王仲君,張莉麗
(武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)
從1989年發(fā)現(xiàn)第一例本土艾滋病例至今,HIV感染已經(jīng)覆蓋全國(guó),部分地區(qū)感染嚴(yán)重,在中國(guó)疫情的流行呈現(xiàn)出多樣化特征,并從高危人群逐漸向一般人群擴(kuò)散,雖然艾滋病的死亡率已有下降趨勢(shì),但艾滋病的防治形勢(shì)仍然極其嚴(yán)峻[1-3]。若利用數(shù)學(xué)方法對(duì)艾滋病的傳播過(guò)程進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn),找到影響艾滋病傳播的相關(guān)參數(shù),將對(duì)艾滋病的防治工作有重要意義。
目前流行病數(shù)學(xué)模型主要有微分方程、元胞自動(dòng)機(jī)等,而基于元胞自動(dòng)機(jī)的流行病研究在微觀和宏觀方面都得到了迅速的發(fā)展[4-7],由于艾滋病是一種比較特殊的行為性流行病,傳播過(guò)程與個(gè)體間行為有很大關(guān)聯(lián)。目前艾滋病的模型研究多考慮在一些特定人群、特定傳播路徑下的演化過(guò)程。有一些學(xué)者提出個(gè)體“異質(zhì)”性,考慮個(gè)體具有不同的抵抗力、感染能力等,也有對(duì)元胞空間進(jìn)行擴(kuò)展,考慮元胞的全局演化過(guò)程[8]。
基于上述分析,筆者考慮個(gè)體具有不同的年齡結(jié)構(gòu)、不同的抵抗力和感染能力,依距離建立距離影響函數(shù),并考慮個(gè)體間的致病性接觸行為,建立適合的元胞自動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)換規(guī)則,在高危人群和一般人群中分別對(duì)HIV傳播行為進(jìn)行模擬研究,并與實(shí)際數(shù)據(jù)相比較,得到更具真實(shí)性的傳播模型。
筆者所提出的模型基于如下假設(shè):①不考慮個(gè)體自然死亡與自然出生;②不考慮個(gè)體遷入或遷出;③迭代步長(zhǎng)t為一個(gè)季度。
從感染HIV病毒到發(fā)病,有一個(gè)完整的自然過(guò)程,為簡(jiǎn)化模型便于研究,此處主要把人群分為4類(lèi):易感者、感染后未發(fā)病者(處于潛伏期)、感染且發(fā)病者、發(fā)病后死亡者。設(shè)潛伏期持續(xù)時(shí)間為t1,發(fā)病期持續(xù)時(shí)間為t2,t時(shí)刻元胞狀態(tài)有以下4種情況:
幾乎所有的HIV感染者經(jīng)過(guò)一段潛伏期后都會(huì)進(jìn)入典型艾滋病期,在沒(méi)有醫(yī)療干預(yù)的情況下會(huì)很快死亡,HIV的發(fā)病期很短,一般為9個(gè)月左右,在未經(jīng)治療的情況下,平均潛伏期為7~10年,其中有部分感染者病情發(fā)展迅速,潛伏期可短至2~3年;還有部分感染者病情發(fā)展緩慢,潛伏期可延長(zhǎng)到12年以上。
1.2.1 年齡變量
大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明不同年齡群體感染HIV后發(fā)病率不一樣,其中0~20歲個(gè)體發(fā)病率最低,50歲以上個(gè)體發(fā)病率最高,群體發(fā)病率與多種因素有關(guān),此處考慮年齡及潛伏期長(zhǎng)短對(duì)發(fā)病率的影響,設(shè)最初個(gè)體(i,j)的年齡變量為 age(i,j),將人群年齡分為 5個(gè)階段,A1=(0,19)、A2=[20,29]、A3=[30,39]、A4=[40,49]、A5=[50,+∞),其中A1階段內(nèi)個(gè)體具有最長(zhǎng)潛伏期時(shí)間,A5階段內(nèi)個(gè)體具有最短潛伏期時(shí)間,Ai階段內(nèi)個(gè)體具有潛伏期時(shí)間為t1i。
由于個(gè)體年齡每年都增加一歲,為便于模擬只考慮健康個(gè)體年齡的增加,而忽略已感染個(gè)體的年齡增加及個(gè)體自然死亡情況,此處假設(shè)所有個(gè)體的艾滋病發(fā)病時(shí)間為3個(gè)季度,即t2=3。
