房慶祥，賈 穎

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院，浙江杭州310018)

2004年6月出現(xiàn)的Cabir蠕蟲(chóng)病毒被認(rèn)為是第一例真正意義上的手機(jī)病毒［1］。該病毒采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的藍(lán)牙無(wú)線(xiàn)傳輸技術(shù)進(jìn)行傳播，主要感染擁有藍(lán)牙功能的智能手機(jī)。到2005年3月，Cabir病毒蔓延到全世界20多個(gè)國(guó)家，出現(xiàn)了至少15個(gè)變種。研究報(bào)告［2］顯示，藍(lán)牙技術(shù)在智能手機(jī)中的應(yīng)用最為廣泛。目前，藍(lán)牙已成為手機(jī)病毒傳播的重要方式之一，藍(lán)牙病毒大有蔓延之勢(shì)。病毒感染手機(jī)后不但會(huì)破壞手機(jī)的內(nèi)部系統(tǒng)，而且還會(huì)惡意扣費(fèi)，消耗手機(jī)資源，影響使用，最嚴(yán)重的是會(huì)竊取手機(jī)中的隱私數(shù)據(jù)或者把手機(jī)變成一個(gè)竊聽(tīng)器。因此有必要建立適用于藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)中手機(jī)病毒傳播的數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)手機(jī)病毒的發(fā)展趨勢(shì)，以便更好地建立防治措施。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)移動(dòng)環(huán)境下智能手機(jī)藍(lán)牙病毒的研究尚處于起步階段。文獻(xiàn)［3］在一個(gè)真實(shí)的環(huán)境中，通過(guò)探測(cè)手機(jī)等無(wú)線(xiàn)設(shè)備，研究了蠕蟲(chóng)在藍(lán)牙環(huán)境下傳播的可行性和傳播動(dòng)力學(xué)特性。美國(guó)東北大學(xué)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中心主任艾伯特拉斯洛·巴拉巴斯教授與其合作者對(duì)各種潛在的藍(lán)牙和彩信病毒進(jìn)行了追蹤并預(yù)言，當(dāng)某種手機(jī)操作系統(tǒng)的智能手機(jī)市場(chǎng)份額超過(guò)10%后，這些病毒將成為真正的威脅［4］。文獻(xiàn)［5］對(duì)藍(lán)牙環(huán)境下的手機(jī)病毒傳播的每個(gè)細(xì)節(jié)(如鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量、搜索能力、回應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)等)進(jìn)行了分析并分別用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，所得結(jié)果在洛杉磯手機(jī)病毒傳播的預(yù)測(cè)中得到成功應(yīng)用。文獻(xiàn)［6］針對(duì)藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)中的蠕蟲(chóng)病毒傳播，提出一種具有可變感染率的SIRQD模型，并改進(jìn)了節(jié)點(diǎn)平均度的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［7］綜合考慮了手機(jī)病毒的傳播方式，建立了基于免疫率和病毒變異率的SEIR模型，并詳細(xì)討論了免疫率、病毒的變異率等因素對(duì)病毒傳播的影響。文獻(xiàn)［8］根據(jù)藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)簇的特點(diǎn)，建立了微分方程模型，討論了信號(hào)半徑、分布密度和手機(jī)移動(dòng)速度等5個(gè)因素對(duì)病毒傳播的影響，并給出了手機(jī)病毒防治的措施。文獻(xiàn)［9］根據(jù)人類(lèi)運(yùn)動(dòng)的行為模式，給出了移動(dòng)環(huán)境下手機(jī)節(jié)點(diǎn)平均度的計(jì)算方法，并結(jié)合滲流理論分析了病毒大爆發(fā)的可能性。

筆者在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，考慮病毒變異因素對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響，基于小世界網(wǎng)絡(luò)模型和生物傳染病微分方程模型，建立SIRD模型，并討論各參數(shù)對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響情況。

