鄭 勇，劉 超（．山東財經(jīng)大學財務(wù)處，山東濟南 5004；．山東財經(jīng)大學金融學院，山東濟南 5004）

基于熵度量風險的投資組合優(yōu)化模型
——來自深證100的數(shù)據(jù)分析

鄭 勇1，劉 超2
（1．山東財經(jīng)大學財務(wù)處，山東濟南 250014；2．山東財經(jīng)大學金融學院，山東濟南 250014）

在馬科維茨的均值—方差模型的基礎(chǔ)上，將熵理論引入投資組合模型中，建立基于熵度量風險的均值—熵模型，并選取深證100中的10只股票進行實證研究，比較了所選股票的方差與初始熵值，驗證了新模型建立的可行性以及必要性。通過matlab計算兩種模型的投資方案得出：均值—熵模型較均值—方差模型在實際應(yīng)用中更具有實用性，在同樣收益率水平下能夠為投資者提供具有較少證券數(shù)量的投資方案。這不僅節(jié)約了過度分散化給投資者帶來的交易費用和管理費用，而且節(jié)省了信息資源，增強了投資者的信息處理能力。

熵；風險；投資組合；均值—方差模型

一、引 言

在經(jīng)濟全球化和金融一體化的影響下，我國金融市場也得到了快速的發(fā)展。但是資本市場存在如上市公司質(zhì)量不高、財務(wù)信息造假、監(jiān)管不嚴、行政化嚴重等問題［1］，導致其在金融結(jié)構(gòu)、市場機制、市場深度、市場文化方面距離成熟的資本市場還有一定的差距，市場波動性較大，因而證券投資的風險管理問題就比較突出，而建立科學有效的風險度量方法是進行風險管理的基礎(chǔ)。馬科維茨的均值—方差模型的提出是金融風險進入量化時代的標志，但是該模型假設(shè)條件過于苛刻，其實際應(yīng)用受到很多學者的質(zhì)疑，之后又有學者提出其他方法，到目前為止有半方差度量法［2］、VAR度量方法［3］、ARCH度量方法［4］、β系數(shù)度量方法［5］等。但是這些風險度量方法都存在一定程度的缺陷，如半方差只說明收益率的偏離方向，沒有反映證券組合的損失到底有多大［6］；而VAR度量方法是在假設(shè)收益服從正態(tài)分布的條件上成立的［7］。實際中證券的收益率是不服從正態(tài)分布的，有必要尋找一種廣泛有效的風險度量方法。從內(nèi)涵上來看，熵是不確定性的體現(xiàn)，并且在度量過程中無需對分布做任何假設(shè)，因此本文提出將熵理論引入投資組合模型中，來尋求更加實用的組合選擇工具。

許國志、李鳳章［8］將熵與決策行動的不確定性和風險相聯(lián)系并用于決策分析中。顧昌耀、邱苑華［9］提出將熵引入到貝葉斯決策中，改進和完善已有信息價值度量，豐富和發(fā)展了貝葉斯決策理論。在理論引入基礎(chǔ)上，很多學者建立了自己的模型。主要有兩種方法，一種方法是計算每只股票的熵來代表每只股票的風險，并對股票風險進行排序，篩選出適當數(shù)量的股票進行組合，但是這種方法并沒有給出最終的投資方案。姜丹、錢玉美［10］建立效用風險熵模型，考慮了隨機事件客觀狀態(tài)的不確定性和結(jié)果價值兩方面的因素，并且說明了用熵衡量風險的合理性。楊繼平［11］通過期望—效用決策模型對股票進行篩選排序，并與二階隨機占優(yōu)準則做了比較，得出期望—效用決策模型更具有實用性的結(jié)論，但是該模型計算量巨大并且未考慮投資者的風險偏好。袁博［12］建立最單純的熵模型，并引入調(diào)節(jié)因子來度量股票投資風險，對原上證50的50只股票進行風險排序，篩選出20只目標股票。實證研究得出，熵模型在度量股票投資風險具有高效、便捷、實用性。另外一種方法是根據(jù)熵的定義，直接給出投資組合的熵值表達式，確定投資方案，但是這種方法沒有考慮個股風險對于投資方案的影響。李華［13］利用熵的最大熵原理改變組合投資的目標函數(shù)建立了模型。李江濤［14］結(jié)合我國實際情況，考慮交易費用、限制約束、最小交易單位以及限制賣空等幾個條件，構(gòu)建了均值—熵模型，該模型與我國真實股票市場相接近，與實際更相符，但是沒有通過具體數(shù)據(jù)進行實證研究。

