趙玉新,常 帥,張振興

哈爾濱工程大學自動化學院,黑龍江哈爾濱 150001

地磁異常場的多重分形譜分析及構圖法

趙玉新,常 帥,張振興

哈爾濱工程大學自動化學院,黑龍江哈爾濱 150001

為深入研究地磁異常場的分布特性,并將其應用于地磁基準圖的構建當中,選取NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration)發(fā)布的地磁異常場數(shù)據(jù)進行了多重分形譜分析,證明了地磁異常場具有明顯的多重分形特征。并將多重分形理論與克里金插值方法相結合,提出逐步插值校正法(SSICM),該方法在用克里金法估計未知位置點屬性值的同時,利用地磁異常場在小尺度范圍內的標度不變性對其進行奇異性校正,在實測數(shù)據(jù)基礎上以網(wǎng)格形式逐級加密,從而構建了基準圖。試驗結果證明與傳統(tǒng)方法相比,該方法能夠充分刻畫地磁異常場的小尺度奇異特征,更加精確地重構真實地磁異常場。

地磁異常場;多重分形譜;標度不變性;逐步插值校正法

1 引 言

地磁導航是一種全天時、全天候、無積累誤差的無源自主導航方式。作為一種輔助導航手段,地磁導航在飛行器、船舶等運載體的導航過程中發(fā)揮著重要的作用。相對于隨空間位置變化緩慢的地球主磁場,地磁異常場在局部區(qū)域內變化復雜,在小尺度下具備較強的奇異性,它更適合作為地磁導航的參考場。作為一種輔助導航方式,地磁匹配的精度決定了地磁導航的可靠程度,而它又直接依賴于地磁基準圖的準確性。但是受成本、時間等因素的制約,實際中直接磁場測量的結果往往分布范圍小或空間分辨率較低,因而在實測數(shù)據(jù)基礎上準確的重構區(qū)域地磁異常場成為地磁導航的關鍵[1-3]。

許多學者對構建地磁導航基準圖作了相關研究:文獻[4]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測未知位置的地磁數(shù)據(jù),由于在模型訓練中輸入變量的維數(shù)過低,導致模型的可靠性較差,隨著實際應用中訓練樣本的減少,模型的預測能力將大大下降;克里金法是一種最優(yōu)、無偏的地質學統(tǒng)計方法,它充分考慮地磁數(shù)據(jù)的空間相關性,文獻[5]和文獻[6]分別使用普通克里金法和泛克里金法進行地磁基準圖的構建;文獻[7]則提出一種支持向量機-克里金插值算法,采用最小二乘支持向量機從實際資料場中擬合重構變異函數(shù)。這些方法能夠較好地擬合地磁異常場的整體趨勢,但它們的共同缺陷是無法對奇異性較強的局部區(qū)域進行準確刻畫,這種誤差甚至可達到數(shù)十n T,嚴重降低了地磁匹配的可靠性。針對傳統(tǒng)構圖方法在地磁異常變化較強烈區(qū)域的局限性,本文將分形理論引入地磁基準圖的構建當中,有效地增強了對小尺度子集的奇異性刻畫。

分形理論是由Mandelbrot在20世紀70年代為表征復雜圖形和復雜過程首先引入自然科學領域的,用來表征圖形的自相似性[8],多重分形理論可以對復雜空間變量的多層次結構進行描述[9]。文獻[10]在分析航磁功率譜特征的過程中,表明磁異常具有分形特征;文獻[11]建立了描述航磁數(shù)據(jù)的分形隨機模型,有效增強了對地質巖性和磁異常的表達;文獻[12]對我國南海磁異常進行了分形特征分析,進而解釋其地質結構;文獻[13]通過提出基于標準偏差的自適應方法,提高了確定隨機分形無標度區(qū)間的性能和效率。而這些研究均是對已有數(shù)據(jù)進行整體上的分形特征描述和分析,而如何在不同尺度上對這種分形特征進行定量描述,并應用到對磁異常局部細節(jié)特征的表達上,當前還鮮有研究。本文首先對實測地磁異常數(shù)據(jù)進行了多重分形譜分析,通過確定標度不變性尺度范圍,對分形特征給出多層次定量描述。進一步,根據(jù)地磁異常在小尺度范圍內的標度不變性,將多重分形理論和克里金法相結合,提出逐步插值校正法制備基準圖,試驗驗證該方法能夠完好地刻畫地磁異常場在細節(jié)上的奇異特征,相對于克里金法、改進謝別德法等傳統(tǒng)方法具有明顯的優(yōu)越性。

