?yàn)樗怯绊懞Ｃ娲植诙鹊氖滓蛩亍Ｍㄟ^概率統(tǒng)計(jì)模型可推導(dǎo)出波浪高度幅值，波合成采用快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)。對(duì)于更長(zhǎng)波長(zhǎng)(即更小波數(shù))的重力波，或者水深大于波長(zhǎng)的一半時(shí)，可將式(1)簡(jiǎn)化為

重力波模型幅值Z(→k，t)是相對(duì)波數(shù)k的波幅值，其隨機(jī)特性由海面結(jié)構(gòu)決定，并可通過有效波形高度功率譜密度來計(jì)算。本文采用的P－N［11］波形高度譜密度Sz()k如式(3)所示，幅值Z(→k，t)如式(4)所示。

其中:v為風(fēng)速;→k為波數(shù)二維矢量;Θ為風(fēng)向角度;ω(k)為頻率;Φk為隨機(jī)相位。

1.2 涌浪模型

當(dāng)風(fēng)平息后或風(fēng)浪移動(dòng)到風(fēng)區(qū)以外時(shí)，受到慣性和重力的作用，水面繼續(xù)保持振動(dòng)，這時(shí)的波動(dòng)屬于自由波，這種波浪稱為涌浪［6，12］。涌浪在深水傳播過程中，由于水體內(nèi)部的摩擦作用和波面與空氣的摩擦等會(huì)損失掉一部分能量，主要能量則在進(jìn)入淺水區(qū)后受到底部摩擦阻力作用以及破碎時(shí)紊動(dòng)作用被消耗掉。涌浪的出現(xiàn)，預(yù)示著海浪進(jìn)入消耗衰減階段。根據(jù)海洋觀測(cè)結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，涌浪包含特定波數(shù)kp的有效功率譜密度函數(shù)為

其中:A為涌浪高度幅值;kp=(kxp，kyp)為傅里葉空間波峰值波數(shù)向量;Θp為涌浪波峰值方向天頂角;kp為波數(shù);σk為涌浪峰值標(biāo)準(zhǔn)偏差。

1.3 震蕩波模型

隨著海洋科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展及海浪模擬在軍事和民用等領(lǐng)域的需求，人們對(duì)海面建模的研究日益深入?，F(xiàn)有文獻(xiàn)［6－11］提出的各種海面建模方法大多數(shù)是基于海浪譜模型的，較為成熟的是基于線性海浪理論的方法，即認(rèn)為海浪是一系列振幅、相位和方向不同的簡(jiǎn)諧波的疊加，由此仿真的海面稱為線性海面。單純對(duì)風(fēng)浪和涌浪的模擬是一種較粗糙的模擬，所模擬的海面屬于線性海面?；诤＠俗V的海浪模擬方法雖然被廣泛應(yīng)用，但生成的海浪波峰較為圓滑，導(dǎo)致海面逼真性較差。實(shí)際海面海浪多以混合浪的形式存在，加上風(fēng)、浪及波浪間作用的非線性效應(yīng)，實(shí)際海浪振幅相對(duì)于波長(zhǎng)而言并不是小量，波峰部分陡峭而高，波谷部分平緩而淺，波面高度在一定程度上偏離正態(tài)分布，反映非線性的存在。因此，為了生成更加逼真的海面，海面生成算法不但要考慮組成波之間的線性疊加，還要考慮波與波之間的相互作用，這種非線性相互作用導(dǎo)致波與波之間能量的轉(zhuǎn)移或產(chǎn)生新的波，從而影響譜內(nèi)的能量分布。為解決非線性帶來的影響，本文引入一種非線性波，稱之為震蕩波［6，8，10］。震蕩波利用流體動(dòng)力學(xué)的N－S方程進(jìn)行精確建模。其傅里葉波幅值偏移量［10］如式(6)所示。

將式(6)中的格點(diǎn)坐標(biāo)在重力波模型基礎(chǔ)上進(jìn)行平移，其格點(diǎn)坐標(biāo)由x和y變換為x+s·D(x，t)和y+s·D(y，t)，位移后網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的高度保持不變，位移比例系數(shù)s用于決定位移大小。引入震蕩波后，因?yàn)椴ǚ甯鼮橥怀?，波谷更為平緩，故海面看起來更為真?shí)。

通過建立重力波、涌浪和震蕩波模型的海浪譜模型，采用FFT方法計(jì)算空域內(nèi)的海面波形，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)海面的建模。