1 SIRD模型

藍(lán)牙是無(wú)線(xiàn)數(shù)據(jù)和語(yǔ)音傳輸?shù)拈_(kāi)放式標(biāo)準(zhǔn)，是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)線(xiàn)傳輸?shù)淖畛Ｓ梅绞?。它是一種支持設(shè)備短距離通信的無(wú)線(xiàn)電技術(shù)，擁有統(tǒng)一的架構(gòu)且全球通用。手機(jī)藍(lán)牙的通信距離大約在30 m以?xún)?nèi)，當(dāng)病毒感染手機(jī)后會(huì)自動(dòng)搜索附近的藍(lán)牙信號(hào)并自動(dòng)與之建立連接，形成一個(gè)微型網(wǎng)絡(luò)。手機(jī)病毒在藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)中的傳播有以下特點(diǎn):①藍(lán)牙的信號(hào)覆蓋范圍有限;②藍(lán)牙終端設(shè)備(手機(jī))具有移動(dòng)性;③病毒成功復(fù)制自己到另一臺(tái)手機(jī)需要一定的時(shí)間;④藍(lán)牙病毒會(huì)不停地通過(guò)已感染的手機(jī)搜索附近可見(jiàn)的藍(lán)牙信號(hào)，因而導(dǎo)致已感染病毒的手機(jī)耗電量會(huì)急劇增加，以至于電量耗盡而暫時(shí)不能傳播病毒;⑤藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)是在各自藍(lán)牙信號(hào)覆蓋范圍內(nèi)自動(dòng)建立的，人多與人少的地方所建立的網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度不同;⑥藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)可以抽象為小世界網(wǎng)絡(luò)。

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，做如下假設(shè):①網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)要么靜止，要么做勻速運(yùn)動(dòng);②網(wǎng)絡(luò)中各主機(jī)同質(zhì)，即感染概率、清除概率、暫時(shí)斷電概率和恢復(fù)概率對(duì)所有系統(tǒng)內(nèi)的主機(jī)都統(tǒng)一適用;③系統(tǒng)內(nèi)暫時(shí)只流行一種病毒，不考慮多種惡意代碼傳播的情況。

根據(jù)手機(jī)藍(lán)牙病毒的特點(diǎn)，把手機(jī)分為4類(lèi)，分別為:①感染類(lèi)I。該類(lèi)手機(jī)已經(jīng)被病毒感染，并具備感染其他節(jié)點(diǎn)的能力，在t時(shí)刻其數(shù)量記為I(t);②易感染類(lèi)S。該類(lèi)手機(jī)目前未被病毒感染，但具有一定的被感染可能性，在t時(shí)刻其數(shù)量記為S(t);③免疫類(lèi)R。該類(lèi)手機(jī)因?yàn)樯?jí)系統(tǒng)或安裝殺毒軟件而對(duì)病毒具有免疫能力，在t時(shí)刻其數(shù)量記為R(t);④暫時(shí)休眠類(lèi)D。該類(lèi)是已感染病毒手機(jī)中，因?yàn)殡娏亢谋M而暫時(shí)不具備感染能力的手機(jī)，但當(dāng)用戶(hù)充電后又會(huì)進(jìn)入到感染類(lèi)，在t時(shí)刻其數(shù)量記為D(t)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如圖1所示。

圖1 SIRD模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖

在圖1中，①p1(t)為感染率。一方面，根據(jù)藍(lán)牙病毒的傳播特性，隨著網(wǎng)絡(luò)內(nèi)易感染類(lèi)S逐漸減少，已感染病毒手機(jī)搜索設(shè)備時(shí)會(huì)越來(lái)越多地出現(xiàn)多個(gè)被感染手機(jī)同時(shí)掃描并傳染同一個(gè)易感染手機(jī)、掃描到大量已感染手機(jī)等情況，這都屬于無(wú)效掃描，因此感染率會(huì)隨著已感染手機(jī)數(shù)目的逐漸增多而降低。另一方面，隨著藍(lán)牙病毒逐漸增多，易感染手機(jī)用戶(hù)會(huì)提高警惕性。因此，感染率是隨時(shí)間而變化的;②對(duì)于已感染手機(jī)，一部分用戶(hù)使用殺毒軟件并進(jìn)行系統(tǒng)升級(jí)或打補(bǔ)丁使手機(jī)進(jìn)入免疫類(lèi)R，也有一部分用戶(hù)只進(jìn)行殺毒而沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)升級(jí)或打補(bǔ)丁，使手機(jī)進(jìn)入易感類(lèi)S。由I類(lèi)進(jìn)入S類(lèi)、R類(lèi)的概率分別為p2和p7;③p3為主動(dòng)升級(jí)防御系統(tǒng)的概率，p4為免疫類(lèi)手機(jī)中由于病毒變異而殺毒軟件還沒(méi)有攔截該變種的能力或者手機(jī)使用者沒(méi)有及時(shí)更新病毒庫(kù)，而使節(jié)點(diǎn)又重新成為易感染類(lèi)手機(jī)的概率;④p5和p6分別表示感染類(lèi)手機(jī)進(jìn)入休眠類(lèi)和休眠類(lèi)手機(jī)進(jìn)入感染類(lèi)的概率。