綜上，國內(nèi)學者對于熵理論對金融風險的度量和管理的研究還處于起步階段，在建立模型時單獨使用個股熵值排序篩選法和計算組合熵值確定投資方案這兩種方法，所以各模型都有不可避免的弊端，因此將這兩種方法結(jié)合起來，用投資比例加權(quán)個股的熵值來表示系統(tǒng)的風險是一種新的研究思路和方法。

二、均值—熵模型概述

用熵來度量投資風險，對收益率的概率分布沒有要求。在實際的證券市場中，各風險資產(chǎn)收益率的分布并不是確定的，投資者只關(guān)心的是實際收益率小于期望收益率時所面臨的風險，因此用熵度量投資風險在實際應(yīng)用中更具有實用性和價值意義。從熵的定義來看，熵描述的是一個系統(tǒng)的無序程度，而信息熵是將系統(tǒng)的無序程度與信息量有效結(jié)合，信息熵的數(shù)值越大，表明該值包涵的樣本的信息量越大，樣本的不確定性程度就越小。風險本質(zhì)上看是表現(xiàn)投資者收益率的不確定程度。選擇用信息熵來度量投資風險具有更加完善的理論基礎(chǔ)。熵表現(xiàn)的是收益率概率分布的多階矩特征，能涵括更多關(guān)于分布的信息，相比只能反映分布二階矩特征的方差，能更加準確地衡量投資者面臨的全部風險。用熵衡量投資風險更符合客觀現(xiàn)實，誤差更小。根據(jù)熵的定義及其性質(zhì)可知，用熵函數(shù)度量投資風險與投資者對于風險度量的理解是相一致的，基于熵測度風險的資產(chǎn)風險排序，相比用方差度量更具有合理性。

根據(jù)信息熵的定義可知，單個證券的熵值可用H（X）＝piln pi求出，可將此公式定義為證券的初始熵值，但是根據(jù)信息熵的性質(zhì)可知，由于各證券的收益率不是相互獨立的，因此不具有可加性。常用的辦法是將證券的熵分解成受市場影響的系統(tǒng)風險熵和非系統(tǒng)熵。王博［17］提出用β系數(shù)加權(quán)的市場收益率的熵和殘差項的熵的和來表示單個證券的熵，具體表示為H（S）＝βH（rm）＋H（εi），但是該模型假設(shè)殘差項和市場收益率是不相關(guān)的，而在現(xiàn)實生活中，殘差項和市場收益率是有一定關(guān)系的。所以在此基礎(chǔ)上，引入條件熵對此模型進行改進。所有單個證券的收益率對市場收益率的條件熵都是獨立的，這樣單個證券的熵就能相加。單個證券的熵值公式表示為：

由以上定義可以看出，H（S）反映的是某資產(chǎn)的風險程度，H（S）的值的大小與其風險程度是正相關(guān)的。

基于以上單個風險資產(chǎn)的風險度量公式，可定義投資組合的熵值公式：

設(shè)投資者投資于n種證券，第i（i＝1、2…．n）種證券的投資比例為n）。則n種證券的組合投資風險為：

理性的投資者總是希望在一定的收益下，投資風險盡可能的小。從這方面看還需加入一個約束條件使得證券投資組合的期望收益率大于等于某一給定的值，得到的均值—熵模型為：

三、均值—熵模型的實證分析

（一）數(shù)據(jù)選擇

由于投資資本的有限性，投資者在選取投資組合時既要兼顧分散風險又要考慮自身資本承受能力，因此投資組合中的股票數(shù)量不宜過多。由根據(jù)風險分散和投資組合原理以及對中國股票市場的調(diào)查研究得出的經(jīng)驗法則［12］可知，當投資組合中的股票數(shù)量超過12只時，組合對非系統(tǒng)風險的分散作用開始減弱。因此，在研究過程中可以選擇10只股票，此時組合對非系統(tǒng)風險的分散作用較大。

