任何++錢軍先
y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型,它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用,掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關知識,不僅可以深化對三角函數(shù)的認識和理解,而且可以為將來的繼續(xù)學習或從事科學研究與生產(chǎn)實踐奠定基礎.那么,怎樣才能學好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢?我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手,在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解.
一、 掌握作圖
作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法,一是“五點法”,二是“變換法”.
“五點法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法.用“五點法”作圖時,一定周期、二定起點、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點.
“變換法”在實際作圖時并不太方便,但它能幫助我們認清函
數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系,應用很廣泛.常用的變換規(guī)律是:
y=sinx
沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位(相位變換)y=sin(x+φ)
縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(周期變換)
y=sin(ωx+φ)
橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍(振幅變換)
y=Asin(ωx+φ)
例1試用五點法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象,并說出這個函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象(如圖1所示).
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx,即y=sin(x+π2).將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位,得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象;將所得圖象上的各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象;再將所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標不變),得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象.
二、 學會識圖
這里的識圖是指由給出的圖象,能寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,從而進一步地,能夠認識和研究這個函數(shù)的有關性質.
由所給圖象寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,關鍵是確定A、ω和φ的值.方法較為靈活.A通常由最大值和最小值確定,ω由周期確定:ω=2πT,而φ=-ωx0(這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標).另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入,借助待定系數(shù)法求解.
例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示,試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區(qū)間.
解析由圖象知A=2,T=2[6-(-2)]=16,故ω=2πT=
2π16=π8.
又圖象起點的橫坐標x0=-2,
所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4.所以f(x)=2sin(π8x+π4).
其初相φ=π4,周期T=16,振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2,得16k-6≤x≤16k+2,即增區(qū)間為[16k-6,16k+2](k∈Z);同理可得減區(qū)間為[16k+2,16k+10](k∈Z).
三、體驗用圖
“用圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn),學會運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關的數(shù)學問題和實際問題,可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高.
例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長時間的觀察,描出的曲線如圖3所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象.
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線,求出函數(shù)
y=Asinωt+B的表達式;
(2)一般情況下,船舶行時船底同海底
的距離不少于4.5m時是安全的.如果某船
的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,
那么該船在什么時間段能夠安全進港?若該
船欲當天安全離港,它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略離港所需的時間)?
解析應根據(jù)圖象上顯示出來的特點,我們可以通過求出A,ω,B的值,將實際問題抽象為數(shù)學問題來解決.
(1)由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10,周期T=12,
y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型,它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用,掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關知識,不僅可以深化對三角函數(shù)的認識和理解,而且可以為將來的繼續(xù)學習或從事科學研究與生產(chǎn)實踐奠定基礎.那么,怎樣才能學好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢?我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手,在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解.
一、 掌握作圖
作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法,一是“五點法”,二是“變換法”.
“五點法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法.用“五點法”作圖時,一定周期、二定起點、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點.
“變換法”在實際作圖時并不太方便,但它能幫助我們認清函
數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系,應用很廣泛.常用的變換規(guī)律是:
y=sinx
沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位(相位變換)y=sin(x+φ)
縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(周期變換)
y=sin(ωx+φ)
橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍(振幅變換)
y=Asin(ωx+φ)
例1試用五點法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象,并說出這個函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象(如圖1所示).
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx,即y=sin(x+π2).將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位,得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象;將所得圖象上的各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象;再將所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標不變),得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象.
二、 學會識圖
這里的識圖是指由給出的圖象,能寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,從而進一步地,能夠認識和研究這個函數(shù)的有關性質.
由所給圖象寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,關鍵是確定A、ω和φ的值.方法較為靈活.A通常由最大值和最小值確定,ω由周期確定:ω=2πT,而φ=-ωx0(這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標).另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入,借助待定系數(shù)法求解.
例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示,試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區(qū)間.
解析由圖象知A=2,T=2[6-(-2)]=16,故ω=2πT=
2π16=π8.
又圖象起點的橫坐標x0=-2,
所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4.所以f(x)=2sin(π8x+π4).
其初相φ=π4,周期T=16,振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2,得16k-6≤x≤16k+2,即增區(qū)間為[16k-6,16k+2](k∈Z);同理可得減區(qū)間為[16k+2,16k+10](k∈Z).