2 多重分形譜分析方法

2.1 多重分形譜

多重分形也稱為分形測度,是定義在分形上的多個標度指數(shù)的奇異測度所組成的無限集合,采用多個維數(shù)來描述非均勻復雜集合體的整體特征。

設F是d維歐式空間的一個子集,測度為μ,把(F,μ)劃分為N個單元Si,Si的尺度為ri,測度(概率)為Pi,且∑Pi＝1,對于其中任一單元可用不同的標度指數(shù)αi來表征,見式(1)

式中,αi又稱為奇異性指數(shù),控制著概率密度的奇異性,它反映了相應區(qū)域上概率的大小。

把研究對象劃分為一系列的子集,使得每一個子集中的小單元都具有相同的α值,子集內的單元數(shù)為Nαr(),它和r具備以下關系

式中,f(α)的物理意義是表示具有相同α值的子集的分形維數(shù),稱為多重分形譜。

從信息論的角度,定義統(tǒng)計矩函數(shù)

式中,q∈(－∞,∞)為統(tǒng)計矩的階,用來表征多重分形的不均勻程度。當q＞0時,主要反映較大概率子集的分形特征;當q＜0時,則主要反映較小概率子集的分形特征。對于給定的階q,τ(q)稱為質量指數(shù)函數(shù),它是分形行為的特征函數(shù)。若τ(q)關于q是一條直線,則研究對象是單分形的;若τ(q)關于q是凸函數(shù),則研究對象有多重分形特征。

定義廣義分形維數(shù)

D(q)是隨不同的q值而有不同的分形維數(shù)。廣義分維和多重分形譜滿足勒讓德變換

2.2 不規(guī)則空間變量分析方法

對于規(guī)則分形集,可以直接通過統(tǒng)計物理方法進行多重分形譜的分析,但是對于不規(guī)則分形集,一般都是通過盒計數(shù)法求出物理量的概率分布,然后借助統(tǒng)計物理原理進行多重分形譜分析[10-11]。

對于N×N的二維粗糙表面數(shù)據(jù)集,令研究區(qū)域邊長為1,用邊長為εε(≤1)的正方形盒子覆蓋整個區(qū)域,以研究數(shù)據(jù)集的襯底表面為基準,可求得第i(,j)個小盒子中的概率,如式(8)

式中,hij表示第i(,j)個盒子內的平均高度,通過改變ε的取值,可得用不同尺度的盒子覆蓋研究數(shù)據(jù)集時的概率分布,本方法能較好地滿足標度不變性。

3 地磁異常場的多重分形譜分析

本文研究的地磁異常場來自于NOAA發(fā)布的航磁測量數(shù)據(jù),首先以編號為4109A的測量數(shù)據(jù)為例分析地磁異常場的多重分形特征。從中提取257×257個規(guī)則網(wǎng)格數(shù)據(jù),網(wǎng)格分辨率為0.001°×0.001°,如圖1所示。

圖1 4109A地磁異常數(shù)據(jù)基準圖Fig.1 The reference map of 4109A geomagnetic anomaly data

分別取盒子的邊長r為1、2、4、8、16、32、64、128、256倍的單元網(wǎng)格邊長,令研究區(qū)域的總邊長為1,則對應的小盒子的邊長分別為1/r。用以上邊長的盒子覆蓋數(shù)據(jù)集,根據(jù)式(8)計算每個盒子的概率,進而由式(5)可求得不同尺度的盒子覆蓋數(shù)據(jù)集時的統(tǒng)計矩函數(shù)值,設定q的取值范圍為[－50,50],繪制部分q值對應的lnχqr()—ln r曲線如圖2所示。

