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(寧波中學(xué) 浙江寧波 315100)

●楊樟松

(衢州第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

俗話說(shuō):“要給學(xué)生一杯水，教師得有一桶水.”可見教師自身的專業(yè)素養(yǎng)的重要性.那么如何提高教師的專業(yè)素養(yǎng)呢？為此學(xué)校、教育局每年都為教師提供各種各樣的培訓(xùn)．但要從根本上提高教師的專業(yè)素養(yǎng)還是要靠日積月累，反思日常教學(xué)中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴.波斯納提出“教師的成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思”，就是一條教師的專業(yè)成長(zhǎng)之路．教師的專業(yè)發(fā)展需要教師成為反思型、學(xué)習(xí)型、創(chuàng)新型人才，而同伴互助、相互交流，是實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的一條好途徑．

1 提出問題,直觀解答

在解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中我們總會(huì)遇到一些困惑，而這些困惑在大家的討論中總可以得到解決，我們也能從中得到啟迪．在同伴互助的過(guò)程中,教師的專業(yè)素養(yǎng)得到了發(fā)展．

某一天，教師A提出了一個(gè)關(guān)于空間軌跡的問題．

圖1

問題如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)M是棱CC1的中點(diǎn)，P是平面ABB1A1內(nèi)的點(diǎn)，且滿足∠PDB1=∠MDB1，則點(diǎn)P的軌跡是

( )

A．圓 B．橢圓

C．拋物線 D．雙曲線

教師X的想法是：當(dāng)截面與圓錐的一條母線平行時(shí)，截得的曲線是拋物線．因?yàn)闈M足∠PDB1=∠MDB1的點(diǎn)P的軌跡在以DB1為軸、軸截面頂角為2∠MDB1的圓錐面上，又點(diǎn)P在平面ABB1A1內(nèi)，所以點(diǎn)P的軌跡是平面截圓錐所得的曲線．又因?yàn)镈M∥ABB1A1，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線．

2 得出矛盾，另辟蹊徑

然而參考答案是D，即軌跡是雙曲線．于是教師J也來(lái)參與這個(gè)問題的討論．

教師J采用空間向量的方法解決了它．如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系D1-xyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，且P(2,x,y)，則

由于∠PDB1=∠MDB1，由向量夾角公式得

代入坐標(biāo)得

整理得

2x2+5xy+2y2-20x+2y-4=0,(1)

對(duì)于方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，當(dāng)Δ=B2-4AC<0時(shí)，方程代表的曲線是橢圓；當(dāng)Δ=B2-4AC>0時(shí)，方程代表的曲線是雙曲線；當(dāng)Δ=B2-4AC=0時(shí)，方程代表的曲線是拋物線．而方程(1)中

Δ=52-4×2×2=9>0，

因此點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．當(dāng)然也可作旋轉(zhuǎn)變換

代入整理得點(diǎn)P的軌跡方程為

圖2

3 生疑釋疑，再得矛盾

由此得出了2個(gè)矛盾的答案，但是好像都找不到各自解題的破綻．于是教師C也加入這個(gè)研究行列．教師C首先肯定了教師X的想法，并給出了如下結(jié)論：

結(jié)論如圖2，已知A1B1⊥AB，O1K∥母線SA，A1B1與O1K構(gòu)成的截面設(shè)為α，可證平面α截圓錐所得曲線為拋物線．

證明設(shè)P為截線上一點(diǎn)，在圓錐內(nèi)部放1個(gè)球O，使得它與圓錐側(cè)面和截面α相切，球O與截面α切于點(diǎn)F，與母線SA切于點(diǎn)M，作MK∥AB交O1K于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)M作平行于底面的平面交SP于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作平行于底面的平面β交母線SA于點(diǎn)N，在平面α內(nèi)作CK⊥O1K，K是垂足，過(guò)點(diǎn)P作CK的垂線，交CK于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)MC，則PC∥O1K∥SA．因?yàn)锳1B1⊥AB,A1B1⊥SO1，所以A1B1⊥平面SAO1，從而A1B1⊥SA.又因?yàn)镺1K∥SA，得A1B1⊥O1K，又CK⊥O1K，所以CK∥A1B1，從而平面MCK∥底面，所以平面MCK∥平面β．平面MNPC與平面MCK、平面β分別交于MC,NP，從而MC∥NP，于是四邊形MNPC是平行四邊形，故MN=PC．

又因?yàn)镸N=PE(圓臺(tái)的母線長(zhǎng)相等)，PE=PF(球外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)相等)，從而PF=PC，即曲線上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F和定直線CK的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線．

經(jīng)過(guò)反復(fù)檢查后我們肯定教師J的解法是正確的，但教師C的證明似乎又是合理的，那么問題到底出在哪里呢？

4 尋根究源，解決問題

第2天，我們接著討論．找到有關(guān)圓錐面被平面截得交線方面的書籍，仔細(xì)研讀后，終于發(fā)現(xiàn)了問題所在.

