朱元元　趙久軍

每到中考結(jié)束，學(xué)生都會(huì)感覺到數(shù)學(xué)試題“難”，憑筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，“難”的原因可能有這么幾個(gè)：（1）時(shí)間不夠用。知識(shí)準(zhǔn)備不充分，答題不流暢，時(shí)間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學(xué)生在答題時(shí)，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調(diào)整不到位。中考試卷本來就有難題，學(xué)生應(yīng)該有心理準(zhǔn)備，但平時(shí)訓(xùn)練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質(zhì)量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細(xì)想下來，做試卷，時(shí)間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準(zhǔn)思維點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，也是能否節(jié)省時(shí)間的關(guān)鍵。其實(shí)，有時(shí)在解題時(shí)，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實(shí)際生活中，直覺是經(jīng)常用到的。布魯納認(rèn)為直覺就是一種直接的、非漸進(jìn)的、以視覺形象為思維媒介的、對(duì)問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內(nèi)隱的，表現(xiàn)上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的重要思維方式。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重大發(fā)現(xiàn)，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數(shù)學(xué)問題的解決有時(shí)需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標(biāo)對(duì)演繹推理降低“難度”的前提下，出現(xiàn)通過添兩條輔助線構(gòu)造常見圖形來求解的情況，對(duì)學(xué)生來講，要求有點(diǎn)高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關(guān)鍵是求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n，這時(shí)，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個(gè)相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學(xué)生對(duì)于兩個(gè)圖形及其所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該是很熟悉的。

當(dāng)然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學(xué)生能有這方面的知識(shí)儲(chǔ)備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對(duì)于求點(diǎn)E的坐標(biāo)來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學(xué)生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點(diǎn)B和點(diǎn)C應(yīng)該是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，是不是題目錯(cuò)了呢？是不是只要給個(gè)“不存在”的結(jié)論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學(xué)生直接寫了個(gè)“不存在”。當(dāng)然，這時(shí)是我們的感覺錯(cuò)了。

經(jīng)驗(yàn)豐富的學(xué)生也由這個(gè)“感覺”發(fā)現(xiàn)解決問題的切入點(diǎn)：是否存在點(diǎn)F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點(diǎn)F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學(xué)生當(dāng)然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學(xué)生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點(diǎn)，而直接用對(duì)應(yīng)邊成比例求解了。雖然結(jié)果也對(duì)了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時(shí)，我們還必須認(rèn)識(shí)到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結(jié)論不一定都是正確的，還需要經(jīng)過我們的論證。

直覺思維運(yùn)用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時(shí)，也常會(huì)使分?jǐn)?shù)來得易如反掌。

面對(duì)如此標(biāo)準(zhǔn)的圖形，學(xué)生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數(shù)，但題目中沒有給出任一角的度數(shù)，這只能說明所求的這個(gè)角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長(zhǎng)方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個(gè)內(nèi)角，那么，這個(gè)三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因?yàn)橐?guī)范的試卷的圖形是標(biāo)準(zhǔn)的，所以學(xué)生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個(gè)內(nèi)角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對(duì)所要解決的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動(dòng)直覺思維，進(jìn)行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數(shù)學(xué)學(xué)科中，同樣也存在于其他學(xué)科中。在物理學(xué)中，1900年德國(guó)物理學(xué)家普朗克摒棄了經(jīng)典物理學(xué)的觀點(diǎn)，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學(xué)家湯川秀樹完成了“介子學(xué)說”的論文，當(dāng)時(shí)也沒有進(jìn)行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導(dǎo)引而產(chǎn)生的一種“假想”?？v觀近現(xiàn)代化學(xué)發(fā)展史，許多重要的發(fā)現(xiàn)都是建立在直覺思維的基礎(chǔ)之上的，如1869年俄國(guó)化學(xué)家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學(xué)家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯環(huán)結(jié)構(gòu)，等等。因此，愛因斯坦認(rèn)為，在科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當(dāng)然，我們同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到，在沒有經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證和計(jì)算之前，就能夠?qū)栴}作出判斷，得出結(jié)論或者預(yù)見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對(duì)學(xué)科知識(shí)的深刻理解為基礎(chǔ)，以對(duì)事物的敏銳觀察為前提的。教師應(yīng)在教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學(xué)；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）