圖2 lnχqr()—ln r曲線Fig.2 Curves vary from lnχqr()to ln r

當q＞0時,lnχqr()和ln r呈現(xiàn)較強的線性特征,說明所研究數(shù)據(jù)集中的普通子集和大概率子集在全尺度范圍內具有良好的標度不變性; q＜0時,lnχqr()和ln r線性特征依然明顯,但在尺度為1/32處出現(xiàn)一定的轉折,在[1/32,1]和[1/256,1/32]尺度范圍內(即圖中虛線兩側), lnχqr()與ln r均具有良好的線性關系,這是因為尺度的減小凸顯了局部區(qū)域小概率子集的特征,大尺度范圍的標度不變性體現(xiàn)的是地磁異常場作為一種復雜空間變量在整體上的自相似特征,而小尺度范圍內的分形特征需要在局部區(qū)域內進行分析。

在[1/32,1]尺度范圍內,繪制τ(q)—q曲線如圖3(a),曲線呈上凸形態(tài),說明數(shù)據(jù)集具備多重分形特征。進一步求取不同q值對應的廣義分形維數(shù)D(q)、奇異系數(shù)α(q),以及分形維數(shù)f(α),并繪制D(q)—q、α(q)—q以及多重分形譜f(α)—α曲線分別如圖3(b)、(c)、(d)所示。

圖3 多重分形譜分析圖Fig.3 Multifractal spectrum analysis figure

同樣對4109B、5041、5042、4052區(qū)域地磁異常數(shù)據(jù)進行分析,q取值范圍及分析結果如表1所示。當q在不同取值時,計算lnχqr()、ln r在不同尺度范圍內的相關系數(shù),如表2所示。

表1 不同區(qū)域地磁異常數(shù)據(jù)多重分形譜分析結果Tab.1 Multifractal analysis results of geomagnetic anomaly data in different areas

表2 地磁異常數(shù)據(jù)不同尺度范圍分形特征Tab.2 Fractal characteristics in different scale range of geomagnetic anomaly data

表1中,譜寬度由最大和最小奇異系數(shù)計算確定。譜寬度越大,說明相應數(shù)據(jù)集的分形子集奇異性越強;越小則說明數(shù)據(jù)集在整體上分布均勻,奇異性較弱。最大分維都為2,是因為所研究的數(shù)據(jù)集分布完全均勻,即在分析過程中,每個盒子均有概率分布;最小分維一般由奇異性較強的分形子集確定,分維越小,表明相應分形子集往往呈局域性分布且不均勻。

表2中,擬合斜率轉折點同表1中標度不變性尺度范圍相對應,對于大部分地磁異常數(shù)據(jù)集, lnχqr()、ln r的擬合斜率具有比較明顯的轉折點,且在轉折點前后均保持較強的線性關系,說明地磁異常數(shù)據(jù)集在局部上同樣具有明顯的分形特征。

在4109A數(shù)據(jù)集中選擇5塊尺度為1/32(即8個單元網(wǎng)格邊長)的正方形區(qū)域,在每塊區(qū)域中建立尺度1/32、1/64、1/128、1/256且平行嵌套的正方形簇,根據(jù)式(9)計算正方形內測度

式中,Ml為尺度l的正方形內的測度;Ni為正方形內的數(shù)據(jù)點個數(shù);hj是第j個數(shù)據(jù)點的屬性值。每個正方形的測度、尺度滿足式(10)

式中,b為常數(shù),α為該鄰域內的奇異系數(shù)。計算5塊區(qū)域中正方形簇的測度、尺度序列,并對其對數(shù)進行相關性分析,見表3?？芍?測度、尺度對數(shù)具備極強的線性相關性,說明地磁異常場在較小尺度的局部區(qū)域內具備明顯的單一分形特征,線性擬合斜率即為相應區(qū)域的奇異指數(shù)。

表3 局部區(qū)域分形特征分析Tab.3 Fractal characteristics of local areas

4 基于多重分形理論的基準圖構建試驗與分析

多重分形理論可以準確地描述地磁異常場在小尺度范圍內的奇異性,而克里金法在低頻段可以對未知點屬性值進行準確地估計。本文提出逐步插值校正法,將多重分形理論和克里金法相結合,對未知位置進行插值和校正,逐步進行基準圖的構建。

考慮到利用本方法在實際構圖應用時,研究區(qū)域地磁異常場分形特征的不確定性,試驗過程要遵循以下原則:

(1)所選尺度范圍不宜過大,一般取3～4個尺度量級,盡量保證尺度范圍內lnχqr()、ln r良好的線性特征。

(2)若待校正位置鄰域內的測度、尺度對數(shù)序列相關性在某點處出現(xiàn)明顯轉折,則將該點對應尺度作為線性擬合尺度范圍上限。

(3)采用克里金法估計未知點屬性值時,搜索半徑不超過插值參考數(shù)據(jù)最小間距的4～5倍。

以編號4109A的257×257標準網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為基準,分別從中提取33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為構圖參考數(shù)據(jù),采用逐步插值校正法對基準數(shù)據(jù)進行重構,具體如下。

4.1 構圖數(shù)據(jù)的分形特征分析

利用多重分形理論對數(shù)據(jù)點進行奇異性校正,要求數(shù)據(jù)集必須滿足多重分形特征。對33× 33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)進行多重分形譜分析,繪制lnχq(r)—ln r線,如圖4所示。

圖4 構圖數(shù)據(jù)lnχqr()—ln r曲線圖Fig.4 lnχqr()—ln r curve of reference data

4.2 逐步插值校正法構圖試驗

選取33×33數(shù)據(jù)中部分區(qū)域如圖5中符號“?”所示,具體步驟如下。

圖5 試驗過程數(shù)據(jù)分布示意圖(“?”為原始參考數(shù)據(jù),“o”和“·”分別為參考數(shù)據(jù)的網(wǎng)格中心和網(wǎng)格邊界中心)Fig.5 Data distribution sketch map in experimental process

步驟1:求取“o”位置的奇異系數(shù)。設構圖參考數(shù)據(jù)網(wǎng)格邊長為L,則以某一“o”點為中心,建立邊長分別為L/2、L、3L、5L、7L且互相平行的正方形簇,利用式(9)計算后四者內的測度,根據(jù)式(10)和原則(2),對這4個正方形的測度、尺度對數(shù)進行線性擬合,擬合斜率即為待求α,該α滿足邊長L/2正方形的測度—尺度關系。

步驟2:對“o”位置進行插值并校正。對“o”位置進行克里金插值估計,設結果為Z0,將插值參考區(qū)域轉化為等面積、邊長為k·(L/2)的正方形,Z0為該正方形內平均測度。將該位置真實值Z′作為邊長L/2正方形內平均測度。上述兩個正方形同時滿足式(10)的測度、尺度關系,推算可得

此式即為對插值結果的奇異性修正方法。

步驟3:通過步驟1、步驟2可首先完成對圖5中所有“o”位置的插值和校正。進一步,按相同方法對所有“·”位置進行相同操作,從而可得65×65的準確網(wǎng)格數(shù)據(jù)。

步驟4:在此基礎上,重復兩次步驟1—4的試驗過程,得到和原始數(shù)據(jù)相同分布的257×257數(shù)據(jù)集,即完成了對基準數(shù)據(jù)集的重構。

同樣,將從基準數(shù)據(jù)中提取的65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為構圖參考數(shù)據(jù),并進行重構試驗。此外,試驗過程中,采用鏡像對稱補償方法對邊界進行補償,降低邊界效應對構圖結果的影響。

4.3 構圖結果評價與分析

4.3.1 構圖結果評價

將33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為參考數(shù)據(jù)或訓練樣本,分別使用克里金法、改進謝別德法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡法對257×257數(shù)據(jù)進行插值或預測重構,將重構結果和基準數(shù)據(jù)集以及4.2中分別以33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)為基礎重構的數(shù)據(jù)集在同一剖線上進行對比,分別如圖6(a)、圖6(b)所示。

圖6 不同數(shù)據(jù)集剖線對比圖Fig.6 Curves comparison of different datasets

從兩方面對構圖結果進行評價:

(1)通過圖6(a)、圖6(b)可以看出,相比單純使用克里金法,本文方法能夠更好地逼近基準數(shù)據(jù),尤其在奇異性較強的局部細節(jié)上,這種優(yōu)勢尤其明顯;相比改進謝別德法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡法這些優(yōu)異的傳統(tǒng)插值方法或預測算法同樣有著明顯的優(yōu)勢,以上各方法的重構精度對比見表4。

