楊二光，汪忠志

（安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山243002）

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，對各專業(yè)的后續(xù)課程學(xué)習(xí)起著決定性的作用。通過對該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力及運用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力都能得到較好的培養(yǎng)。但該課程具有較強的抽象性與邏輯性，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到課程枯燥乏味及內(nèi)容不連貫，進而導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高，再加上學(xué)時少，內(nèi)容多等因素，造成多數(shù)高校線性代數(shù)課程的教學(xué)效果很不理想。因此，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們盡快掌握線性代數(shù)這一學(xué)科的學(xué)科特點和學(xué)習(xí)方法，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，進而提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果，一直是線性代數(shù)教學(xué)工作者普遍關(guān)注的問題。筆者嘗試從線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題入手，給出解決這些問題的一些對策。

一、如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

一是從具體到抽象。線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，尤其是相關(guān)概念方面。在剛開始的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的難點主要集中在概念過于抽象，難以理解，這是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高的主要原因之一。但抽象源自于具體，了解了概念產(chǎn)生的具體背景能加深對概念的理解。因此引入相關(guān)概念時應(yīng)從概念產(chǎn)生的背景出發(fā)，由實例來導(dǎo)入概念，做到先具體后抽象，使學(xué)生先對概念有一個直觀的認識。如在引入行列式的概念時，作為引例，先利用學(xué)生熟悉的消元法給出二元、三元線性方程組的解，然后由解的分母的表示形式自然地引入二階、三階行列式的概念；再通過對二、三階行列式所表示的代數(shù)和的特點的分析，自然地引入n階行列式的概念。再如，在講述向量空間的概念時，可先將學(xué)生熟知的平面向量、空間向量的代數(shù)表示形式、運算及滿足的運算律推廣到n維向量上去，再由n維向量的運算及滿足的運算律自然抽象出一般向量空間的概念。

二是注重應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題。目前，一些高校均存在課堂教學(xué)與應(yīng)用脫節(jié)的現(xiàn)象。由于各種原因，多數(shù)教師在線性代數(shù)課程的教學(xué)中只強調(diào)理論教學(xué)而忽視了理論知識在解決實際問題中的應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生不了解所學(xué)知識的應(yīng)用背景，從而缺乏學(xué)習(xí)積極性。針對這一現(xiàn)象，教師若能在教學(xué)過程中適當穿插一些線性代數(shù)相關(guān)知識在生產(chǎn)及生活中的應(yīng)用，一方面可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，另一方面還能培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，激發(fā)學(xué)生的求知欲。線性代數(shù)中用于解決實際問題的相關(guān)內(nèi)容很多，例如在講述線性方程組理論在解決實際問題中的應(yīng)用時可引入復(fù)雜化學(xué)方程式的配平問題。學(xué)生在中學(xué)里所學(xué)化學(xué)方程式的配平方法主要有：觀察法、奇數(shù)配偶法、得失法、待定系數(shù)法等，其中待定系數(shù)法即為線性方程組理論在化學(xué)方程式的配平問題中的應(yīng)用，但由于學(xué)生在中學(xué)里還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)線性方程組的解法，能用這一方法配平的化學(xué)方程式很少。學(xué)習(xí)了線性方程組的解法后，就能用這種方法去配平較為復(fù)雜的化學(xué)方程式。例如，考慮化學(xué)方程式C3H8＋O2→CO2＋H2O的配平問題，設(shè)x1C3H8＋x2O2＝x3CO2＋x4H2O，得線性方程組

求解得其中一組解為x1＝1，x2＝5，x3＝3，x4＝4，從而得配平方程式為：C3H8＋5O2＝3CO2＋4H2O。

三是采取互動式教學(xué)方式，促使學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。目前，為保證教學(xué)進度，一些高校線性代數(shù)課程的教學(xué)均采取滿堂灌的教學(xué)方式，缺少與學(xué)生之間必要的互動。線性代數(shù)課程的內(nèi)容的抽象性使得學(xué)生很難在短時間內(nèi)消化所學(xué)內(nèi)容，再加上學(xué)生的注意力很難一直集中在教學(xué)內(nèi)容上，這導(dǎo)致前面所學(xué)內(nèi)容還沒消化又要學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，造成學(xué)生“坐暈車”的局面，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。為改變這一局面，可在每節(jié)課的中間出一道小的思考題讓學(xué)生用幾分鐘的時間獨立解決，這樣可以為學(xué)生留有獨立思考的余地及消化前面所學(xué)內(nèi)容的時間，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

四是在教學(xué)過程中穿插一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史。例如在講述范德蒙行列式的時候，可以介紹一下法國數(shù)學(xué)家范德蒙對代數(shù)學(xué)特別是對行列式理論的貢獻以及其后的一些數(shù)學(xué)家在行列式理論方面所做的工作等。這一舉措可以讓學(xué)生了解相關(guān)知識的來龍去脈，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，而且還能增加教學(xué)的生動性，趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將部分學(xué)生分散的注意力重新吸引到教學(xué)內(nèi)容上來。

