邵長(zhǎng)金,崔為濤,趙 哲,戴樂根

(中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院,北京 102249)

非飽和多孔介質(zhì)層中Love波頻散特性

邵長(zhǎng)金,崔為濤,趙 哲,戴樂根

(中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院,北京 102249)

為建立更準(zhǔn)確的地層反演模型,基于非飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系,用連通率處理上面兩層間的邊界條件,理論推導(dǎo)出三層非飽和多孔介質(zhì)中Love波的頻散方程,計(jì)算分析多階模態(tài)Love波頻散曲線。結(jié)果表明,Love波第1階模態(tài)沒有截止頻率,對(duì)2階以上模態(tài),階數(shù)越高截止頻率越大。各階模態(tài)的Love波最大速度趨近半空間層的橫波速度,而最小速度趨近第1層橫波速度。Love波速曲線以第2層橫波速度為界分為上下兩簇,各模態(tài)均在第2層橫波波速處銜接。模態(tài)不同,銜接處曲線的光滑程度不同,模態(tài)越高,光滑程度越好。對(duì)各參數(shù)的敏感性分析表明,孔隙度、飽和度、連通率、黏滯系數(shù)和滲透率的變化對(duì)Love波相速度影響敏感性依次減小。

Love波;非飽和多孔介質(zhì);頻散特性;連通率;敏感性分析

針對(duì)不同介質(zhì)中Love波的頻散現(xiàn)象,許多學(xué)者開展了研究工作。Ewing等[1]用理想彈性介質(zhì)模型解釋Love波傳播頻散機(jī)制,后來馬興瑞等[2-4]討論了彈性半空間上覆彈性介質(zhì)層中的Love波。Deresiewicz[5-6]首先將上覆介質(zhì)變更為多孔介質(zhì),并將Biot[7-8]波動(dòng)模型引入到液體飽和多孔介質(zhì)中Love波的理論研究,建立了彈性介質(zhì)半空間上覆液體飽和多孔介質(zhì)層中Love波的頻散方程,但沒有進(jìn)一步求解給出頻散和衰減曲線。夏唐代[9]、汪越勝[10-11]等分別用有限元方法和迭代法計(jì)算給出了多模態(tài)頻散曲線,認(rèn)為頻散取決于頻率和厚度的乘積,速度最大值和最小值分別在截止頻率和無窮大頻率處?？铝橇羀12]、周鳳璽[13]等考慮了介質(zhì)參數(shù)的非均勻性,用迭代法和回傳射線矩陣法推導(dǎo)出非均勻飽和土層中Love波的頻散方程;而對(duì)非飽和的多孔介質(zhì)層,陳煒昀等[14]研究了彈性半空間上覆非飽和多孔介質(zhì)層中Love波的頻散、位移、衰減等性質(zhì),得出Love波存在多模態(tài)頻散,且與飽和度有關(guān),第1階模態(tài)沒有截止頻率,高階模態(tài)飽和度越高截止頻率越低。此外,Shishir等[15-16]分析了邊界條件、初始應(yīng)力等對(duì)Love波頻散特性的影響。從研究對(duì)象看,對(duì)多層非飽和多孔介質(zhì)層中Love波的研究較少,同時(shí),非飽和多孔介質(zhì)中各參數(shù)對(duì)Love波的傳播有何影響,目前的研究工作還不夠深入。在路基維護(hù)等實(shí)際工程中,人們希望通過Rayleigh波或Love波獲得路面下方多至3～4層的詳細(xì)分層信息,此時(shí)的實(shí)際情況更接近于非飽和半空間上覆多層非飽和多孔介質(zhì)層,為準(zhǔn)確反演上覆非飽和多孔介質(zhì)層數(shù)和層厚,充分了解多層多孔介質(zhì)中Love波頻散規(guī)律以及各參數(shù)對(duì)頻散的影響是必要的。筆者推導(dǎo)非飽和半空間上覆兩層非飽和多孔介質(zhì)層中Love波頻散方程,引入連通率的概念處理非飽和多孔介質(zhì)層之間界面問題,用數(shù)值方法求得Love波頻散曲線。

1 非飽和多孔介質(zhì)層中Love波的頻散方程

1.1 模型的建立

非飽和多孔介質(zhì)層由介質(zhì)半空間和兩個(gè)上覆層組成,上覆層分別標(biāo)記為第1層和第2層,第1層厚度為h1,第2層厚度為h2,用第3層標(biāo)記無限半空間,這三層都是非飽和多孔介質(zhì)。建立的笛卡爾坐標(biāo)系如圖1所示。假定波傳播方向沿著x正方向,Love波振動(dòng)方向沿著y方向,其中x－y平面在第1層與空氣水平分界面上,z軸垂直向下指向半無限空間。