1.2.2 個(gè)體的傳染強(qiáng)度及抵抗能力
設(shè)t時(shí)刻,攜帶HIV病毒的個(gè)體(i,j)對(duì)健康個(gè)體的傳染強(qiáng)度為,研究表明艾滋病患者發(fā)病期的傳染能力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于潛伏期的傳染能力,傳染能力隨時(shí)間也會(huì)不斷增強(qiáng),此處簡(jiǎn)單假設(shè)滿(mǎn)足如下的關(guān)系:
其中,el為控制傳染強(qiáng)度的強(qiáng)度系數(shù),結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)?zāi)M確定。
設(shè)mt(i,j)為 t時(shí)刻,個(gè)體(i,j)的抵抗力,可理解為在一次接觸中,個(gè)體不會(huì)受到感染的概率。由于個(gè)體行為差異性,其抵抗力各不相同[9],這里假設(shè)mt(i,j)取值服從(0,1)的均勻分布。
設(shè)(i0,j0)為中心元胞在網(wǎng)格中的坐標(biāo),網(wǎng)格中的任一元胞(i,j)對(duì)中心元胞(i0,j0)的距離影響分值為 w(i,j),則 w(i,j)滿(mǎn)足如下關(guān)系[10-11]:
式中:d為元胞(i,j)到中心元胞(i0,j0)的幾何距離,的影響半徑。如果中心元胞(i0,j0)在元胞(i,j)的影響半徑內(nèi),則(i,j)在(i0,j0)鄰域內(nèi);如果中心元胞(i0,j0)不在元胞(i,j)的影響半徑內(nèi),則(i,j)不在(i0,j0)鄰域內(nèi)。
艾滋病作為一種高致病性的行為性疾病,主要體現(xiàn)在性接觸、血液感染等傳播途徑上,并且在不同的傳播途徑下,個(gè)體具有不同的感染率,其中血液傳播的感染率達(dá)到95%。相反健康個(gè)體與艾滋病患者握手、擁抱、共餐、共用衛(wèi)生間及游泳池等,都不會(huì)感染上HIV病毒。此處為簡(jiǎn)化模型,暫不單獨(dú)考慮不同傳播途徑下的傳播情況,引入函數(shù)來(lái)判斷t時(shí)刻在一次接觸行為下,元胞(i,j)與中心元胞(i0,j0)之間是否有致病性接觸行為。函數(shù)定義如下:
若It(i,j)=0,元胞間無(wú)致病性接觸行為,則 t時(shí)刻鄰域內(nèi)元胞(i,j)對(duì)中心元胞的影響力較小,影響力計(jì)算公式如下:
若It(i,j)=1,鄰居元胞(i,j) 與中心元胞(i0,j0)有致病性接觸行為,對(duì)中心元胞的影響力很大,結(jié)合在不同傳播路徑下,個(gè)體感染率情況,假設(shè)傳染強(qiáng)度為0.95,此時(shí)忽略距離影響分值,影響力計(jì)算公式如下:
式中:age(i0,j0)為健康個(gè)體被感染時(shí)個(gè)體的年齡;P(St(i0,j0)) 為中心元胞(i0,j0) 在 t時(shí)刻被感染的概率,
基于上述模型,假設(shè)初始感染者均處于潛伏期,群體年齡結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為兩類(lèi),年輕個(gè)體潛伏期為36,年老個(gè)體潛伏期為8,結(jié)合C++語(yǔ)言,在不同初始人群感染率下,在100×100二維規(guī)則網(wǎng)格中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。
據(jù)統(tǒng)計(jì),我國(guó)艾滋病人群平均感染率為0.05%。假設(shè)初始人群感染率為0.05%,初始感染個(gè)體隨機(jī)分布于網(wǎng)格中,一次迭代過(guò)程中個(gè)體間最多有一次致病性接觸行為,分別模擬在不同元胞影響半徑、不同初始人群數(shù)下HIV的傳播。