(2)通過圖6和表4可以看出,由65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)重構的數(shù)據(jù)集相比33×33網(wǎng)格數(shù)據(jù)在精度上有明顯提升,在細節(jié)上可以更好地逼近真實數(shù)據(jù)特征。觀察圖4(b)可知,lnχqr()、ln r擬合斜率在尺度1/32處有一定的轉折,說明65×65數(shù)據(jù)集中包含了更多的局部細節(jié)信息,尤其是強奇異性子集信息,它不僅使克里金法的估計更準確,同時可以更精確地描述每個位置的奇異特征。

4.3.2 試驗結果分析

本文方法可以有效地提高克里金法構建地磁基準圖的精度,并且相比其他傳統(tǒng)方法具有明顯的優(yōu)勢,但仍有一定的誤差,主要原因有以下3點:

(1)克里金法的估計誤差?？死锝鸱ㄗ鳛楸疚姆椒ǖ幕A組成部分,使用范圍較廣,且能比較有效地降低估計誤差,但無法完全消除,同時有著低通濾波性等缺點。

表4 不同區(qū)域構圖精度對比Tab.4 Mapping precision of different areas

續(xù)表4

(2)邊界效應的影響。一是在對邊界附近位置進行克里金插值時,搜索區(qū)域會延伸到研究區(qū)域之外,導致參考點缺失現(xiàn)象;二是以邊界附近位置點為中心建立正方形簇時,正方形同樣會延伸到研究區(qū)域之外,從而對正方形的測度估計帶來誤差,雖然采用鏡像對稱補償方法進行了邊界補償,并將這種誤差降低了20%～40%,但很難完全消除。

(3)強奇異性分形子集的丟失。當構圖數(shù)據(jù)過于稀疏時,極有可能導致一些奇異性較強且分布比較集中的分形子集的丟失,體現(xiàn)在多重分形譜上就是譜寬度的降低。以試驗分析的4109A數(shù)據(jù)為例,基準數(shù)據(jù)集譜寬度為0.943 2,而從中提取的33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)的分形譜寬度分別為0.382 5和0.578 4,從而對于基準數(shù)據(jù)集中某些奇異性較強的分形子集,無法做到完全的奇異性校正。當構圖數(shù)據(jù)的分辨率大于0.01°時,本文方法的優(yōu)勢將很難得到體現(xiàn),但是由于實測數(shù)據(jù)均在本文方法適用范圍之內,因此本文方法具有良好的實用價值。

顯然,本文方法的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在地磁異常變化比較明顯,即適合進行地磁匹配的研究區(qū)域,在地磁異常變化平緩區(qū)域,意義比較有限。此外,相比傳統(tǒng)方法,本文方法帶來了更多的計算量,相比于單純使用克里金法,計算量增加了一倍。

5 結 論

地磁異常場的分布受不同區(qū)域地質結構的差異性及人為因素的影響,不僅水平梯度變化大,而且這種梯度變化很不一致。通過對5塊區(qū)域的航磁測量數(shù)據(jù)進行多重分形特征分析,在不同尺度范圍內對其標度不變性進行了定量地闡釋。在大尺度范圍內體現(xiàn)的是地磁異常場作為復雜空間變量的整體分布特征,而在小尺度范圍內體現(xiàn)的是地磁異常場在局部范圍內的簡單分形特征,通過在特定范圍內進行分析,可以很好地刻畫地磁異常場的局部奇異性。

在分析地磁異常場多重分形特征的基礎上,將多重分形理論和克里金法相結合,提出逐步插值校正法。試驗證明相比克里金法、改進謝別德法等優(yōu)異的傳統(tǒng)插值或預測方法,本文方法能夠更精確地進行基準圖的構建,尤其在對局部奇異特征的刻畫上,具有很強的優(yōu)越性,當參考數(shù)據(jù)中包含細節(jié)信息較豐富時,可以最大程度地保證奇異性校正的充分性和準確性。經(jīng)匹配仿真研究證明,采用本文方法構建的基準圖,可以將地磁匹配的精度提高10%～20%,且對于大多數(shù)地磁異常場,可穩(wěn)定在百米之內。本文方法可以很好地應用于地磁測量數(shù)據(jù)不嚴格均勻分布的情況,有效提高對局部奇異性的刻畫,作為地磁測量的完好補充,為實現(xiàn)精確的地磁導航提供支撐。

[1] RICE H,KELMENSON S,MENDELSONHN L.Geophysical Navigation Technologies and Applications[C]∥Position Location and Navigation Symposium,IEEE PLANS, 2004:618-624.