1.2 控制方程

非飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系[17-18]為

式中,Nss、Nsl、Nsl、Nll、Nlg、Ngg為獨(dú)立參量;μs為固體骨架的剪切模量;ns、nl、ng分別為多孔介質(zhì)中固體骨架、液體、氣體的體積分?jǐn)?shù);ρs、ρl、ρg分別為相應(yīng)三相的密度;ξl、ξg分別為液體和固體、氣體和固體的耦合作用系數(shù)。其中,耦合作用系數(shù)可由如下公式[19-20]計(jì)算:

式中,ηl和ηg分別為液體、氣體黏度;κ為該多孔介質(zhì)的絕對(duì)滲透率;分別為液體和氣體的相對(duì)滲透率。相對(duì)滲透率與飽和度Sr的關(guān)系可用目前應(yīng)用較廣的VG模型描述[21]:

式中,m為VG模型[21]參數(shù)。

Love波只有y上的位移分量,可令固體、液體、氣體的位移為簡(jiǎn)諧形式:

由于是切變波,體應(yīng)變應(yīng)為零,利用這一條件,將位移表達(dá)式(8)代入本構(gòu)關(guān)系,可得

slg固、液、氣三相之間的耦合作用。液體、氣體的位移與固體骨架位移之間有如下關(guān)系式:從式(13)～(15)可以看出和這些參數(shù)只影響固體、液體、氣體的密度和體積分?jǐn)?shù)即平均密度,對(duì)固體剪切模量μs沒有影響。

1.3 邊界條件

由于非飽和多孔介質(zhì)層之間流體可能產(chǎn)生交換,使得邊界條件較為復(fù)雜,實(shí)際地層中層與層之間并不是完全獨(dú)立的,多孔介質(zhì)中的流體之間存在互相滲透和流動(dòng),需要引入?yún)?shù)來表征上層流體的交換。不失一般性,假定第1層和第2層邊界上孔隙間可以交換流體,第3層為半無限空間,與上層之間流體交換滲透對(duì)其影響可以忽略,每層介質(zhì)中孔隙是均勻完全開孔的,可在每層中任意流動(dòng),并且流動(dòng)不改變固體骨架的形態(tài)和位置。

為描述層間的流體交換,引入一個(gè)新的參數(shù)連通率Δ(0≤Δ≤1),它表征了單位法向矢量為i?的表征面元上的孔隙之間的連通性,與孔隙介質(zhì)的結(jié)構(gòu)以及孔隙中流體的性質(zhì)有關(guān)。如圖2所示。

圖2 連通示意圖Fig.2 Sketch map of connectivity

假設(shè)界面兩側(cè)介質(zhì)的孔隙開口面積分別為S1和S2,兩側(cè)開口孔隙的重疊面積為SΔ,則SΔ=其中0≤Δ≤1。例如,Δ=0表征上層的孔隙開口面積和下層孔隙開口面積沒有重疊面積,開口完全錯(cuò)開,這時(shí)兩層之間不存在連通;Δ=1表征上層的孔隙開口面積和下層孔隙開口面積有最大重疊面積。

假定第1層和第2層的流體可以自由流動(dòng),則作用后的各層中體積分?jǐn)?shù)為

考慮流體交換后,各層中的波數(shù)表達(dá)式變?yōu)?/p>

考慮Love波在第1層上表面、第1層與第2層分界面、第2層與第3層交界面上的連續(xù)性,即位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù),有

Biot介質(zhì)中的應(yīng)力關(guān)系[7-8]:

要使方程組有非零解,系數(shù)行列式必為零,即

上式即為非飽和多孔介質(zhì)層中Love波的頻散方程。

2 數(shù)值計(jì)算和分析

為說明Love波的頻散與各個(gè)物理參數(shù)之間的關(guān)系,參考路面和地基情況,計(jì)算選取的各層物理參數(shù)見表1。用MATLAB編程對(duì)三層非飽和多孔介質(zhì)中Love波的頻散特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

表1 非飽和多孔介質(zhì)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of unsaturated porous media

