彭魯

通過定積分這一章的學(xué)習(xí)，我們越來越對積分思想的淵源感興趣，怎么會想到用無限小的過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長呢？

其實求面積和體積問題自古以來都是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題.首先，積分學(xué)的起源最早可以追溯到古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德，他使用了平衡法推導(dǎo)球體積，但沒有使用極限的方法，而是創(chuàng)造了微元法分析問題.我國魏晉時候杰出的數(shù)學(xué)家劉徽提出“割圓術(shù)”，用思想無限分割方法推導(dǎo)出許多平面圖形的面積與一些立體圖形的體積.文藝復(fù)興時期，天文學(xué)的發(fā)展激發(fā)了積分學(xué)的研究興趣，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬首次以和式極限討論了曲線下面積的方法.只有牛頓和萊布尼茨把這個問題上升到一般概念，認(rèn)為這是一種不依賴于任何幾何或物理背景的結(jié)構(gòu)性運(yùn)算，給予命名——微積分.

定積分的分析思想和解決實際問題是非常重要的，北師大高中選修2-2要求解決一些簡單的幾何問題，主要在這個過程中熟悉定積分的求法，感受微積分的魅力，但對于定積分解決物理問題涉及簡單的做功問題和物理運(yùn)動問題，由此有必要多了解定積分在物理上的其他重要應(yīng)用，拓寬視野.

為了更好地分析問題，這里簡單理解定積分的分析方法——微元法.

①根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a，b]；

②設(shè)想把區(qū)間[a，b]分成個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為[x，x+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量VU的近似值.如果VU能近似地表示為[a，b]上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f（x）與dx的乘積，則把f（x）dx稱為量的元素且記作dU，即dU=f（x）dx；

③以所求量U的元素f（x）dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a，b]上作定積分，得U=？蘩■■f（x）dx，即為所求量U的積分表達(dá)式.這個方法通常叫做元素法.

一、變力沿直線所做的功

例1：半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為1，現(xiàn)將這球從水中取出，需做多少功？

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：