[2] THIENEL J K,HARMA R R.Results of the Magnetometer Navigation(MAGNAV)in Flight Experiment[C]∥AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit,Providence,Rhode Island,2004:1164-1182.

[3] KOU Yimin.Research of Key Technologies in Geomagnetic Navigation[D].Harbin:Harbin Institute of Technology, 2010.(寇義民.地磁導航關鍵技術研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,2010.)

[4] QIAO Yukun,WANG Shicheng,ZHANG Jinsheng,et al.BP Neural Network Based Preparation Method of Geomagnetic Reference Map and Its Accuracy Evaluation[J].Journal of Chinese Inertial Technology,2009,17(1):53-58.(喬玉坤,王仕成,張金生,等.基于BP網(wǎng)絡的地磁基準圖制備及其精度評價[J].中國慣性技術學報,2009,17 (1):53-58.)

[5] ZHANG Xiaoming,ZHAO Yan.Local Geomagnetic Field Mapping Based on Kriging Interpolation Method[J].Electronic Measurement Technology,2009,32(4):122-125.(張曉明,趙剡.基于克里金法的局部地磁圖的構建[J].電子測量技術,2009,32(4):122-125.)

[6] YANG Gongliu,ZHANG Guimin,LI Shixin.Application of Universal Kriging Interpolation in Geomagnetic Map [J].Journal of Chinese Inertial Technology,2008,16(2): 162-166.(楊功流,張桂敏,李士心.泛克里金插值法在地磁圖中的應用[J].中國慣性技術學報,2008,16(2): 162-166.)

[7] WANG Huizan,ZHANG Ren,LIU Wei,et al.Kriging Interpolation Method Optimized by Support Vector Machine and Its Application in Oceanic Data[J].Transactions of Atmospheric Sciences,2011,34(5):567-573.(王輝贊,張韌,劉巍,等.支持向量機優(yōu)化的克里金插值算法及其海洋資料對比試驗[J].大氣科學學報,2011,34(5): 567-573.)

[8] MANDELBROT B B.How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension[J].Science,1967,156:636-638.

[9] SUN Xia,WU Ziqin,HUANG Yun.Principles and Application of Fractal[M].Hefei:University of Science and Technology of China Press,2003.(孫霞,吳自勤,黃畇.分形原理及其應用[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2003.)

[10] SPECTOR A,GRANT F S.Statistical Models for Interpreting Aeromagnetic Data[J].Geophysics,1970,35(2): 293-302.

[11] MARK E G,OLIVIA J,JAFAR A H.Fractal Stochastic Modeling of Aeromagnetic Data[J].Geophysics,1991,56 (11):1706-1715.

[12] JIANG Xiaodian,YU Zenghui.Study on the Fractal Character of Magnetic Anomaly Fields and the Delineation of Tectonic Elements in the South China Sea[J].Chinese Journal of Oceanology and Limnology,1998,16(1): 28-35.

[13] WU Zhaocong.Determination of Fractal Scaleless Range[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2002,31(3): 240-244.(巫兆聰.分形分析中的無標度區(qū)確定問題[J].測繪學報,2002,31(3):240-244.)

[14] SUN Xia,WU Ziqin.Fractal and Multifractal Description of Surface Topography[J].Acta Physica Sinica,2011,50 (11):2126-2131.(孫霞,吳自勤.規(guī)則表面形貌的分形和多重分形描述[M].物理學報,2011,50(11):2126-2131.)

[15] QIAN Dong,LIU Fanming,LI Yan,et al.Comparison of Gravity Gradient Reference Map Composition for Navigation[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2011, 40(6):736-744.(錢東,劉繁明,李艷,等.導航用重力梯度基準圖構建方法的比較研究[J].測繪學報,2011,40(6): 736-744.)

[16] ARIZA-VILLAVERDE A B,JIMENEZ-HORNERO F J, EDUARDO G D R.Multifractal Analysis of Axial Maps Applied to the Study of Urban Morphology[J].Computers,Environment and Urban Systems,2013,38: 1-10.

