尹永洲

本章的主要內(nèi)容是整式的乘法運算、因式分解.內(nèi)容建立在學習了有理數(shù)運算、列簡單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減運算等知識的基礎上.整式的乘法運算和因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識，這些知識是以后學習分式和根式運算、函數(shù)等知識的基礎.

一 、整式的乘法

整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分.其中之前所學習的冪的運算性質(zhì)，即同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎.整式乘法具體內(nèi)容包括單項式乘以單項式，單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式.

單項式與單項式相乘 把他們的系數(shù)相乘，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

單項式乘以多項式 就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.依據(jù)是

.

多項式與多項式相乘 用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

二 .乘法公式

乘法公式是整式乘法的特殊情形.運用乘法公式能迅速而簡潔地進行一些整式相乘的運算.

平方差公式：

注意：平方差公式展開只有兩項.

公式的特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).

完全平方公式：

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號和前一個樣.

三. 因式分解

因式分解是多項式的一種恒等變形.因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數(shù)學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用，是重要的數(shù)學基礎知識.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的運算，同學們在學習時必須能夠弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系.

分解因式基本概念：

※把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.

※因式分解與整式乘法是互逆關系.

因式分解的思路與解題步驟：

（1）看各項有沒有公因式，若有，先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

（3）因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

（4）因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

因式分解的基本方法

Ⅰ提公因式法

概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如：

概念內(nèi)涵：

（1）因式分解的最后結果應當是“積”；

（2）公因式可能是單項式，也可能是多項式；

（3）提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律，即：

方法：

（1）找多項式中的公因式；公因式的構成一般情況下有三部分：①系數(shù)----各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母----各項含有的相同字母；③指數(shù)----相同字母的最低次數(shù)；

（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

（3）注意點①提取公因式后各因式應該是最簡形式②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.

易錯點點評：

（1）注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯；

（2）公因式是否提“干凈”；

（3）多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1，不漏掉.

Ⅱ公式法

運用公式法分解因式的實質(zhì)是：把乘法公式反過來使用.常用的公式：

①平方差公式：

（應是二項式，且每項（不含符號）都是一個整式的平方；二項是異號.）

②完全平方公式： 、

（應是三項式；其中兩項同號，且各為一整式的平方； 還有一項可正負，且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.）

因式分解中需要注意的幾個問題

1.分解的對象是多項式.而對于 的變形過程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.

2. 要把結果化為幾個因式的積，而不是把部分化為積的形式.有些同學在分解因式時，容易出現(xiàn)這樣的錯誤

= ，

它不符合因式分解的定義，應分解為 =

3.不要分解后又乘回來

有些同學對多項式因式分解后，又按整式乘法把它變成一個多項式，這是同學們因式分解時易犯錯誤.