張宗相

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 習(xí)題 拓廣 證明

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量，是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)課堂的核心任務(wù)是讓學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)他們養(yǎng)成勤提問(wèn)的良好習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。例題或習(xí)題的拓廣無(wú)疑是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的一個(gè)重要方式。教材中的例題、習(xí)題的拓廣與證明是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)專(zhuān)家精心篩選出來(lái)的，具有經(jīng)典性與代表性，理應(yīng)引起我們一線教師的重視?，F(xiàn)以新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第122頁(yè)的習(xí)題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

說(shuō)明：此題是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十九章《四邊形》復(fù)習(xí)題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)題分三個(gè)層次展開(kāi)，循序漸進(jìn)、由淺入深：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索?！皬?fù)習(xí)鞏固”環(huán)節(jié)是對(duì)本章基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的重溫與再現(xiàn)，旨在強(qiáng)化學(xué)生的“雙基”；“綜合運(yùn)用”環(huán)節(jié)題是對(duì)知識(shí)在數(shù)學(xué)生活與實(shí)際生活中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；而“拓廣探索”環(huán)節(jié)不僅是對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的拓展，更是知識(shí)應(yīng)用的外延，旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力。為了降低學(xué)生的解題難度，本題還進(jìn)行了方法提示。

證明：取AB的中點(diǎn)G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點(diǎn)G、點(diǎn)E分別是AB、BC的中點(diǎn)

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點(diǎn)是由點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)拓廣為點(diǎn)E線段BC的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題由“靜”到“動(dòng)”的變化，達(dá)到課堂活躍之功效，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎(chǔ)上繼續(xù)向外延伸，點(diǎn)E由在有限區(qū)間運(yùn)動(dòng)延伸到無(wú)限區(qū)間運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生的發(fā)散思維能力達(dá)到了一個(gè)更廣闊的空間，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性進(jìn)一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問(wèn)題的能力得到了加強(qiáng)。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長(zhǎng)線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的反向延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的好奇心再次被激發(fā)，求知欲得到增強(qiáng)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)猜想、探索、討論、對(duì)比、驗(yàn)證，由“山重水復(fù)”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個(gè)拓廣題的證明過(guò)程來(lái)看，用到了分類(lèi)討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結(jié)果卻是殊途同歸——證明兩個(gè)三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，則其解題策略是在線段BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，而拓廣三中當(dāng)點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其解題策略是在BA的反向延長(zhǎng)線上取截取BG=BE。通過(guò)這種解題方法的指引，讓學(xué)生掌握類(lèi)比探究的解題方法，達(dá)到了教是為了不教的教學(xué)效果。

總之，在初中數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題會(huì)變、善變，深入挖掘課本中例題、習(xí)題的潛在功能，以點(diǎn)帶面，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，最大限度地誘發(fā)學(xué)生的解題欲望，而且問(wèn)題的拓廣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力與創(chuàng)新思維能力，取得舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 習(xí)題 拓廣 證明

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量，是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)課堂的核心任務(wù)是讓學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)他們養(yǎng)成勤提問(wèn)的良好習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。例題或習(xí)題的拓廣無(wú)疑是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的一個(gè)重要方式。教材中的例題、習(xí)題的拓廣與證明是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)專(zhuān)家精心篩選出來(lái)的，具有經(jīng)典性與代表性，理應(yīng)引起我們一線教師的重視?，F(xiàn)以新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第122頁(yè)的習(xí)題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

說(shuō)明：此題是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十九章《四邊形》復(fù)習(xí)題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)題分三個(gè)層次展開(kāi)，循序漸進(jìn)、由淺入深：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索?！皬?fù)習(xí)鞏固”環(huán)節(jié)是對(duì)本章基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的重溫與再現(xiàn)，旨在強(qiáng)化學(xué)生的“雙基”；“綜合運(yùn)用”環(huán)節(jié)題是對(duì)知識(shí)在數(shù)學(xué)生活與實(shí)際生活中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；而“拓廣探索”環(huán)節(jié)不僅是對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的拓展，更是知識(shí)應(yīng)用的外延，旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力。為了降低學(xué)生的解題難度，本題還進(jìn)行了方法提示。

證明：取AB的中點(diǎn)G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點(diǎn)G、點(diǎn)E分別是AB、BC的中點(diǎn)

