李清波，何石堅(jiān)，匡姣姣

（長沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長沙 410004）

分維數(shù)是指用于描述自然界中事物的整體與其組成部分以某種方式自相似的特性參數(shù)。若將公路網(wǎng)視為整體，將公路路線視為其組成部分，建立工程實(shí)踐中路網(wǎng)分維數(shù)的計(jì)算方法，從而利用分維數(shù)來分析公路網(wǎng)與公路路線之間的過渡關(guān)系。

國內(nèi)許多學(xué)者對(duì)路網(wǎng)分維數(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究，管楚度［1］探討了分形理論與公路工程實(shí)踐的聯(lián)系，給出了公路工程實(shí)踐中某一地區(qū)單個(gè)等級(jí)公路網(wǎng)分維數(shù)的計(jì)算方法；游清華［2－3］等人研究了路網(wǎng)分維數(shù)與路網(wǎng)密度等指標(biāo)的關(guān)系，提出了路網(wǎng)分維數(shù)既能描述路網(wǎng)密度等指標(biāo)又能體現(xiàn)路網(wǎng)的均勻性等特性，且將路網(wǎng)分維數(shù)應(yīng)用在路網(wǎng)評(píng)價(jià)中；蔡翠［4］利用分維數(shù)對(duì)山東省高速公路網(wǎng)和國省干線公路網(wǎng)的發(fā)展進(jìn)行了研究；仇東東［5］等人利用分維數(shù)對(duì)浙江省各等級(jí)公路網(wǎng)進(jìn)行了分項(xiàng)研究；陳迎春［6］等人研究了分形理論與工程實(shí)踐的關(guān)系，并將分形理論運(yùn)用到公路網(wǎng)規(guī)劃評(píng)價(jià)當(dāng)中；李海俠［7］探討了分形理論在公路網(wǎng)中的應(yīng)用。國外學(xué)者也對(duì)路網(wǎng)分維數(shù)進(jìn)行了一些探討［8－11］。

路網(wǎng)分維數(shù)是路網(wǎng)評(píng)價(jià)的可靠指標(biāo)，對(duì)其展開的研究具有較為重要的意義。然而，傳統(tǒng)的路網(wǎng)分維數(shù)指標(biāo)僅能用于描述某一地區(qū)單個(gè)等級(jí)公路網(wǎng)的相關(guān)特性，卻不能用于包含各個(gè)等級(jí)公路的路網(wǎng)整體。因此，需要尋求一個(gè)能夠建立起各等級(jí)公路之間聯(lián)系的分析過程，再將這個(gè)過程融入到傳統(tǒng)的路網(wǎng)分維數(shù)的計(jì)算中，期望通過改進(jìn)的計(jì)算方法得到能用于評(píng)價(jià)包含各個(gè)等級(jí)公路整體的路網(wǎng)分維數(shù)指標(biāo)。

尋求多等級(jí)路網(wǎng)與單一等級(jí)路網(wǎng)的內(nèi)在聯(lián)系重點(diǎn)在于對(duì)決定公路等級(jí)指標(biāo)的分析。從公路路線設(shè)計(jì)技術(shù)規(guī)范［12］對(duì)公路等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)中可知，交通量是決定公路等級(jí)的外因，而通行能力分析是決定公路等級(jí)的內(nèi)因，通行能力分析是公路規(guī)劃和設(shè)計(jì)的重要流程，設(shè)計(jì)通行能力既能直觀地區(qū)分公路等級(jí)，又能定量化分析某一等級(jí)公路在公路網(wǎng)當(dāng)中所起功能和作用。因此，要建立起多等級(jí)路網(wǎng)與單一等級(jí)路網(wǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)該以通行能力分析這一內(nèi)在因素為紐帶。

作者擬以通行能力分析為紐帶，建立起多等級(jí)路網(wǎng)中各等級(jí)公路的聯(lián)系，對(duì)路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算方法稍做改進(jìn)，得到改進(jìn)后的路網(wǎng)分維數(shù)指標(biāo)，再將其運(yùn)用到多等級(jí)路網(wǎng)的整體評(píng)價(jià)中。以湖南部分地區(qū)公路網(wǎng)實(shí)際情況為依托，得出改進(jìn)后的路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算結(jié)果，并根據(jù)試算結(jié)果，結(jié)合湖南省社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)湖南省部分地區(qū)公路網(wǎng)特性進(jìn)行分析。

1 路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算

1.1 根據(jù)Hausdarf簡(jiǎn)化法計(jì)算分維數(shù)