圖1為總感染人數(shù)變化圖,其中圖1(a)是初始人群數(shù)為8 000,元胞影響半徑r分別為1、2、3、4的感染人數(shù)變化圖;圖1(b)為元胞影響半徑r=3,初始人群數(shù)量分別為 4 000、5 000、6 000、7 000、8 000的總感染人數(shù)變化圖。如圖1所示,元胞影響半徑越大,艾滋病傳播速度越快,感染人數(shù)越多,較早達(dá)到峰值;元胞影響半徑較小時(shí)無(wú)新增感染者,艾滋病不能傳播開(kāi)來(lái),且感染人數(shù)呈現(xiàn)出階梯型下降;同時(shí)初始人群數(shù)越大,HIV的傳播速度越快,HIV感染人數(shù)越多。元胞的影響半徑類(lèi)似于個(gè)體的活動(dòng)范圍,如果可以控制感染個(gè)體的活動(dòng)范圍并對(duì)其隔離,就可以在一定程度上控制艾滋病的傳播速度,然而當(dāng)代便捷的交通擴(kuò)大了個(gè)體的活動(dòng)范圍,也就增加了HIV傳播行為的復(fù)雜性[12]。中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó),各地區(qū)的人群密度、人群分布、人群結(jié)構(gòu)差異大,尤其是一些大城市,人口構(gòu)成很復(fù)雜,艾滋病的傳播行為隨之變得復(fù)雜,而HIV正趨向于由特殊群體向一般人群擴(kuò)散,艾滋病的防治預(yù)防工作顯得尤為重要。
圖1 總感染人數(shù)變化圖
圖2 相關(guān)感染人數(shù)變化統(tǒng)計(jì)圖
圖3 不同時(shí)刻的演化結(jié)果圖
圖2 是初始人群數(shù)為8 000,r=3時(shí)相關(guān)感染人數(shù)變化圖;圖3為對(duì)應(yīng)的部分時(shí)刻演化結(jié)果,圖中黑色元胞代表發(fā)病個(gè)體,深灰色元胞代表潛伏期個(gè)體,淺灰色元胞代表健康個(gè)體。對(duì)比發(fā)現(xiàn)開(kāi)始時(shí)HIV感染者集中分布于病源附近,總感染人數(shù)迅速增加,在t小于8時(shí),無(wú)艾滋病發(fā)病者;t大于8時(shí),在病源附近的部分中老年感染個(gè)體首先發(fā)病,發(fā)病人數(shù)與潛伏期人數(shù)相比呈現(xiàn)出一定的滯后性增長(zhǎng)和下降。演化步長(zhǎng)為36前一段時(shí)間內(nèi),在網(wǎng)格空間限制下,潛伏期個(gè)體數(shù)不變,而發(fā)病個(gè)體數(shù)較低甚至為0。此時(shí)若個(gè)體不主動(dòng)進(jìn)行檢測(cè),由發(fā)病情況可大致判斷艾滋病“消失”了,但隨著時(shí)間的增長(zhǎng),病源附近部分未發(fā)病的年輕感染個(gè)體在經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)潛伏期后逐漸發(fā)病,發(fā)病人數(shù)激增,艾滋病再一次爆發(fā)??梢?jiàn)群體年齡結(jié)構(gòu)影響艾滋病的爆發(fā)情況,短期的艾滋病“消失”現(xiàn)象不能忽視,仍然要做好防治工作。
在性接觸、血液接觸等行為下艾滋病的感染率較大,在一些特殊群體中感染率最高達(dá)到5%,這里假設(shè)HIV初始感染率為2.5%,初始人群數(shù)為4 000,元胞影響半徑r=3,考慮在一次迭代過(guò)程中,個(gè)體之間存在致病性接觸行為數(shù)最多分別為1、2、3這3種情況,這里假設(shè)初始感染者分布在網(wǎng)格中心位置,便于觀察傳播現(xiàn)象。
(1)總感染人數(shù)比較。模擬過(guò)程中發(fā)現(xiàn)HIV由病源中心向四周擴(kuò)散,致病性接觸的次數(shù)越多,傳染速度越快,感染面積越大,在較高致病性接觸次數(shù)下,艾滋病很可能成為地方病。同時(shí)個(gè)體間不存在致病性接觸行為時(shí),即使初始感染率很高,在模擬過(guò)程中無(wú)新增感染者,初始感染個(gè)體經(jīng)過(guò)潛伏期、發(fā)病期后死亡。如圖4所示,在一次迭代過(guò)程中健康個(gè)體與感染個(gè)體之間的致病性接觸次數(shù)越多,HIV感染率越大,艾滋病的傳播速度越快,感染人數(shù)越多,群體的死亡率越高。在艾滋病高發(fā)地區(qū),一定存在著與當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)、社會(huì)相關(guān)的一條傳播途徑,要有效控制艾滋病的傳播,首先要找到在該地區(qū)艾滋病傳播的主要途徑,再有針對(duì)性地對(duì)其進(jìn)行行為教育控制,減少致病性接觸行為次數(shù),降低艾滋病的感染率及傳播速度。