2 基于FFT的海面建模

基于FFT方法可以快速實(shí)現(xiàn)不同風(fēng)速和不同風(fēng)向下大尺寸海面的起伏特性仿真，在海洋動(dòng)力學(xué)研究中得到了廣泛應(yīng)用［5，10，12］。FFT方法有較好的周期特性，可以生成一小塊海面，因而可根據(jù)實(shí)際需要對(duì)海面進(jìn)行相應(yīng)擴(kuò)展，只要重復(fù)性不很明顯，就能用這些小塊進(jìn)行拼接，形成一個(gè)較大的海面。任意時(shí)刻的海浪高度H(→，t)［10］可表示為

由于實(shí)際的海面相對(duì)來說是無窮大，要模擬一個(gè)無窮大的海面模型有很大的難度，而在海面建模過程中海面大小的取舍會(huì)對(duì)建模的精度和準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響，同時(shí)對(duì)計(jì)算速度也有影響，因此可通過對(duì)海面進(jìn)行網(wǎng)格劃分來獲得較好的實(shí)時(shí)性。

首先，建立重力波模型。根據(jù)實(shí)際需要選擇一個(gè)比較合適的海面區(qū)域，并對(duì)該區(qū)域采用波面網(wǎng)格化，如同將一個(gè)規(guī)則的網(wǎng)格放在海平面上，計(jì)算水平網(wǎng)格點(diǎn)的位置矢量;根據(jù)波數(shù)與波長(zhǎng)之間的關(guān)系式導(dǎo)出波數(shù)及波數(shù)矢量，再根據(jù)重力波的擴(kuò)散關(guān)系計(jì)算出頻率，其中隨機(jī)相位確定風(fēng)成浪的隨機(jī)特性，由均值為0和方差為1的高斯隨機(jī)數(shù)生成器產(chǎn)生;最后通過有效波形高度功率譜密度函數(shù)來計(jì)算波形高度振幅。當(dāng)給定一定的風(fēng)速時(shí)，通過結(jié)合FFT方法便可模擬出隨時(shí)間變化的海面隨機(jī)性波浪圖形。

其次，建立涌浪模型。根據(jù)給定的波長(zhǎng)計(jì)算涌浪特定波數(shù)之后，再根據(jù)涌浪波峰方向及特定波數(shù)計(jì)算傅里葉空間波峰的波數(shù)矢量;然后由涌浪波數(shù)計(jì)算涌浪波峰均方差，并對(duì)涌浪高斯功率譜密度進(jìn)行傅里葉逆變換求波形高度譜;最后將涌浪波形高度譜疊加到重力波模型中，便可以模擬出同時(shí)存在重力波和涌浪的海面波浪圖形。

再次，建立震蕩波模型。該模型以重力波模型為基礎(chǔ)，在保持位移后網(wǎng)格點(diǎn)的高度不變的情況下，根據(jù)比例系數(shù)的大小來平移水平網(wǎng)格點(diǎn)位置，計(jì)算位移后震蕩波形高度振幅。

最后將3種波形高度幅值進(jìn)行疊加，對(duì)幅值進(jìn)行快速傅里葉逆變換計(jì)算出一定范圍內(nèi)在空域隨時(shí)間變化的海面波形高度譜，從而模擬出海面波浪圖形。基于FFT方法的海面建?？驁D如圖1所示。

圖1 基于FFT方法的海面建?？驁D

具體的仿真步驟如下:

1)確定需要仿真的海面大小為L(zhǎng)x×Ly。根據(jù)劃分的空間網(wǎng)格數(shù)目M×N，計(jì)算x方向和y方向的波數(shù)kx和ky，并分別表示如下:

其中和為倍數(shù)，均取整數(shù)，可分別表示為

2)海面被切分成許多大小為Δx×Δy的小面元組成，其中Δx=Lx/N，Δy=Ly/M。再計(jì)算水平網(wǎng)格點(diǎn)的位置矢量→r，并根據(jù)波數(shù)計(jì)算出相應(yīng)的頻率ω;

3)利用Matlab軟件中的rand函數(shù)產(chǎn)生M× N個(gè)隨機(jī)初相位;

4)對(duì)由重力波、涌浪和震蕩波組成的海浪譜頻譜進(jìn)行FFT，直到計(jì)算完給定范圍內(nèi)的所有網(wǎng)格點(diǎn)，仿真得到所要模擬的三維海面圖像。

3 仿真結(jié)果分析

風(fēng)是影響海面波浪的主要因素，海面風(fēng)作用直接影響到海面海況，海況的高低決定了海面波高的起伏變化。本文僅考慮相同風(fēng)向角、不同風(fēng)速下的海面波浪。圖2為4種不同風(fēng)速下的三維隨機(jī)海浪波面圖形。其中部分參數(shù)如下:所模擬的海面大小為10 000 m×10 000 m，網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為256×256，時(shí)間t=1 s，風(fēng)向角為45°。