二、如何讓學(xué)生對課程形成整體認識

目前，多數(shù)理工科高校的線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容基本相同，主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、n－維向量空間、線性方程組、特征值及特征向量、二次型等六大塊。對學(xué)生而言，由于以前沒有接觸過這門課程，因此分散的塊狀結(jié)構(gòu)使得學(xué)生普遍感到線性代數(shù)知識點較多，內(nèi)容不連貫。這就要求教師在教學(xué)過程中突出教學(xué)的重點、難點，理清課程的的主線，使學(xué)生對課程有一個整體的把握。

線性代數(shù)看起來內(nèi)容較為松散，實際上是“形散而神不散”，如果仔細分析課程各部分內(nèi)容，線性方程組理論貫穿了課程的始終。如行列式、矩陣等概念的產(chǎn)生的背景都與線性方程組的解有關(guān)，反過來這些概念又為解線性方程組服務(wù)。此外，線性代數(shù)中很多問題都可以轉(zhuǎn)化為對線性方程組的研究，如向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組有無非零解有關(guān)：齊次線性方程組的向量表示形式為x1α1＋x2α2＋…＋xnαn＝0為方程組的系數(shù)矩陣的列向量，這樣，向量組α1，α2，…，αn是否線性相關(guān)歸結(jié)為是否存在一組不全為0的數(shù)k1，k2…，kn，使得k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，即齊次線性方程組有無非零解。再如，數(shù)λ是否是方陣A的特征值歸結(jié)為齊次線性方程組（λI－A）x＝0有無非零解。由此看出，線性方程組理論在線性代數(shù)中起著舉足輕重的作用，它把行列式、矩陣、向量等知識點緊密聯(lián)系起來，是課程的主線。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只要把握住這條主線，學(xué)習(xí)起來就不會感到毫無頭緒了。因此教師在線性代數(shù)的教學(xué)過程中應(yīng)牢牢把握線性方程組理論這條主線，將線性方程組理論貫穿于整個線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中去，從而使學(xué)生對課程有一個整體的認識與把握。

三、如何解決學(xué)時數(shù)偏少的問題

目前，多數(shù)高校線性代數(shù)課程的總學(xué)時為32學(xué)時，而要講授的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量等，相對教學(xué)內(nèi)容來說，學(xué)時數(shù)偏少。解決這一矛盾的直接方法是壓縮教學(xué)內(nèi)容或增加學(xué)時，但為了確保教學(xué)質(zhì)量，多數(shù)高校均要求在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求上都不能降低，而且根據(jù)教學(xué)大綱的要求，增加學(xué)時也不現(xiàn)實，因此，解決這一矛盾只有用間接的方法。

一是積極引導(dǎo)學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)。教師可以在當次課程結(jié)束時告訴學(xué)生下次課程要學(xué)習(xí)的大致內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)習(xí)的時候把一些簡單的內(nèi)容先消化掉，對難以理解的內(nèi)容在課堂上著重去聽。這樣，可以使學(xué)生帶著問題聽課，使聽課更具有目的性，從而提高課堂效率。這一做法還可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高自學(xué)能力，為將來獨立研究問題打下基礎(chǔ)。

二是合理使用多媒體教學(xué)手段。目前，人們對多媒體教學(xué)有“優(yōu)點論”及“缺點論”兩種不同的觀點。前一觀點認為多媒體教學(xué)可以增加教學(xué)容量，節(jié)省教師講課的時間，提高教學(xué)效率；可以彌補教師自身不足，完善課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)；可以將抽象的問題直觀化，提高學(xué)生的思維能力。后一觀點則認為多媒體教學(xué)節(jié)奏太快，學(xué)生無法跟上教學(xué)進度；無法體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用及學(xué)生的主體地位等。上述兩種說法各有道理。

對線性代數(shù)課程來說，在板書與行列式、矩陣、線性方程組等有關(guān)的內(nèi)容時要占用大量時間，因此在學(xué)時數(shù)較少的情況下，單純依靠傳統(tǒng)板書教學(xué)方式很難按時完成教學(xué)任務(wù)。要解決這一矛盾，必須使多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)方式實現(xiàn)有機結(jié)合，比如在矩陣、線性方程組等章節(jié)采用多媒體教學(xué)，而對邏輯性強、推理嚴格的內(nèi)容則由板書來完成。這樣才能做到既節(jié)約了時間，又保證了教學(xué)質(zhì)量。

以上是筆者在線性代數(shù)教學(xué)中的一些體會與思考。當然，在線性代數(shù)的教學(xué)中還存在其它的一些問題，比如，如何針對不同的專業(yè)搞好線性代數(shù)的教學(xué)，這些問題有待于在以后的教學(xué)實踐中加以解決。

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