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點(diǎn)是由點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)拓廣為點(diǎn)E線段BC的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題由“靜”到“動(dòng)”的變化，達(dá)到課堂活躍之功效，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎(chǔ)上繼續(xù)向外延伸，點(diǎn)E由在有限區(qū)間運(yùn)動(dòng)延伸到無(wú)限區(qū)間運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生的發(fā)散思維能力達(dá)到了一個(gè)更廣闊的空間，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性進(jìn)一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問(wèn)題的能力得到了加強(qiáng)。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長(zhǎng)線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的反向延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的好奇心再次被激發(fā)，求知欲得到增強(qiáng)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)猜想、探索、討論、對(duì)比、驗(yàn)證，由“山重水復(fù)”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個(gè)拓廣題的證明過(guò)程來(lái)看，用到了分類(lèi)討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結(jié)果卻是殊途同歸——證明兩個(gè)三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，則其解題策略是在線段BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，而拓廣三中當(dāng)點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其解題策略是在BA的反向延長(zhǎng)線上取截取BG=BE。通過(guò)這種解題方法的指引，讓學(xué)生掌握類(lèi)比探究的解題方法，達(dá)到了教是為了不教的教學(xué)效果。

總之，在初中數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題會(huì)變、善變，深入挖掘課本中例題、習(xí)題的潛在功能，以點(diǎn)帶面，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，最大限度地誘發(fā)學(xué)生的解題欲望，而且問(wèn)題的拓廣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力與創(chuàng)新思維能力，取得舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 習(xí)題 拓廣 證明

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量，是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)課堂的核心任務(wù)是讓學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)他們養(yǎng)成勤提問(wèn)的良好習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。例題或習(xí)題的拓廣無(wú)疑是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的一個(gè)重要方式。教材中的例題、習(xí)題的拓廣與證明是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)專(zhuān)家精心篩選出來(lái)的，具有經(jīng)典性與代表性，理應(yīng)引起我們一線教師的重視?，F(xiàn)以新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第122頁(yè)的習(xí)題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

說(shuō)明：此題是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十九章《四邊形》復(fù)習(xí)題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)題分三個(gè)層次展開(kāi)，循序漸進(jìn)、由淺入深：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索?！皬?fù)習(xí)鞏固”環(huán)節(jié)是對(duì)本章基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的重溫與再現(xiàn)，旨在強(qiáng)化學(xué)生的“雙基”；“綜合運(yùn)用”環(huán)節(jié)題是對(duì)知識(shí)在數(shù)學(xué)生活與實(shí)際生活中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；而“拓廣探索”環(huán)節(jié)不僅是對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的拓展，更是知識(shí)應(yīng)用的外延，旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與創(chuàng)新能力。為了降低學(xué)生的解題難度，本題還進(jìn)行了方法提示。

證明：取AB的中點(diǎn)G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點(diǎn)G、點(diǎn)E分別是AB、BC的中點(diǎn)

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點(diǎn)是由點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)拓廣為點(diǎn)E線段BC的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題由“靜”到“動(dòng)”的變化，達(dá)到課堂活躍之功效，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎(chǔ)上繼續(xù)向外延伸，點(diǎn)E由在有限區(qū)間運(yùn)動(dòng)延伸到無(wú)限區(qū)間運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生的發(fā)散思維能力達(dá)到了一個(gè)更廣闊的空間，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性進(jìn)一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問(wèn)題的能力得到了加強(qiáng)。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

AE=EF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長(zhǎng)線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的反向延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生的好奇心再次被激發(fā)，求知欲得到增強(qiáng)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)猜想、探索、討論、對(duì)比、驗(yàn)證，由“山重水復(fù)”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個(gè)拓廣題的證明過(guò)程來(lái)看，用到了分類(lèi)討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結(jié)果卻是殊途同歸——證明兩個(gè)三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，則其解題策略是在線段BA的延長(zhǎng)線上截取AG=CE，而拓廣三中當(dāng)點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其解題策略是在BA的反向延長(zhǎng)線上取截取BG=BE。通過(guò)這種解題方法的指引，讓學(xué)生掌握類(lèi)比探究的解題方法，達(dá)到了教是為了不教的教學(xué)效果。

總之，在初中數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決中，我們要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題會(huì)變、善變，深入挖掘課本中例題、習(xí)題的潛在功能，以點(diǎn)帶面，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，最大限度地誘發(fā)學(xué)生的解題欲望，而且問(wèn)題的拓廣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力與創(chuàng)新思維能力，取得舉一反三、觸類(lèi)旁通的教學(xué)效果。