對(duì)于一個(gè)整體，若量度其“容積”單位的半徑為r，用該單位量度的結(jié)果N（r）滿足以下關(guān)系，則稱D為該整體的分維數(shù)：

式中：c為常數(shù)；r為整體劃分為局部所選取的單位量度；N為整體劃分為局部的個(gè)數(shù)；D為整體的分維數(shù)。

利用分形幾何理論，對(duì)式（1）進(jìn)行展開，得：

式中：Ds為相似維數(shù)；δ為局部與整體的相似比。

1.2 工程實(shí)踐中的單一等級(jí)路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算

在工程實(shí)踐中，對(duì)Hausdarf計(jì)算方法進(jìn)行粗視化處理，具體步驟為：用間隔r的格子把平面分割成邊長為r的正方形網(wǎng)格，計(jì)量研究對(duì)象落入到正方形格子的數(shù)目，記為N（r）。N（r）隨著邊長r的變化而變化，二者關(guān)系可近似表示為：

式中：A為常數(shù)。

1.3 基于通行能力分析的路網(wǎng)整體分維數(shù)計(jì)算

傳統(tǒng)的工程實(shí)踐中，路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算和研究的對(duì)象為單一等級(jí)路網(wǎng)，式（4）中所得到的路網(wǎng)相似分維數(shù)Ds僅體現(xiàn)了某一地區(qū)某一等級(jí)公路路線與這一等級(jí)公路路線所構(gòu)成路網(wǎng)的自相似特性。需要研究地區(qū)公路網(wǎng)在整體上的自相似特性，不妨在式（4）的基礎(chǔ)上做一定的改進(jìn)。

計(jì)算分維數(shù)時(shí)，用間隔r的格子把平面分割成邊長為r的正方形網(wǎng)格，計(jì)量研究對(duì)象落入到正方形格子的數(shù)目，記為N（r）。借鑒權(quán)重的思想，考慮到不同等級(jí)公路在公路網(wǎng)中所起到服務(wù)功能的不同，在路網(wǎng)整體分析中，各自所占的權(quán)重會(huì)存在一些差異。同時(shí)通行能力是表征公路服務(wù)功能的最直接指標(biāo)，通行能力的大小直接體現(xiàn)某一等級(jí)公路在路網(wǎng)中所處的地位即所占的權(quán)重。因而，以各等級(jí)公路通行能力的比較分析為基礎(chǔ)，對(duì)N（r）做細(xì)化改進(jìn)：

式中：i為公路等級(jí)；i＝0～4依次表示高速、一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)和四級(jí)公路；Ci為按通行能力分析的i級(jí)公路的換算系數(shù)；ni（r）為i級(jí)公路落入到以r為量度的正方形格子的數(shù)目；De為路網(wǎng)整體分維數(shù)。

根據(jù)《公路路線設(shè)計(jì)技術(shù)規(guī)范》（JTG D20－2006）中各等級(jí)公路的設(shè)計(jì)通行能力范圍，結(jié)合中國各地區(qū)公路網(wǎng)中二級(jí)公路所占比重最大的實(shí)際情況，以二級(jí)公路設(shè)計(jì)通行能力為參照系，在二級(jí)公路設(shè)計(jì)通行能力范圍中值處（即1 075pcu／h）取其換算系數(shù)Ci＝1，其余各等級(jí)公路換算系數(shù)按其設(shè)計(jì)通行能力與參照系設(shè)計(jì)通行能力的線性關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，則可得各等級(jí)公路通行能力與對(duì)應(yīng)換算系數(shù)，見表1。

表1 各等級(jí)公路設(shè)計(jì)通行能力與對(duì)應(yīng)換算系數(shù)Table 1 Design traffic capacities of all the highways and the corresponding conversion coefficients

2 基于通行能力分析的路網(wǎng)分維數(shù)應(yīng)用和分析

2.1 湖南部分地區(qū)基于通行能力分析的路網(wǎng)整體分維數(shù)計(jì)算

根據(jù)改進(jìn)后的路網(wǎng)分維數(shù)計(jì)算方法，對(duì)湖南省部分地區(qū)公路網(wǎng)進(jìn)行了基于通行能力分析的路網(wǎng)整體分維數(shù)試算和分析。湖南省現(xiàn)有公路網(wǎng)中，高速公路主要為四車道，一級(jí)公路主要為四車道，二級(jí)、三級(jí)和四級(jí)公路按設(shè)計(jì)通行能力的中值換算取值。根據(jù)湖南省公路網(wǎng)實(shí)際情況，選取換算系數(shù)見表2。

表2 湖南公路網(wǎng)各等級(jí)公路換算系數(shù)Table 2 Conversion coefficients of all the highways in Hunan Province

分別對(duì)長沙、常德、湘西自治州、張家界、婁底及衡陽等6個(gè)地區(qū)的公路網(wǎng)進(jìn)行粗視化處理，換算系數(shù)按表2取值，所得的基于通行能力分析的路網(wǎng)整體分維數(shù)試算結(jié)果見表3。