2.1 Love波多階模態(tài)頻散特性

圖3給出了Love波多階模態(tài)(n=1,2,,9)相速度(VL)曲線以及橫波波速(Vsh)曲線。圖中,三條橫線從上到下依次為第3、2和1層的橫波速度(Vsh3,Vsh2和Vsh1),以第2層橫波速度為界分為上下簇,上一簇曲線為第3和第2層介質(zhì)間的Love波,從左到右依次為1～9階模態(tài)。下一簇曲線為第2和第1介質(zhì)層間的Love波,從左到右依次為1～3階模態(tài)。從圖4可以看出第1階模態(tài)下Love波沒有截止頻率(fc),從第2階模態(tài)開始的高階模態(tài)都存在fc,且fc隨著階數(shù)的增高而增大。

圖3 多階模態(tài)Love波頻散曲線Fig.3 Multi-modal dispersion curves of Love waves

從上一簇曲線可以看出,第3和第2層介質(zhì)間的Love波各階模態(tài)波速VL在頻率較低時(shí)趨近第3層橫波速度Vsh3,頻率較高時(shí)趨近第2層橫波波速Vsh2,且變化趨勢(shì)變緩。這是由于Love波是由第3和第2層介質(zhì)中的橫波疊加產(chǎn)生的。頻率較低時(shí),波長(zhǎng)較大,Love波能量主要集中在第3層介質(zhì)中,第3層的橫波波速高且起主導(dǎo)作用,使得Love波速度較大。同理,頻率較高時(shí)橫波波速較低的第2層起主導(dǎo)作用,Love波能量主要集中在第2層介質(zhì)中,使得Love波速度較小。

從下一簇曲線可以看出,第2和第1層介質(zhì)間的Love波各階模態(tài)波速的變化趨勢(shì)與上一簇變化相近,Love波各階模態(tài)波速VL在頻率較低時(shí)趨近Vsh2,頻率較高時(shí)趨近Vsh1,且變化趨勢(shì)變緩。

從圖3整體可以看出,第2和第1層介質(zhì)間的Love波最高波速VLmax與第3和第2層介質(zhì)間的Love波最低波速VLmin相等,這是由于三層介質(zhì)之間是緊密耦合的。上下兩簇曲線各模態(tài)均在第2層橫波波速頻率處銜接,滿足這一條件的頻率記為fVL=Vsh2。模態(tài)不同,銜接處曲線的光滑程度不同,第1階模態(tài)最不光滑,隨著模態(tài)的遞增,光滑程度越來越好。這種情況的產(chǎn)生,可能是中間層的影響。

2.2 Love波頻散曲線敏感性

Love波相速度與多孔介質(zhì)中孔隙度、飽和度、連通率、液體黏滯系數(shù)、滲透率等參數(shù)直接相關(guān)。為了進(jìn)一步研究多孔介質(zhì)中各參數(shù)變化對(duì)頻散曲線的影響,需要首先分析不同頻率時(shí)Love波頻散曲線對(duì)各參數(shù)的敏感程度。Feng等[22]將相速度敏感性定義為參變量擾動(dòng)后與擾動(dòng)前相速度的變化量與擾動(dòng)前相速度之比,可以表示為式中,Si為相速度的敏感性,代表第i個(gè)頻率點(diǎn)第j個(gè)地層參數(shù)的敏感性;V為相速度;fi為給定的頻率點(diǎn);xj為地層模型中孔隙度等變化參數(shù)。

對(duì)表1中孔隙度、飽和度、連通率、液體黏滯系數(shù)、滲透率等參數(shù)取10%增量來計(jì)算Love波第1模態(tài)到第3模態(tài)頻散曲線對(duì)各參數(shù)敏感程度,結(jié)果見圖4。

圖4 不同參數(shù)下Love波敏感性曲線Fig.4 Sensitivity analysis of Love waves to different parameters