[17] LI Qiang,XU Guiming.Scale Invariance in Complex Seismic System and Its Uses in Gaining Precursory Information before Large Earthquakes:Importance of Methodology [J].Physica A:Statistical Mechanics and Its Applications, 2013,392(4):929-940.

[18] XU Guoce,LI Zhanbin,LI Peng.Fractal Features of Soil Particle-size Distribution and Total Soil Nitrogen Distribution in a Typical Watershed in the Source Area of the Middle Dan River,China[J].Catena,2013,101:17-23.

[19] LI Tong,SHANG Pengjian.A Multifractal Approach to Palmprint Recognition[J].Acta Physica Sinica,2007,56 (8):4393-4400.(李彤,商朋見.多重分形在掌紋識別中的研究[J].物理學報,2007,56(8):4393-4400.)

[20] JIANG Zhiqiang.Some Questions in the Applications Research of Fractal and Analyse of Its Present Situation and Foreground[J].Journal of Jilin University,Information Science Edition,2004,22(1):57-62.(姜志強.分形理論應用研究若干問題及現(xiàn)狀與前景分析[J].吉林大學學報:信息科學版,2004,22(1):57-62.)

[21] YANG Juan,BIAN Baomin,YAN Zhengang,et al.Fractal Characteristics of Characteristic Parameter Statistical Distributions of Typical Random Signals[J].Acta Physica Sinica,2011,60(10):86-92.(楊娟,卞保民,閆振綱,等.典型隨機信號特征參數(shù)統(tǒng)計分布的分形特性[J].物理學報,2011,60(10):86-92.)

[22] SUN Xia,XIONG Gang,FU Zhuxi,et al.Multifractal Spectra of Atomic Force Microscope Images of Zn O Film [J].Acta Physica Sinica,2000,49(5):854-862.(孫霞,熊剛,傅竹西,等.Zn O薄膜原子力顯微鏡圖像的多重分形譜[M].物理學報.2000,49(5):854-862.)

[23] YANG Xiaodong,NING Xinbao,HE Aijun,et al.Mass Exponent Spectrum Analysis of Human ECG Signals Based on Multiple Scale Factors[J].Acta Physica Sinica, 2008,57(3):1514-1521.(楊小冬,寧新寶,何愛軍,等.基于多尺度的人體ECG信號質量指數(shù)譜分析[J].物理學報,2008,57(3):1514-1521.)

(責任編輯:陳品馨)

Multifractal Spectrum Analysis and Mapping Method of Geomagnetic Anomaly Field

ZHAO Yuxin,CHANG Shuai,ZHANG Zhenxing
College of Automation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

To make a deep study on the distributing characteristics of geomagnetic anomaly field and apply it to the building of geomagnetic reference map,selecting several group of geomagnetic anomaly field data published by NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration),and make a multifractal spectrum analysis based on them,it proves that geomagnetic anomaly field has apparent multifractal characteristics.Combining multifractal theory with Kriging method,putting forward the step-by-step interpolation and correction method(SSICM),for a unknown position,this method firstly estimates its property value with Kriging interpolation method,then conducts singularity correction according to scale invariance in small scale range of geomagnetic anomaly field,thereby building reference map in gridding format stepwise.Experimental result proves that compared with the traditional methods,SSICM could portray small scale singular characteristics more exactly and reconstruct geomagnetic anomaly field more precisely.

geomagnetic anomaly field;multifractal spectrum;scale invariance;SSICM

ZHAO Yuxin(1980—),male,PhD, associate professor,PhD supervisor,majors in ship navigation and marine equipment.

P223.6

A

1001-1595(2014)05-0529-08

國家自然科學基金(51379049);中央高校基本科研業(yè)務費專項基金(HEUCF110419;HEUCFX41302)

2013-01-21

趙玉新(1980—),男,博士,副教授,博士生導師,主要從事船舶導航及海洋裝備領域研究。

E-mail:zhaoyuxin＠hrbeu.edu.cn

ZHAO Yuxin,CHANG Shuai,ZHANG Zhenxing.Multifractal Spectrum Analysis and Mapping Method of Geomagnetic Anomaly Field[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):529-536.(趙玉新,常帥,張振興.地磁異常場的多重分形譜分析及構圖法[J].測繪學報,2014,43(5):529-536.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0072

修回日期:2013-12-27