采用最小二乘法，擬合r與N（r）的對(duì)數(shù)關(guān)系（如圖1～6所示）。按式（6）計(jì)算得各地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)De，見表4。

2.2 路網(wǎng)整體分維數(shù)試算結(jié)果分析

2.2.1 路網(wǎng)整體分維數(shù)De的合理性分析

從圖1～6中可以看出，各地區(qū)路網(wǎng)分維數(shù)在進(jìn)行通行能力分析計(jì)算后，所得的標(biāo)度r與N（r）的雙對(duì)數(shù)關(guān)系仍滿足線性關(guān)系。這就驗(yàn)證了式（6）的可行性以及De在理論上的合理性。

2.2.2 路網(wǎng)整體分維數(shù)De與經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的協(xié)調(diào)性分析

從表4中可以看出，各地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)排名與De人均GDP排名接近。這說明De越大的地區(qū)，在湖南經(jīng)濟(jì)中所占的主導(dǎo)作用越大。基于通行能力分析的路網(wǎng)分維數(shù)在一定程度上與各地區(qū)的經(jīng)濟(jì)指數(shù)相協(xié)調(diào)。

表3 基于通行能力分析的各地區(qū)公路網(wǎng)整體分維數(shù)試算表Table 3 Trial results of highway network fractal dimension based on the analysis of the traffic capacity

圖6 衡陽地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)分析圖Fig.6 Analysis of highway network fractal dimension in Hengyang

表4 各地區(qū)公路網(wǎng)整體分維數(shù)De、人均GDP及排名Table 4 Highway network fractal dimension De，GDP per person and its ranking in these areas

2.2.3 路網(wǎng)整體分維數(shù)De與地理因素的一致性分析

分析試算結(jié)果中各地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)De的排名可以看出，基于通行能力分析的路網(wǎng)整體分維數(shù)De隨各地區(qū)地理位置的變化規(guī)律呈明顯的從東南往西北遞減，而湖南在中國公路版圖上恰好起連接?xùn)|南沿海和西部地區(qū)的過渡作用。這說明路網(wǎng)整體分維數(shù)De能較好地描述公路網(wǎng)的發(fā)展與地理因素之間的有機(jī)聯(lián)系，可以作為某一地域（如：湖南）公路網(wǎng)整體分析和評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。

3 結(jié)語

依托湖南省長沙、常德、湘西自治州、張家界、婁底及衡陽等6個(gè)地區(qū)的公路網(wǎng)實(shí)際情況，按照工程實(shí)踐中路網(wǎng)分維數(shù)的計(jì)算方法，并結(jié)合通行能力分析加以改進(jìn)，得到了各地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)De。在對(duì)路網(wǎng)整體分維數(shù)的特性和各地區(qū)路網(wǎng)分維數(shù)之間的規(guī)律進(jìn)行分析之后，得到的結(jié)論為：

1）地區(qū)路網(wǎng)整體分維數(shù)De與地區(qū)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)存在著正相關(guān)關(guān)系，可用于定性比較各地區(qū)之間經(jīng)濟(jì)發(fā)展程度的差異。路網(wǎng)整體分維數(shù)De越大，地區(qū)經(jīng)濟(jì)越發(fā)達(dá)。

2）路網(wǎng)整體分維數(shù)De能客觀地描述同一地域（如：湖南）不同地區(qū)（如：長沙等）公路網(wǎng)之間的變化規(guī)律，對(duì)某一地域的公路網(wǎng)結(jié)構(gòu)作出一定的分析和評(píng)價(jià)。

3）基于通行能力分析，對(duì)路網(wǎng)分維數(shù)進(jìn)行的細(xì)化計(jì)算方法在研究地區(qū)整體公路網(wǎng)的特性時(shí)可行?；谕ㄐ心芰Ψ治龅穆肪W(wǎng)整體分維數(shù)De，可用于分析地區(qū)公路網(wǎng)的整體特性，使傳統(tǒng)路網(wǎng)分維數(shù)只能用于分析某一地區(qū)某一等級(jí)公路網(wǎng)的局限性得到了改善。

將更多影響公路網(wǎng)發(fā)展的因素結(jié)合到路網(wǎng)整體分維數(shù)De的計(jì)算中是今后的研究方向之一，如：地區(qū)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的不同對(duì)公路網(wǎng)分維數(shù)產(chǎn)生的影響導(dǎo)致了湘西地區(qū)公路網(wǎng)整體分維數(shù)大于張家界地區(qū)整體公路網(wǎng)分維數(shù)，而張家界地區(qū)人均GDP卻大于湘西地區(qū)人均GDP的結(jié)果。對(duì)路網(wǎng)分維數(shù)De的分析和計(jì)算，還需要進(jìn)一步開展全面、深入、細(xì)致的研究。

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