圖4 總感染人數(shù)變化圖
(2)發(fā)病人數(shù)比較。模擬過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某些個(gè)體離病源距離雖近,但被感染后發(fā)病時(shí)間較遲,有些個(gè)體距離中心感染區(qū)較遠(yuǎn),但是被感染后較早發(fā)病死亡,體現(xiàn)了個(gè)體年齡差異性對(duì)潛伏期及發(fā)病情況的影響,發(fā)病期個(gè)體數(shù)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)也說(shuō)明了這一問(wèn)題。圖5為3種不同致病性接觸次數(shù)下發(fā)病期個(gè)體數(shù)的變化圖,這3種情況下,發(fā)病期個(gè)體數(shù)基本呈現(xiàn)出先增加后減少的趨勢(shì),但波動(dòng)較大。在演化步數(shù)t小于8時(shí),無(wú)艾滋病發(fā)病者,這是因?yàn)槟P图僭O(shè)中老年個(gè)體的潛伏期為8,而年輕個(gè)體的潛伏期為36,所以t在16~36之間時(shí)發(fā)病個(gè)體都是老年個(gè)體,在演化步數(shù)大于36后,各年齡的感染個(gè)體都有可能會(huì)發(fā)病,整個(gè)群體的發(fā)病情況就變得復(fù)雜了。隨著個(gè)體年齡增長(zhǎng),中老年個(gè)體數(shù)增加,其較短的潛伏期在一定程度上影響發(fā)病人數(shù),而前期感染的年輕個(gè)體經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的潛伏期后也會(huì)發(fā)病,發(fā)病個(gè)體數(shù)波動(dòng)較大。若發(fā)病個(gè)體數(shù)下降則說(shuō)明新增發(fā)病個(gè)體數(shù)小于新增死亡人數(shù),這與潛伏期個(gè)體數(shù)及年齡結(jié)構(gòu)有一定的關(guān)聯(lián)。這3種模擬情況下發(fā)病人數(shù)最后都會(huì)大幅度下降,這可能是因?yàn)榫W(wǎng)格規(guī)模限制了潛伏期個(gè)體數(shù),潛伏期個(gè)體數(shù)大量降低導(dǎo)致發(fā)病期的個(gè)體數(shù)相對(duì)也大量減少??梢?jiàn)在沒(méi)有藥物治療的前提下,個(gè)體的年齡結(jié)構(gòu)確實(shí)在一定程度上影響HIV傳播。
圖5 發(fā)病人數(shù)變化圖
圖6 給出了武漢市2001—2011年的艾滋病感染人數(shù)變化情況,與本實(shí)驗(yàn)所模擬得到的發(fā)病人數(shù)變化圖相比,具有一定的相似性,故考慮年齡屬性來(lái)研究艾滋病的傳播具有一定的真實(shí)性。
圖6 艾滋病感染人數(shù)變化圖
元胞自動(dòng)機(jī)模型曾多次用于流行病傳播研究,筆者從年齡結(jié)構(gòu)、傳染能力等方面擴(kuò)展元胞自動(dòng)機(jī)模型,并考慮元胞間是否有致病性接觸行為以及致病性接觸行為的次數(shù)對(duì)HIV傳播行為的影響,最后在兩類(lèi)人群下模擬實(shí)驗(yàn),得到相關(guān)參數(shù)對(duì)HIV傳播行為的影響。仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)初始人口數(shù)、元胞影響半徑仍然影響HIV的傳播速度及感染率,致病性接觸行為對(duì)HIV傳播速度影響較大,年齡結(jié)構(gòu)在一定程度上影響群體的HIV感染分布,初始人群數(shù)、致病性接觸次數(shù)、元胞影響半徑及年齡結(jié)構(gòu)相互作用,共同影響著HIV在群體中的傳播,在某些取值條件下,群體總感染人數(shù)及發(fā)病期人數(shù)呈現(xiàn)出一些固定的變化規(guī)律,可進(jìn)一步研究這些規(guī)律從而對(duì)艾滋病的預(yù)防控制提出科學(xué)合理的建議。
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