我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，截得的曲線是圓．用不垂直于圓錐的旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角不同時(shí)，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線．教材第42頁(yè)的探究與發(fā)現(xiàn)中“為什么截口曲線是橢圓”證明了為什么一個(gè)平面截圓錐所得曲線是橢圓，但是沒有說(shuō)明滿足什么條件的平面截得的曲線是橢圓．于是我們開始研究：一個(gè)平面以什么樣的角度去截圓錐，可以使所得曲線分別為圓、橢圓、雙曲線、拋物線？

圖3

經(jīng)過(guò)共同努力，我們查證到文獻(xiàn)[1]中記載：拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線，因?yàn)樗鼈兌伎梢杂貌唤?jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面得到．如圖3,設(shè)圓錐面的半頂角為α，截面和圓錐面的旋轉(zhuǎn)軸所夾的角為θ，則

(3)當(dāng)θ=α?xí)r，截得的交線為拋物線；

(4)當(dāng)0≤θ<α?xí)r，截得的交線為雙曲線．

在教師C的證明過(guò)程中，雖然截面平行于某一母線，但因?yàn)榻孛姒僚c平面SAO1垂直，所以截面α與圓錐軸的夾角正好等于半頂角，從而截口為拋物線．而問題中的截面與軸的夾角為∠DB1A，顯然小于半頂角∠B1DM，由此可得點(diǎn)P的軌跡確實(shí)是雙曲線．

教師X，J起初顯然沒有從截面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角上來(lái)考慮，而是從平面與母線是否平行來(lái)考慮，他們認(rèn)為：當(dāng)截面與軸截面的2條母線相交時(shí)，截得的交線為橢圓；當(dāng)截面與旋轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，截得的交線為雙曲線；當(dāng)截面與旋轉(zhuǎn)軸垂直時(shí)，截得的交線為圓；當(dāng)截面與母線平行時(shí)，截得的交線為拋物線.因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論是從教材的章首圖像中直觀得出的，并沒有作過(guò)深入的研究，從而導(dǎo)致了對(duì)其認(rèn)識(shí)的片面性．

5 舉一反三，探究規(guī)律

為了讓學(xué)生能充分掌握這個(gè)問題，經(jīng)共同研究后將上面的問題作了如下變式：

變式1如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，平面ABB1A1內(nèi)的點(diǎn)P滿足∠PDB1=∠C1DB1，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線．

圖4 圖5 圖6

變式2如圖5，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)M是棱B1C1的中點(diǎn)，平面ABB1A1內(nèi)的點(diǎn)P滿足∠PDB1=∠MDB1，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．

變式3如圖6，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，平面A1BC1內(nèi)的點(diǎn)P滿足∠PDB1=∠C1DB1，則點(diǎn)P的軌跡是圓．

6 反思

新課程改革更加注重提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，浙江省的教師培訓(xùn)、學(xué)校的校本培訓(xùn)等等都是通過(guò)專家、名師的引領(lǐng)來(lái)提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，為教師提供最新的教育理念、教育信息以及各種操作技能．他們的教學(xué)中蘊(yùn)含著深刻的教育理念、深厚的文化底蘊(yùn)、高超的駕馭技巧.故向他們學(xué)習(xí)是我們提高專業(yè)素養(yǎng)的途徑之一，但是這樣的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)并不多．因?yàn)樵诮虒W(xué)中接觸最多的是同伴，所以同伴互助是提高專業(yè)素養(yǎng)的另一途徑．同伴互助作為一種新的教學(xué)策略和學(xué)習(xí)方式，它適用于教師和學(xué)生；適用于數(shù)學(xué)及各個(gè)學(xué)科的教學(xué)和學(xué)習(xí)．通過(guò)同伴交流，解決問題，引起反思，共同分享經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行專業(yè)切磋，可以不斷促進(jìn)教師共同成長(zhǎng)．

當(dāng)然要實(shí)現(xiàn)同伴的交流，需要良好的研討氛圍，在教學(xué)過(guò)程中找到值得探究的問題，如數(shù)學(xué)問題，課堂的教學(xué)問題.提出一個(gè)問題就是一個(gè)研討的抓手，如教師C提出的問題：“學(xué)生熟練掌握了二次函數(shù)的平移，而對(duì)一次函數(shù)的左右平移卻經(jīng)常出錯(cuò).”教師G提出的問題“為什么學(xué)生對(duì)解題的技巧重視程度大大超過(guò)對(duì)解題方法的重視程度？”對(duì)諸如此類的問題,我們都做過(guò)認(rèn)真的研討，有時(shí)找學(xué)生，讓學(xué)生談?wù)勛约旱乃伎歼^(guò)程和想法.有不明白的地方，找書籍、雜志等學(xué)習(xí).這樣的討論既可以提高專業(yè)水平，也會(huì)帶來(lái)快樂.

新課改提倡要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，教師在備課過(guò)程中深入了解概念，明白概念的來(lái)龍去脈,學(xué)習(xí)解決問題的方法，通過(guò)交流解決是再好不過(guò)的方式.當(dāng)你把一個(gè)思想與他人交流時(shí),有時(shí)可以得到2個(gè)思想,交流可以讓思想碰撞出火花.同伴互助不僅可以解決問題，也應(yīng)成為教師的一種生活方式.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 周榮理．截得的交線是怎樣的圓錐曲線[J]．成功(教育),2008(6):55-58.

[2] 左璜,黃甫全．國(guó)外同伴互助學(xué)習(xí)的研究進(jìn)展與前瞻[J]．外國(guó)教育研究,2010(4):53-59.

[3] 徐曼．教師同伴互助的問題及研對(duì)策研究[J]．科學(xué)咨詢(教育科研),2009:45-47.

[4] 朱蓮蓮．教師專業(yè)素養(yǎng)哪里來(lái)[J]．福建論壇(社科教育版),2008(3):67-68.