由圖4可以看出:①孔隙度的變化對(duì)Love波相速度影響最大,飽和度、連通率、黏滯系數(shù)的敏感性依次減小,滲透率的敏感性非常小(以下討論忽略滲透率)。②所有參數(shù)敏感性隨頻率、模態(tài)的不同有所變化,在某個(gè)頻率達(dá)到峰值(圖4(a))或谷值(圖4(b)～(d)),在頻率滿足f=fVsh2=VL時(shí),敏感度產(chǎn)生突變,峰值/谷值和突變點(diǎn)隨模態(tài)增高均向高頻移動(dòng)?？紫抖鹊淖兓瘜?duì)Love波的相速度影響為正相關(guān),存在峰值,峰值隨模態(tài)增大依次變大;飽和度、黏滯系數(shù)的影響為負(fù)相關(guān),存在谷值,谷值隨模態(tài)增大均依次變小;連通率的影響在f＜fVsh2=VL前為負(fù)相關(guān),在f＞fVsh2=VL后為正相關(guān),存在谷值,谷值隨模態(tài)增大依次變小;滲透率的影響時(shí)正時(shí)負(fù),且影響非常小。③各模態(tài)Love波相速度對(duì)每一參數(shù)敏感性曲線沒有重合現(xiàn)象,但變化趨勢(shì)相似,峰值/谷值和突變點(diǎn)出現(xiàn)在不同的頻率段,且在較高頻率后幾乎完全分離,可以分頻率段提取,這意味著Love波反演時(shí)容易識(shí)別各模態(tài)。④比較圖3和圖4可以看出,各種參數(shù)對(duì)Love波相速度影響敏感性不同,敏感性曲線的變化趨勢(shì)均不同,意味著各參數(shù)間具有較好的獨(dú)立性,因此若用多種參數(shù)進(jìn)行Love波反演,可提高反演的準(zhǔn)確性。

從圖3可以看出,Love波頻散曲線第1階模態(tài)沒有截止頻率,高階模態(tài)(n≥2)有截止頻率且變化形態(tài)相似,有較好的規(guī)律性,便于觀察和分析。從圖4可以看出孔隙度、飽和度、連通率對(duì)頻散曲線影響較大。

圖5 不同孔隙度第2階模態(tài)Love波頻散曲線Fig.5 The second order modal dispersion curves of Love waves under different porosity

2.3 孔隙度對(duì)Love波頻散特性影響

只改變表1中孔隙度進(jìn)行計(jì)算,圖5給出了不同孔隙度(φ=0.1,0.3,0.5,0.7)時(shí)第2階模態(tài)Love波相速度頻散曲線。圖中,從下到上孔隙度依次為0.1至0.7。Love波第2階模態(tài)的VLmax、VLmin、fc和fVL=Vsh2均隨著孔隙度的增大依次增大。由式(13)可以得出,隨著介質(zhì)孔隙度的增大,每層的平均密度均減小,即橫波波數(shù)減小,橫波速度均增大,三層介質(zhì)中橫波疊加產(chǎn)生的Love波VLmax、VLmin、VfVL=Vsh2均增大。此外,結(jié)合圖4(a)、圖5中Love波第2階模態(tài)孔隙度敏感性曲線,可看出孔隙度對(duì)Love波頻散影響較大,為正相關(guān),相鄰曲線之間區(qū)分明顯,對(duì)Love波相速度頻散曲線影響明顯。

2.4 飽和度對(duì)Love波頻散特性影響

改變表1的飽和度,其他參數(shù)保持不變,計(jì)算不同飽和度(Sw=0.1,0.3,0.5,0.7)時(shí)第2階模態(tài)Love波相速度頻散曲線,如圖6。圖中,從左到右飽和度依次為0.7至0.1。Love波第2階模態(tài)的VLmax、VLmin、fc和fVL=Vsh2均隨著飽和度的增大依次減小,這是由于隨著介質(zhì)飽和度的增大,由公式(13)可以得出,每層的平均密度均增大,即橫波波數(shù)增大,層中橫波速度均減小,三層介質(zhì)中橫波疊加產(chǎn)生的Love波VLmax、VLmin、VfVL=Vsh2也隨之減小。此外,結(jié)合圖4(b)、圖6中第2階模態(tài)敏感性曲線可看出飽和度對(duì)Love波頻散影響比孔隙度影響小,為負(fù)相關(guān),相鄰曲線之間區(qū)分較明顯,對(duì)Love波相速度頻散曲線影響較明顯。

圖6 不同飽和度第2階模態(tài)Love波頻散曲線Fig.6 The second order modal dispersion curves of Love waves under different saturations