每到中考結(jié)束，學(xué)生都會(huì)感覺到數(shù)學(xué)試題“難”，憑筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，“難”的原因可能有這么幾個(gè)：（1）時(shí)間不夠用。知識(shí)準(zhǔn)備不充分，答題不流暢，時(shí)間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學(xué)生在答題時(shí)，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調(diào)整不到位。中考試卷本來就有難題，學(xué)生應(yīng)該有心理準(zhǔn)備，但平時(shí)訓(xùn)練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質(zhì)量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細(xì)想下來，做試卷，時(shí)間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準(zhǔn)思維點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，也是能否節(jié)省時(shí)間的關(guān)鍵。其實(shí)，有時(shí)在解題時(shí)，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實(shí)際生活中，直覺是經(jīng)常用到的。布魯納認(rèn)為直覺就是一種直接的、非漸進(jìn)的、以視覺形象為思維媒介的、對(duì)問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內(nèi)隱的，表現(xiàn)上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的重要思維方式。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重大發(fā)現(xiàn)，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數(shù)學(xué)問題的解決有時(shí)需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標(biāo)對(duì)演繹推理降低“難度”的前提下，出現(xiàn)通過添兩條輔助線構(gòu)造常見圖形來求解的情況，對(duì)學(xué)生來講，要求有點(diǎn)高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關(guān)鍵是求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n，這時(shí)，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個(gè)相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學(xué)生對(duì)于兩個(gè)圖形及其所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該是很熟悉的。

當(dāng)然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學(xué)生能有這方面的知識(shí)儲(chǔ)備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對(duì)于求點(diǎn)E的坐標(biāo)來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學(xué)生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點(diǎn)B和點(diǎn)C應(yīng)該是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，是不是題目錯(cuò)了呢？是不是只要給個(gè)“不存在”的結(jié)論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學(xué)生直接寫了個(gè)“不存在”。當(dāng)然，這時(shí)是我們的感覺錯(cuò)了。

經(jīng)驗(yàn)豐富的學(xué)生也由這個(gè)“感覺”發(fā)現(xiàn)解決問題的切入點(diǎn)：是否存在點(diǎn)F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點(diǎn)F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學(xué)生當(dāng)然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學(xué)生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點(diǎn)，而直接用對(duì)應(yīng)邊成比例求解了。雖然結(jié)果也對(duì)了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時(shí)，我們還必須認(rèn)識(shí)到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結(jié)論不一定都是正確的，還需要經(jīng)過我們的論證。

直覺思維運(yùn)用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時(shí)，也常會(huì)使分?jǐn)?shù)來得易如反掌。

面對(duì)如此標(biāo)準(zhǔn)的圖形，學(xué)生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數(shù)，但題目中沒有給出任一角的度數(shù)，這只能說明所求的這個(gè)角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長(zhǎng)方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個(gè)內(nèi)角，那么，這個(gè)三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因?yàn)橐?guī)范的試卷的圖形是標(biāo)準(zhǔn)的，所以學(xué)生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個(gè)內(nèi)角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對(duì)所要解決的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動(dòng)直覺思維，進(jìn)行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數(shù)學(xué)學(xué)科中，同樣也存在于其他學(xué)科中。在物理學(xué)中，1900年德國(guó)物理學(xué)家普朗克摒棄了經(jīng)典物理學(xué)的觀點(diǎn)，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學(xué)家湯川秀樹完成了“介子學(xué)說”的論文，當(dāng)時(shí)也沒有進(jìn)行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導(dǎo)引而產(chǎn)生的一種“假想”?？v觀近現(xiàn)代化學(xué)發(fā)展史，許多重要的發(fā)現(xiàn)都是建立在直覺思維的基礎(chǔ)之上的，如1869年俄國(guó)化學(xué)家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學(xué)家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯環(huán)結(jié)構(gòu)，等等。因此，愛因斯坦認(rèn)為，在科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當(dāng)然，我們同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到，在沒有經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證和計(jì)算之前，就能夠?qū)栴}作出判斷，得出結(jié)論或者預(yù)見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對(duì)學(xué)科知識(shí)的深刻理解為基礎(chǔ)，以對(duì)事物的敏銳觀察為前提的。教師應(yīng)在教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學(xué)；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）