從深證100中涉及金融、能源、交通、地產(chǎn)等行業(yè)中選取成長性好、業(yè)績高、收益率穩(wěn)定的10只股票進行研究［15］。所選股票見表1。

為了保證數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性，選擇使用股票的對數(shù)收益率來研究。為了保證模型的時效性，選取2012年7月1日至2013年7月1日的日收益率來研究。

表1 選取股票名稱及代碼

（二）數(shù)據(jù)處理

我們可以根據(jù)這10只股票從2012年7月1日至2013年7月1日的收盤價數(shù)據(jù)分析來推斷其未來的收益趨勢，股票的對數(shù)收益率定義為：

公式中，rit表示第i只股票在第t個交易日的對數(shù)收益率，pit，pit－1表示第i只股票在第t－1，t個交易日的收盤價。在進行計算之前，通過計算收益率序列的均值、標準差、偏度、峰度及正態(tài)分布檢驗統(tǒng)計量來了解各只股票收益率序列的基本統(tǒng)計特征。各股票相關(guān)統(tǒng)計特征值數(shù)如表2：

表2 各股票收益率序列統(tǒng)計特征

續(xù)表2

表3 ADF統(tǒng)計

從表2可以看出，各股票收益率的均值都在零附近，峰度遠大于正態(tài)分布下的K＝3，表現(xiàn)出顯著的尖峰厚尾的特征，且各股票收益率的J－B統(tǒng)計量都遠大于零，說明收益率序列不服從正態(tài)分布。

作為時間序列，盡管不服從正態(tài)分布，但是仍有必要檢驗序列的平穩(wěn)性，平穩(wěn)性檢驗最常用的是ADF檢驗，各股票的單位根檢驗的數(shù)據(jù)如表3：

從表3可以看出，在置信度為0．05的水平下，10只股票的收益率序列都通過了平穩(wěn)性檢驗，可以進行進一步的熵值計算。

（三）數(shù)據(jù)計算

根據(jù)股票日收益率的定義可求出每只股票的對數(shù)收益率序列，并將區(qū)間［min（r），max（r）］等分10個小區(qū)間，并用頻率來代替概率，這樣可得到10只股票收益率的分布率和每個區(qū)間的樣本均值，如表4所示，每只股票的第一行為頻率，第二行為中間值：

表4 10只股票概率分布

根據(jù)以上概率分布，可求出每只股票的期望對數(shù)收益率和初始熵值，具體如表5和表6所示：

表5 各股票期望對數(shù)收益率

表6 各股票初始熵值

表7 初始熵值與方差對比表

各股票初始熵值與其方差的對比如表7所示。從表7可以看出，用熵衡量風險與用方差衡量有類似的效果，基本符合熵越大，方差越大。但也有一些不同，驗證了研究熵度量風險的必要性。

運用同樣的方法求深證100指數(shù)的概率分布，來代表市場收益率的概率分布。具體結(jié)果如表8所示：

表8 市場收益率概率分布表

計算得出市場收益率的風險即H（rm）＝1．644。

在MATLAB中通過回歸分析的方法計算出每只股票的β值，結(jié)果如表9所示：

表9 各股票β值表

各只股票的條件信息熵可用市場收益率的熵與各股票的初始熵的差值來表示，結(jié)果如10所示：

表10 各股票條件信息熵值表

根據(jù)H（Si）＝βH（rm）＋H（SI｜rm）i＝1、2…10可計算出各只股票的熵值，結(jié)果如表11所示：

表11 各股票熵值表

接下來計算在給定收益率的條件下，用熵值衡量風險與用標準差衡量風險的區(qū)別，可以通過計算一定收益率水平下，要使得投資組合的風險最小的各個股票的組合情況。

利用MATLAB中的優(yōu)化工具箱可求解公式（6）這一線性約束問題，求出均值—熵模型下10只股票的投資比例，如表12所示：

表12 均值—熵模型下的股票投資比例

為了方便比較，我們可以求出相同收益率水平下，均值—方差模型的投資比例，具體如表13所示：

表13 均值—方差模型下股票的投資比例

通過對比均值—方差模型與均值—熵模型在相同收益率下的投資方案，可以看出，在收益率由低到高的過程中，兩種模型都會選擇用收益風險比較大的中金嶺南（000060）代替華聯(lián)控股（000036），可見新舊模型存在相似的選擇過程。但是用熵度量風險的新模型計算出的投資方案中只通過兩只股票來分散風險，而傳統(tǒng)方法得出的最有投資組合中包括了更多的股票。