圖2 在不同風(fēng)速下的三維隨機(jī)海面的波浪圖形

由圖2可知:隨著風(fēng)速的增加，海面的起伏變大，粗糙度增加。當(dāng)僅考慮由風(fēng)形成的波浪時(shí)，風(fēng)速是影響海面粗糙度的首要因素。在變化的風(fēng)場(chǎng)海洋環(huán)境下，由于受到不同風(fēng)力因素的影響，仿真的海面會(huì)產(chǎn)生各種不同形態(tài)的波浪，波浪高度隨時(shí)間和位置發(fā)生變化。圖中x和y表示水平位置上所劃分的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，z軸表示海浪振幅高度。圖2(a)中風(fēng)速為5 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為小波;圖2 (b)中風(fēng)速為9 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為中浪;圖2 (c)中風(fēng)速為12 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為大浪;圖2 (d)中風(fēng)速為18 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為狂濤。隨著風(fēng)速的增加，海面波浪的振幅隨之增加。當(dāng)風(fēng)速較小時(shí)，海浪比較平穩(wěn)且起伏不大;當(dāng)風(fēng)速較大時(shí)，海況較高，使得海面波峰和波谷產(chǎn)生較大的起伏變化。

4 結(jié)束語

本文利用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)實(shí)時(shí)海浪的模擬，效果較真實(shí)，有效地解決了海面建模中對(duì)海浪模擬的難題，同時(shí)引入隨機(jī)變量，可以較好地反映海浪的隨機(jī)性。在模擬風(fēng)浪模型和涌浪模型的基礎(chǔ)上增加了對(duì)非線性震蕩波模型的模擬，很好地解決了海面逼真性問題。采用FFT算法不僅計(jì)算效率高、速度快，而且仿真所生成的海面細(xì)節(jié)特征較為明顯。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行海面建模仿真，復(fù)雜的海洋情況在虛擬的環(huán)境中得以再現(xiàn)，為未來海洋艦船仿真及海洋武器設(shè)備等研究奠定了基礎(chǔ)。該方法的不足之處是無法表示波峰卷曲的海浪，且由于本文建立在一定海洋物理學(xué)理論和一些經(jīng)驗(yàn)海譜模型上，所以對(duì)于如何解決實(shí)際海面上的隨機(jī)海浪問題還需進(jìn)一步研究。本文沒有考慮海面擾動(dòng)及海浪破碎時(shí)出現(xiàn)的浪花和泡沫等復(fù)雜現(xiàn)象給海面帶來的影響，這是今后研究需要改進(jìn)和完善的方面。

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(責(zé)任編輯 楊黎麗)

Sea Surface Modeling Based on the Spectrum of Ocean Waves Modeling and the FFT

XIONG Yan－fei1，SHI Zhi－guang2，GUO Jian1，LI Ji－cheng2
(1.Faculty of Materials，Optoelectronics and Physics，
Xiangtan University，Xiangtan 411005，China;2.Key Laboratory of ATR，
National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

In view of the randomness and complexity of the ocean wave simulation problems，by using the observation and research results of oceanography，in this article，the spectrum of ocean wave is constituted of gravity waves，swells and shock waves(choppy waves).A kind of high fidelity and less calculation of sea surface modeling method was put forward，which was based on the spectrum of ocean wave modeling and the fast fourier transform(FFT).The more real ocean marine was simulated in the MATLAB software environment，which realized the simulation of gravity waves and swells.In order to meet the characteristics of marine physics and solve the nonlinear problem，the simulation of choppy waves was increased.The waves’height spectrum which was superposed by three waves by u－sing the FFT can calculate the height space domain waveform which was changed with the time.The simulation results show that this method can efficiently simulate the dynamic ocean surface modeling，and it also can satisfy the requirements of real－time and reality.

gravity waves;swells;choppy waves;spectrum of ocean waves;FFT

TP391.1

A

1674－8425(2014)04－0077－06

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.04.017

2013－12－06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61302145)

熊艷飛(1988—)，女，湖南益陽人，碩士研究生，主要從事海面紅外圖像研究。

熊艷飛，石志廣，郭建，等.基于海浪譜模型和FFT的海面建模［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014 (4):77－82.

format:XIONG Yan－fei，SHI Zhi－guang，GUO Jian，et al.Sea Surface Modeling Based on the Spectrum of Ocean Waves Modeling and the FFT［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (4):77－82.