每到中考結(jié)束，學(xué)生都會(huì)感覺到數(shù)學(xué)試題“難”，憑筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，“難”的原因可能有這么幾個(gè)：（1）時(shí)間不夠用。知識(shí)準(zhǔn)備不充分，答題不流暢，時(shí)間不夠用，就說是試卷難。（2）策略失誤。學(xué)生在答題時(shí)，沒有做到先易后難，以至于后面有的題目沒來得及做，于是說試卷難。（3）心理調(diào)整不到位。中考試卷本來就有難題，學(xué)生應(yīng)該有心理準(zhǔn)備，但平時(shí)訓(xùn)練不到位，缺失了自信心，影響了答題的質(zhì)量，于是就說試卷難。（4）解題方法缺失。

細(xì)想下來，做試卷，時(shí)間消耗最多的就是在審題上。讀題后，如何迅速找準(zhǔn)思維點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，也是能否節(jié)省時(shí)間的關(guān)鍵。其實(shí)，有時(shí)在解題時(shí)，跟著感覺走一走，也能很快地找到問題解決的切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)中跟著感覺走，就是所謂的“憑直覺”，而實(shí)際生活中，直覺是經(jīng)常用到的。布魯納認(rèn)為直覺就是一種直接的、非漸進(jìn)的、以視覺形象為思維媒介的、對(duì)問題的飛躍式的直接把握和解決。因而，這種思維方式在操作上是內(nèi)隱的，表現(xiàn)上是頓悟的，常常能迸發(fā)出新異的思維成果，帶有創(chuàng)新性，是進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的重要思維方式。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些重大發(fā)現(xiàn)，如牛頓發(fā)明微積分，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，高斯對(duì)代數(shù)學(xué)基本定理的證明，等等，無一不是直覺思維的杰作。數(shù)學(xué)問題的解決有時(shí)需要跟著感覺走。

從答案看，k1的求法自不必說，但k2的求法在新課標(biāo)對(duì)演繹推理降低“難度”的前提下，出現(xiàn)通過添兩條輔助線構(gòu)造常見圖形來求解的情況，對(duì)學(xué)生來講，要求有點(diǎn)高了。下面，筆者從直覺思維的角度，就求解來談一下與命題人不同的思路。

憑感覺：求k2的關(guān)鍵是求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n，這時(shí)，我們不妨依圖2作y軸的垂線DN，則可知DN=n，ON=2。

于是，我們從圖中可提取出兩個(gè)相似的常見圖形（圖3和圖4），作為教師和學(xué)生對(duì)于兩個(gè)圖形及其所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該是很熟悉的。

當(dāng)然，從直覺思維的角度來看，我們還有另一種解法：由于AB與DB垂直，如果學(xué)生能有這方面的知識(shí)儲(chǔ)備，不難由y=2x+2直接得到直線BD的解析式，這對(duì)于求點(diǎn)E的坐標(biāo)來得就更快了。從中考閱卷反饋的信息看，有學(xué)生是這樣做的。

【分析第（2）問】

憑感覺：由提取出的圖3，我們知道，∠OBE=∠ACE（如圖6），理論上，點(diǎn)B和點(diǎn)C應(yīng)該是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，但由題目中要說明△BDF∽△ACE，可知點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，是不是題目錯(cuò)了呢？是不是只要給個(gè)“不存在”的結(jié)論就能得分呢？從閱卷情況看，還真有學(xué)生直接寫了個(gè)“不存在”。當(dāng)然，這時(shí)是我們的感覺錯(cuò)了。