四、結(jié) 論

（一）用熵來度量風險具有合理性和可行性

從實證過程可以看出，股票的熵值不依賴于某種特定的分布，只要確定收益率的分布，便能求出股票的熵值，因此熵值是一種理想的股票風險度量手段［16］。

（二）均值—熵模型能夠為投資者提供更加簡單的投資方案

從以上的實證結(jié)果可以看出，在相同收益率下，用均值—方差模型計算出的最優(yōu)投資組合中包含的股票數(shù)量更多。雖然從理論上來講，選擇的股票越多，分散風險的效果就越明顯，但是過度分散不僅不會降低投資者面臨的風險，反而會因為信息成本等其他成本的增加提高風險。而基于熵度量風險的均值—熵模型提供給投資者的最優(yōu)方案中包括的股票數(shù)量更少，更加簡潔，可以減少交易費用和管理費用，降低投資者的風險。

（三）模型評價

1．模型優(yōu)勢

（1）使用熵代替方差衡量投資組合的風險，不需要對收益率的分布做任何假設(shè)，是一種對客觀概率的正確描述和無偏估計，代表風險的熵值的大小只與收益率的概率分布狀況有關(guān)，這就克服了使用均值—方差模型必須假設(shè)收益率的分布是正態(tài)分布的缺陷。因此，均值—熵模型在使用時更具有實用性。

（2）熵在度量風險時與方差的效果是相似的，但是熵可以描述收益率的多階矩的特性，相比方差只能表達的二階矩的特征，熵能提供更多關(guān)于收益率的信息，因此能更加準確地衡量不確定程度。投資者確定各個風險資產(chǎn)的投資比例的過程是復雜動態(tài)多變的，用熵來衡量投資組合的風險更加合理。

（3）雖然增加投資組合中的資產(chǎn)數(shù)量能夠有效分散系統(tǒng)風險，但是過度分散反而會降低組合收益。本文的實證結(jié)果表明，均值—熵模型能夠在相同收益水平上，提供給投資者更加簡單精煉的投資方案。包含股票數(shù)量較少的投資方案，能在分散風險的基礎(chǔ)上有效降低管理費用和交易費用，從而降低投資者面臨的風險。

2．模型的不足之處

（1）本文提出的均值—熵模型，在數(shù)學方面欠缺嚴謹性，沒有證明過程。

（2）整個計算過程過于繁瑣，需要進一步通過計算機仿真，增強模型的實用性，為投資者選取資產(chǎn)組合提供便利工具。

（3）由于熵的值只跟變量的概率分布有關(guān)系，并不受其取值的影響，不能表現(xiàn)出投資者對于風險的主觀反映，因此熵對風險的描述欠缺全面性。

（4）在整個分析過程中，沒有考慮稅收和交易費用等問題，需要進一步改進。

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F830．59

A

1008－2670（2014）04－0029－07

2014－04－10

國家自然科學基金項目“貨幣政策多目標交互行為協(xié)調(diào)控制研究”（61273230）；2012年度教育部“新世紀優(yōu)秀人才支持計劃”（NCET-12-1027）；山東省“金融產(chǎn)業(yè)優(yōu)化與區(qū)域發(fā)展管理協(xié)同創(chuàng)新中心”首席科學家平臺“金融產(chǎn)業(yè)系統(tǒng)優(yōu)化機制創(chuàng)新平臺”。

鄭勇，男，山東濱州人，山東財經(jīng)大學財務(wù)處經(jīng)濟師，研究方向：財務(wù)理論與實踐；劉超，男，山東濟南人，山東財經(jīng)大學金融學院教授，博士生導師，研究方向：社會經(jīng)濟系統(tǒng)分析與計算機仿真。