結(jié)合以上分析，參考傳染病的微分方程模型［10］，藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)中手機(jī)病毒傳播的微分方程模型(SIRD)可表示為:

式中:N為手機(jī)總數(shù);k為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)平均度;t0為病毒變異時(shí)間;f(t－t0)為病毒變異函數(shù)［11］，表達(dá)式為:

假設(shè)r為藍(lán)牙信號(hào)的覆蓋半徑;v為節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)速度;ρ為手機(jī)分布密度;α為移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例;Δt為病毒復(fù)制自己所需的時(shí)間;s為手機(jī)藍(lán)牙信號(hào)覆蓋的有效區(qū)域，則根據(jù)文獻(xiàn)［6］可知:

其中:

2 模型仿真

2.1 病毒不產(chǎn)生變異的情況

取參數(shù) r=10，v=1，Δt=0.01，α =0.7，p4=0，可得到仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 病毒不產(chǎn)生變異時(shí)的仿真結(jié)果

從圖2可以看出，開(kāi)始階段(時(shí)間大約在0～40 s)時(shí)，易感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量緩慢下降，已感染節(jié)點(diǎn)和其他兩類(lèi)都緩慢增加。這是因?yàn)殚_(kāi)始時(shí)，已感染節(jié)點(diǎn)數(shù)目不多，符合實(shí)際。但在稍后(時(shí)間大約在40～100 s時(shí))，易感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量急劇下降，而已感染節(jié)點(diǎn)呈指數(shù)型增長(zhǎng)，其他兩類(lèi)的增長(zhǎng)速度也有所增加。這是因?yàn)楫?dāng)前已感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量有所增多，且所接觸周?chē)械囊赘腥竟?jié)點(diǎn)的比例較大，符合實(shí)際。再后面(時(shí)間在100 s以后)，易感染節(jié)點(diǎn)和暫時(shí)休眠類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量趨于穩(wěn)定，已感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量開(kāi)始迅速下降，而免疫類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量穩(wěn)步增加，最終也趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)橐赘腥竟?jié)點(diǎn)數(shù)量降到最低，而已感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量達(dá)到最高后，其所接觸到的節(jié)點(diǎn)里面易感染節(jié)點(diǎn)的比例也很小，且已感染和易感染節(jié)點(diǎn)不斷轉(zhuǎn)移為免疫類(lèi)，符合實(shí)際情況。

根據(jù)上述仿真及分析可得，SIRD模型能夠較好地模擬手機(jī)病毒傳播的情況。0～40 s的時(shí)間段可作為病毒的潛伏期，被感染的節(jié)點(diǎn)數(shù)目緩慢增加;40～100 s的時(shí)間段為病毒大規(guī)模爆發(fā)期，被感染的節(jié)點(diǎn)數(shù)目呈指數(shù)級(jí)增加;100 s后的時(shí)間段，病毒得到有效遏制，大部分轉(zhuǎn)移為有免疫力的免疫類(lèi)。從圖2中也可以看出，在理論上，病毒一旦出現(xiàn)就不能被完全消滅。

2.2 病毒產(chǎn)生變異的情況

現(xiàn)實(shí)中病毒出現(xiàn)一段時(shí)間后，就會(huì)被殺毒軟件的數(shù)據(jù)庫(kù)收錄，從而會(huì)被殺毒軟件攔截，失去傳染力，但病毒的制造者也會(huì)更新病毒，使自己制造的病毒能逃過(guò)殺毒軟件的掃描。這時(shí)p4≠0，仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

從仿真結(jié)果可以看出，病毒的變異使易感染類(lèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量突然增加，當(dāng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時(shí)，免疫類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量大幅度減少，其他3種狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量各自都有增加。從病毒在不同時(shí)間發(fā)生變異的仿真圖對(duì)比來(lái)看，變異時(shí)間越早，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移越穩(wěn)定。當(dāng)t=400 s時(shí)，手機(jī)病毒大規(guī)模爆發(fā)的高峰已經(jīng)過(guò)去，如果此時(shí)病毒變異，則會(huì)引起劇烈的波動(dòng)，因?yàn)榇藭r(shí)大多數(shù)用戶(hù)都放松了警惕，病毒會(huì)乘虛而入，再次入侵。