三、體驗用圖
“用圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn),學會運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關的數(shù)學問題和實際問題,可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高.
例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長時間的觀察,描出的曲線如圖3所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象.
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線,求出函數(shù)
y=Asinωt+B的表達式;
(2)一般情況下,船舶行時船底同海底
的距離不少于4.5m時是安全的.如果某船
的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,
那么該船在什么時間段能夠安全進港?若該
船欲當天安全離港,它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略離港所需的時間)?
解析應根據(jù)圖象上顯示出來的特點,我們可以通過求出A,ω,B的值,將實際問題抽象為數(shù)學問題來解決.
(1)由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10,周期T=12,
y=Asin(ωx+φ)是一種重要的三角函數(shù)模型,它在物理學、工程技術與實際生活中有著十分廣泛的應用,掌握好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關知識,不僅可以深化對三角函數(shù)的認識和理解,而且可以為將來的繼續(xù)學習或從事科學研究與生產(chǎn)實踐奠定基礎.那么,怎樣才能學好函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的內(nèi)容呢?我們可以從函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象入手,在掌握作圖、學會識圖和體驗用圖的過程中加深對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的本質特征的認識和理解.
一、 掌握作圖
作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種方法,一是“五點法”,二是“變換法”.
“五點法”是作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的實用方法.用“五點法”作圖時,一定周期、二定起點、三按周期規(guī)律均勻分布其余四點.
“變換法”在實際作圖時并不太方便,但它能幫助我們認清函
數(shù)y=Asin(ωx+φ)與正弦函數(shù)y=sinx之間的內(nèi)在聯(lián)系,應用很廣泛.常用的變換規(guī)律是:
y=sinx
沿x軸向左平移φ(φ>0)個單位或向右平移|φ|(φ<0)個單位(相位變換)y=sin(x+φ)
縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(周期變換)
y=sin(ωx+φ)
橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍(振幅變換)
y=Asin(ωx+φ)
例1試用五點法作出函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象,并說出這個函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
解析列表描點得出f(x)=2sin(2x-π3)的圖象(如圖1所示).
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx,即y=sin(x+π2).將y=sin(x+π2)圖象沿x軸向右平移56π個單位,得到y(tǒng)=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的圖象;將所得圖象上的各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象;再將所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩叮M坐標不變),得到y(tǒng)=2sin(2x-π3)的圖象.
二、 學會識圖
這里的識圖是指由給出的圖象,能寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,從而進一步地,能夠認識和研究這個函數(shù)的有關性質.
由所給圖象寫出與之對應的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,關鍵是確定A、ω和φ的值.方法較為靈活.A通常由最大值和最小值確定,ω由周期確定:ω=2πT,而φ=-ωx0(這里的x0是指用“五點法”作圖時的起點的橫坐標).另一種常用的方法則是將圖象上的點的坐標代入,借助待定系數(shù)法求解.
例2已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖2所示,試求出它的解析式、初相、周期、振幅和單調區(qū)間.
解析由圖象知A=2,T=2[6-(-2)]=16,故ω=2πT=
2π16=π8.
又圖象起點的橫坐標x0=-2,
所以φ=-ωx0=-π8·(-2)=π4.所以f(x)=2sin(π8x+π4).
其初相φ=π4,周期T=16,振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2,得16k-6≤x≤16k+2,即增區(qū)間為[16k-6,16k+2](k∈Z);同理可得減區(qū)間為[16k+2,16k+10](k∈Z).
三、體驗用圖
“用圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn),學會運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象解決與三角函數(shù)有關的數(shù)學問題和實際問題,可以使我們的思維品質和解題能力得到有效的鍛煉與提高.
例3某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù).下面是該港口的水深數(shù)據(jù)表.經(jīng)長時間的觀察,描出的曲線如圖3所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖象.
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線,求出函數(shù)
y=Asinωt+B的表達式;
(2)一般情況下,船舶行時船底同海底
的距離不少于4.5m時是安全的.如果某船
的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,
那么該船在什么時間段能夠安全進港?若該
船欲當天安全離港,它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略離港所需的時間)?
解析應根據(jù)圖象上顯示出來的特點,我們可以通過求出A,ω,B的值,將實際問題抽象為數(shù)學問題來解決.
(1)由數(shù)據(jù)表和曲線知A=3,B=10,周期T=12,