許月珠

在日常的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)有很多的教輔都抄錄了2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)?2這道題，這是一道以三次函數(shù)為背景，集二次函數(shù)根的分布、線性規(guī)劃可行域、導(dǎo)數(shù)、不等式于一體的綜合性試題，直至今日依然是一道評(píng)價(jià)很高的試題.而我在欣賞之余卻心存許多疑問，現(xiàn)將試題與解答呈現(xiàn)如下.

設(shè)函數(shù)f（x）=x■+3bx■+3cx在兩個(gè)極值點(diǎn)x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].

（Ⅰ）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域；

（Ⅱ）證明：-10≤f（x■）≤-■.

解：（Ⅰ）f′（x）=3x■+6bx+3c

依題意知，方程f′（x）=0有兩個(gè)根x■、x■，且x■∈[-1，0]，x■∈[1，2].等價(jià)于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0.

由此得b、c滿足的約束條件為c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4

滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.

（Ⅱ）這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度.主要原因是含字母較多，不易找到突破口.此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■中的b，（如果消c則會(huì)較繁瑣），再利用x■的范圍，并借助（Ⅰ）中的約束條件得c∈[-2，0]，進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性.

解：由題設(shè)知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，故bx■=-■x■■-■c

于是f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■

∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c

又由（Ⅰ）知c∈[-2，0]，

所以-10≤f（x■）≤-■.

疑點(diǎn)之一：“∵x■∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，∴-4+3c≤f（x■）≤-■+■c”，其推理依據(jù)是什么？

思索之后得到結(jié)論：答案中省略了對函數(shù)f（x■）=x■■+3bx■■+3cx■=-■x■■+■x■單調(diào)性的判定.驗(yàn)證如下：

令g（x）=-■x■+■x，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■，因?yàn)閏∈[-2，0]，所以g（x）≤0，即函數(shù)g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減.故g（2）≤g（x）≤g（1），也即-4+3c≤f（x■）≤-■+■c，又因?yàn)閏∈[-2，0]，所以-10≤-4+3c≤-4，-■≤-■+■c≤-■，故-10≤f（x■）≤-■得證.

疑點(diǎn)之二：消c真的很繁瑣嗎？結(jié)論是“不覺得”.其解法如下：

由題設(shè)知f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0，得3c=-3x■■-6bx■，于是f（x■）=x■■+3bx■■+（-3x■■-6bx■）x■=-2x■■-3bx■■.

令g（x）=-2x■-3bx■，x∈[1，2]，g′（x）=-6x■-6bx≤0，故g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減.

故g（2）≤g（x）≤g（1），即g（2）≤g（x）≤g（1），也即-16-12b≤f（x■）≤-2-3b.

又因?yàn)閎∈[-1，0]，所以-16≤-16-12b≤-4，-2≤-2-3b≤1，

可得-10≤f（x■）≤1，但無法證得-10≤f（x■）≤-■這個(gè)結(jié)論.

疑點(diǎn)之三：為什么消c得不到答案？

以上推理過程完全類同于參考答案，我想若消c得不到正確的答案，那消得到的答案就會(huì)有許多的疑點(diǎn).縱觀整個(gè)解題過程，f（x■）的取值范圍的求得經(jīng)過了兩次放縮.第一次放縮是不等式組c≥2b-1c≤0c≤-2b-1c≥-4b-4，求得b，c的取值范圍；第二次放縮是由b，c的取值范圍求f（x■）的取值范圍.在解題中二次放縮極易將范圍放縮得過大或過小，其一般只在不等式證明過程中應(yīng)用，極少用于求代數(shù)式的取值范圍的.那如何避開二次放縮而又能求得f（x■）的取值范圍呢？我認(rèn)為可用x■，x■表示b，c，以x■，x■的取值范圍求f（x■）的取值范圍，這一過程只有放縮一次.解法如下：

f′（x■）=3x■■+6bx■+3c=0……① f′（x■）=3x■■+6bx■■+3c=0……②

①-②得3（x■+x■）（x■-x■）+6b（x■-x■）=0，b=-■……③

將③代入①得c=x■x■，

故f（x■）=x■■+3（-■）x■■+3x■x■■=-■x■■+■x■x■■

令g（x）=-■x■+■x■x■，x∈[1，2]，g′（x）=-■x■+■x■x，

又因?yàn)閤■∈[-1，0]，所以g′（x）≤0，故g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減.有g(shù)（2）≤g（x）≤g（1）

g（2）=-4+6x■，g（1）=-■+■x■，所以-10≤g（2）≤-4，-■≤g（1）≤-■，

也即-10≤f（x■）≤-■成立.

近代著名學(xué)者王國維先生曾將治學(xué)的三重境界“懸思—苦索—頓悟”巧妙地運(yùn)用了三句詩句比喻：“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路”，此第一境也；“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此第二境也；“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，此第三境也.我抄錄在此，與同為使學(xué)生脫離題海而把自己置身于題海的各位同仁共勉.

參考文獻(xiàn)：

[1]2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試試卷.