經(jīng)驗(yàn)豐富的學(xué)生也由這個(gè)“感覺”發(fā)現(xiàn)解決問題的切入點(diǎn)：是否存在點(diǎn)F，要先證明∠OBD是否等于∠CAE。如果等于，自然就存在，再去求點(diǎn)F（這樣就不走彎路了）；如果不等，則自然不存在。有了上述思路的學(xué)生當(dāng)然得到了理想的滿分，不過從參加閱卷的教師反饋的信息來看，仍有許多學(xué)生忽視了證明“∠OBD=∠CAE”這一點(diǎn)，而直接用對(duì)應(yīng)邊成比例求解了。雖然結(jié)果也對(duì)了，但還是不能得到滿分。

由這一問的分析可知，在看到直覺思維在解題方面的重要性的同時(shí)，我們還必須認(rèn)識(shí)到直覺思維的兩面性，即直覺思維的結(jié)論不一定都是正確的，還需要經(jīng)過我們的論證。

直覺思維運(yùn)用于一些諸如選擇題、填空題等小分值問題時(shí)，也常會(huì)使分?jǐn)?shù)來得易如反掌。

面對(duì)如此標(biāo)準(zhǔn)的圖形，學(xué)生“憑直覺”也能猜出答案是多少，而無需懷疑自己。理由是：求角的度數(shù)，但題目中沒有給出任一角的度數(shù)，這只能說明所求的這個(gè)角所在圖形是特殊的，諸如正多邊形、等腰直角三角形、長(zhǎng)方形等，而此題中的∠DEC是△DEC的一個(gè)內(nèi)角，那么，這個(gè)三角形要么是等邊三角形，要么是等腰直角三角形，因?yàn)橐?guī)范的試卷的圖形是標(biāo)準(zhǔn)的，所以學(xué)生自然想到∠DEC是等邊△DEC的一個(gè)內(nèi)角，即為60°。

通過以上分析，我們知道：通過對(duì)所要解決的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等方面觀察和分析后，啟動(dòng)直覺思維，進(jìn)行合情的推理，是可以快速而有效地解決問題的。

直覺思維不僅只存在于數(shù)學(xué)學(xué)科中，同樣也存在于其他學(xué)科中。在物理學(xué)中，1900年德國(guó)物理學(xué)家普朗克摒棄了經(jīng)典物理學(xué)的觀點(diǎn)，靠直覺思維的幫助，大膽地提出了“量子論”的假說；1934年日本物理學(xué)家湯川秀樹完成了“介子學(xué)說”的論文，當(dāng)時(shí)也沒有進(jìn)行系統(tǒng)的論證，而是靠直覺思維的導(dǎo)引而產(chǎn)生的一種“假想”。縱觀近現(xiàn)代化學(xué)發(fā)展史，許多重要的發(fā)現(xiàn)都是建立在直覺思維的基礎(chǔ)之上的，如1869年俄國(guó)化學(xué)家門捷列夫排出的元素周期表，1913年丹麥物理學(xué)家玻爾提出的原子模型，還有凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯環(huán)結(jié)構(gòu)，等等。因此，愛因斯坦認(rèn)為，在科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明中，“真正可貴的是直覺思維”。

當(dāng)然，我們同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到，在沒有經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證和計(jì)算之前，就能夠?qū)栴}作出判斷，得出結(jié)論或者預(yù)見解題途徑，這并不是主觀臆斷，而是以對(duì)學(xué)科知識(shí)的深刻理解為基礎(chǔ)，以對(duì)事物的敏銳觀察為前提的。教師應(yīng)在教學(xué)中多關(guān)注學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)，它是創(chuàng)新型人才的必備素質(zhì)。

（作者單位：江蘇省連云港市朐山中學(xué)；江蘇省連云港市海州區(qū)教育局教科室）