2.5連通率對(duì)Love波頻散特性影響

只改變表1中連通率進(jìn)行計(jì)算。不同連通率(Δ=0.2,0.6,1.0)時(shí)第2階模態(tài)Love波相速度頻散曲線見圖7。可以看出,不同Δ時(shí)第2階模態(tài)VLmax相等。由式(16)～(18)可見,由于Δ只改變上兩層介質(zhì)中的橫波速度,未改變半空間的橫波速度,因此VLmax趨近于Vsh3。Love波的第2階模態(tài)VLmin隨Δ增大而增大,這是由于當(dāng)Δ增大時(shí),Vsh1增大,Vsh2降低,VLmin趨近于Vsh1。在上下兩簇銜接處即f= fVL=Vsh2處,頻散曲線隨Δ變化的趨勢(shì)發(fā)生了轉(zhuǎn)折,上一簇曲線中Δ越大VL越小,下一簇曲線中的VL越大。此外,結(jié)合圖4(c)、圖7中第2階模態(tài)敏感性曲線可看出,雖然Δ對(duì)Love波頻散影響較小,但在f＜fVL=Vsh2時(shí)為負(fù)相關(guān),在f＞fVL=Vsh2時(shí)為正相關(guān),敏感性在f=fVL=Vsh2處存在正負(fù)突變,因此連通率對(duì)Love波相速度頻散的影響不能忽視。

圖7 不同連通率第2階模態(tài)Love波頻散曲線Fig.7 The second order modal dispersion curves of Love waves under different connection rate

3 結(jié) 論

(1)三層非飽和多孔介質(zhì)中Love波多模態(tài)頻散特性明顯,第1階模態(tài)沒有截止頻率,高階模態(tài)(n≥2)有截止頻率,隨著模態(tài)增高,截止頻率變大, Love波各階模態(tài)最大速度趨近半空間中的橫波速度,最小速度趨近第1層中的橫波速度。

(2)三層非飽和多孔介質(zhì)中Love波的傳播分為兩部分,波速以第2層橫波速度為界,頻率較低時(shí),Love波在第3和第2層介質(zhì)間傳播,頻率較高時(shí),Love波在第2和第1層介質(zhì)間傳播。Love波速以第2層橫波速度為界分為上下兩簇曲線,各模態(tài)均在第2層橫波波速處銜接,模態(tài)不同,銜接處曲線的光滑程度不同,第1階模態(tài)最不光滑,隨著模態(tài)的遞增,光滑程度越來越好。

(3)孔隙度、飽和度、連通率、黏滯系數(shù)和滲透率的變化對(duì)Love波相速度影響敏感性依次減小,孔隙度的影響為正相關(guān),飽和度、黏滯系數(shù)的影響為負(fù)相關(guān),連通率影響的相關(guān)性會(huì)在某頻率下正負(fù)突變。

(4)孔隙度、飽和度和連通率等參數(shù)對(duì)Love波相速度影響具有較強(qiáng)獨(dú)立性,若采用多參數(shù)、多模態(tài)同時(shí)用于Love波反演,可以提高反演的準(zhǔn)確性。

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(編輯 修榮榮)

Dispersion characteristics of Love wave in unsaturated layered porous media

SHAO Changjin,CUI Weitao,ZHAO Zhe,DAI Legen
(College of Science in China University of Petroleum,Beijing 102249,China)

Using connectivity factor to handle the boundary condition between the two upper layers,the Love wave dispersion equation for three layers in an unsaturated porous media was derived based on the constitutive relations,and then the multimode Love wave dispersion curves were calculated numerically.The results indicate that,for the second or higher order Love wave modes,the higher the mode order,the larger the cut off frequency,in contrary to the fundamental mode Love wave which doesn't have cutoff frequency.The maximum velocity of Love waves for all the modes asymptotically reaches the shear wave velocity of the half-space,while the minimum velocity reaches the shear wave velocity in the top layer.The Love wave velocity curves for all the modes are separated by,but are also linked to the shear wave velocity in the second layer.The smoothness of the velocity curves is controlled by the mode number:the higher the mode,the better the smoothness.Analyses show that the sensitivity of Love wave phase velocity to different parameters decreases with the order of the following parameters:porosity,saturation,connectivity factor,viscous coefficient and permeability.

Love wave;unsaturated porous media;dispersion characteristics;connectivity factor;sensitivity analysis

O 429

A

1673-5005(2014)05-0059-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2014.05.008

2014－02－20

中國(guó)石油大學(xué)(北京)基本科研基金(KYJJ2012－06－26)

邵長(zhǎng)金(1964－),男,教授,博士,研究方向?yàn)閼?yīng)用聲學(xué)。E－mail:sh00668@163.com。

邵長(zhǎng)金,崔為濤,趙哲,等.非飽和多孔介質(zhì)層中Love波頻散特性[J].中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2014,38(5):59-65.

SHAO Changjin,CUI Weitao,ZHAO Zhe,et al.Dispersion characteristics of Love wave in unsaturated layered porous media[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2014,38(5):59-65.