摘要：通過等價無窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質(zhì)是將無窮小的基本初等函數(shù)替換為無窮小的冪函數(shù)，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無窮??；等價；初等無窮??；冪函數(shù)

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價替換初等無窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價無窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運算推廣到和差運算。

一、初等無窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時的基本初等無窮小。

性質(zhì)1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)2 基本初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價的傳遞性和羅比達(dá)法則等運算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無窮小都能找到與之等價的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價無窮小替換定理的推廣

等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價無窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時用冪函數(shù)替換各種初等無窮小。

等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結(jié)論。運用該定理時，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運算。比較冪指數(shù)m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂端良，王云麗.關(guān)于等價無窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吳漢華.關(guān)于無窮小的等價替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，（6）.

[3]陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亞麗.關(guān)于無窮小（大）學(xué)習(xí)中的幾點注記[J].運城學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[5]韋玉程.無窮小的再認(rèn)識[J].河池學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[6]王強(qiáng).無窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[7]劉明鼎.等價無窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報，2013，（2）.

[8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

項目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國內(nèi)訪問學(xué)者項目經(jīng)費資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊——BZXYJXTD201302。

作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

摘要：通過等價無窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質(zhì)是將無窮小的基本初等函數(shù)替換為無窮小的冪函數(shù)，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無窮??；等價；初等無窮小；冪函數(shù)

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價替換初等無窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價無窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運算推廣到和差運算。

一、初等無窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時的基本初等無窮小。

性質(zhì)1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)2 基本初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價的傳遞性和羅比達(dá)法則等運算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無窮小都能找到與之等價的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價無窮小替換定理的推廣

等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價無窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時用冪函數(shù)替換各種初等無窮小。

等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結(jié)論。運用該定理時，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運算。比較冪指數(shù)m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂端良，王云麗.關(guān)于等價無窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吳漢華.關(guān)于無窮小的等價替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，（6）.

[3]陳新明.用等價無窮小代換求極限中的一些問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亞麗.關(guān)于無窮小（大）學(xué)習(xí)中的幾點注記[J].運城學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[5]韋玉程.無窮小的再認(rèn)識[J].河池學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[6]王強(qiáng).無窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報，2013，（2）.

[7]劉明鼎.等價無窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報，2013，（2）.

[8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

項目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國內(nèi)訪問學(xué)者項目經(jīng)費資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊——BZXYJXTD201302。

作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

摘要：通過等價無窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價無窮小替換定理的本質(zhì)是將無窮小的基本初等函數(shù)替換為無窮小的冪函數(shù)，將等價無窮小替換定理由乘積推廣到了和差運算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無窮??；等價；初等無窮??；冪函數(shù)

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無窮小的定義、無窮小的階以及等價無窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價無窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說明了等價無窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價替換初等無窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價無窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運算推廣到和差運算。

一、初等無窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時的基本初等無窮小。

性質(zhì)1 x→0時的基本無窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)2 基本初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時的基本初等無窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時的初等無窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無窮小復(fù)合運算后所得的初等無窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時的基本初等無窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價的傳遞性和羅比達(dá)法則等運算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無窮小都能找到與之等價的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價無窮小替換定理的推廣

等價無窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價無窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時用冪函數(shù)替換各種初等無窮小。

等價無窮小替換定理是計算極限的一個重要而有力的工具。在極限運算中，等價無窮小替換定理能降低題目難度，減少運算步驟，使得求極限問題變得生動有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運算中，并非所有的極限都不能使用等價無窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運算中能夠使用等價無窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時α，β，γ是無窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價無窮小替換和差因子的使用條件，同時給出了結(jié)論。運用該定理時，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運算。比較冪指數(shù)m，n，t時，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運用定理均簡化了計算，但運用定理時一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因為sin2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

參考文獻(xiàn)：

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項目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國內(nèi)訪問學(xué)者項目經(jīng)費資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊——BZXYJXTD201302。

作者簡介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。