圖3 t0=100 s時(shí)的仿真結(jié)果

圖4 t0=200 s時(shí)的仿真結(jié)果

圖5 t0=300 s時(shí)的仿真結(jié)果

圖6 t0=400 s時(shí)的仿真結(jié)果

3 傳播參數(shù)影響分析

3.1 影響網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平均度的因素

根據(jù)所建的SIRD模型以及小世界網(wǎng)絡(luò)模型可知，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的平均度是一個(gè)關(guān)鍵的因素。平均度越大，表示網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系越緊密，則更有利于手機(jī)病毒的傳播。影響網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)平均度的因素如下:

(1)藍(lán)牙信號(hào)的覆蓋半徑。根據(jù)節(jié)點(diǎn)平均度的計(jì)算式(2)和式(3)可知，藍(lán)牙信號(hào)的覆蓋半徑r越大，節(jié)點(diǎn)平均度越大，越有利于手機(jī)病毒傳播。

(2)手機(jī)分布密度。由計(jì)算式(2)和式(3)可知，手機(jī)分布密度ρ越大，節(jié)點(diǎn)平均度越大，越有利于手機(jī)病毒的傳播。

(3)手機(jī)移動(dòng)速度。由于表達(dá)式較復(fù)雜，不好直接判斷手機(jī)移動(dòng)速度對(duì)病毒傳播過(guò)程的影響。但手機(jī)移動(dòng)速度直接影響其覆蓋的有效面積。通過(guò)計(jì)算式(3)可得移動(dòng)速度與有效覆蓋面積的關(guān)系如圖7所示(速度的范圍為0～100)。

圖7 手機(jī)移動(dòng)速度與有效覆蓋面積的關(guān)系

從圖7中可以看出，在有效覆蓋面積最大時(shí)，最有利于手機(jī)病毒的傳播。因此，在一定范圍內(nèi)有效覆蓋面積越大，越有利于手機(jī)病毒傳播，超出這個(gè)范圍后，有效覆蓋面積越大越不利于手機(jī)病毒的傳播。

(4)移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的比例。由計(jì)算式(2)和式(3)可得移動(dòng)手機(jī)比例與平均節(jié)點(diǎn)度的關(guān)系如圖8所示。從圖8中可以看出，移動(dòng)節(jié)點(diǎn)比例越高，節(jié)點(diǎn)的平均度也越大，越有利于手機(jī)病毒的傳播。

3.2 初始已感染手機(jī)數(shù)量

初始已感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量 I(0)分別為1、100、1 000，而其他參數(shù)不變時(shí)，手機(jī)病毒傳播情況如圖9所示。從圖9可以看出初始已感染手機(jī)數(shù)量越大，手機(jī)病毒的傳播速度越快(已感染手機(jī)數(shù)量越早到達(dá)最高峰)，手機(jī)病毒爆發(fā)規(guī)模越大(已感染手機(jī)最高峰時(shí)的數(shù)量越大)。

圖8 移動(dòng)手機(jī)比例與節(jié)點(diǎn)平均度的關(guān)系

圖9 初始已感染手機(jī)數(shù)量對(duì)手機(jī)病毒傳播的影響

4 結(jié)論

手機(jī)病毒的傳播方式多種多樣，筆者選取了能夠體現(xiàn)手機(jī)病毒傳播特點(diǎn)的藍(lán)牙病毒作為研究對(duì)象，根據(jù)手機(jī)病毒在藍(lán)牙網(wǎng)絡(luò)中傳播的特點(diǎn)，建立了微分方程模型。仿真結(jié)果表明，該模型能夠較好地模擬現(xiàn)實(shí)中手機(jī)病毒傳播的過(guò)程。根據(jù)模型可以看出，藍(lán)牙信號(hào)的覆蓋范圍、手機(jī)分布密度、手機(jī)移動(dòng)速度、移動(dòng)手機(jī)的比例，以及初始感染病毒的手機(jī)數(shù)量等都是影響手機(jī)病毒傳播過(guò)程的因素，研究結(jié)果為現(xiàn)實(shí)中對(duì)手機(jī)病毒進(jìn)行預(yù)測(cè)、控制和防治提供了重要的參考依據(jù)。

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