楊柳嬌，舒 暢，莫智文*

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066； 2.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)系，四川成都610059)

模糊集理論［1］是美國(guó)學(xué)者Zadeh在1965年提出的一種處理不精確和不確定問(wèn)題的強(qiáng)有力數(shù)學(xué)工具，隨著模糊集理論的發(fā)展，Zadeh模糊集只考慮隸屬度一個(gè)方面的信息已不能滿足實(shí)際需要.為此對(duì)Zadeh模糊集進(jìn)行拓展，保加利亞學(xué)者Atanassov綜合考慮了隸屬度，非隸屬度和猶豫度3個(gè)方面的信息，于1983年提出了直覺(jué)模糊集［2］的概念，并被廣泛應(yīng)用于決策，模式識(shí)別，數(shù)據(jù)挖掘等許多領(lǐng)域.

不完備信息系統(tǒng)是指信息系統(tǒng)中出現(xiàn)了未知屬性值［3-7］，不完備信息系統(tǒng)中的未知屬性值可以從兩種不同的語(yǔ)義來(lái)解釋.第一是所有的未知屬性值被認(rèn)為是丟失的，是不允許被比較的:第二是所有的未知屬性值僅僅是被遺漏的，但又是確實(shí)存在的.目前為止，很多學(xué)者只考慮不完備信息系統(tǒng)中僅有一種可能的解釋而沒(méi)有考慮遺漏型和丟失型未知屬性值共存的情況，文獻(xiàn)［8］中將這種不完備系統(tǒng)稱為廣義不完備信息系統(tǒng).

目前，對(duì)直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的研究甚少.文獻(xiàn)［9］對(duì)基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系對(duì)完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)與決策信息表的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題進(jìn)行了研究.謝海等［10］對(duì)文獻(xiàn)［9］中的優(yōu)勢(shì)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)充進(jìn)而討論了基于廣義優(yōu)勢(shì)關(guān)系得到了不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)與決策信息表的屬性約簡(jiǎn)和相對(duì)約簡(jiǎn)［10］.但文獻(xiàn)［10］只討論了系統(tǒng)中未知屬性值丟失的情況并未討論系統(tǒng)中屬性值遺漏和某一屬性值中部分丟失共存的情況，故本文給出廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的定義，并對(duì)系統(tǒng)作完備化處理，引入特征關(guān)系再作研究.

1 廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)

不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)中的基本概念如下:

定義1.1［1］論域U上的模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)〉|x∈U}，其中 μA:U→［0，1］是A的隸屬函數(shù)，μA(x)∈［0，1］是x屬于A的隸屬度.

定義1.2［2］論域U上的直覺(jué)模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)，νA(x)〉|x∈U}，其中 μA(x)稱為x屬于A的隸屬度，νA(x)稱為x不屬于A的隸屬度，并且滿足關(guān)系式0≤μA(x)+νA(x)≤1.稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x屬于A的猶豫度或不確定度，顯然 πA(x)∈［0，1］，?x∈U.

定義 1.3［9］稱一個(gè)四元組S=(U，AT，V，f)為信息系統(tǒng)，其中U為有限非空對(duì)象集；AT為有限非空屬性集；V為屬性值值域；f為對(duì)象屬性值映射，即U={x1，x2，…，xn}，AT={a1，a2，…，an}，V=∪Va，a∈AT，Va為屬性a的值域，f:U×AT→V，且f(x，a)∈Va.若Va的每個(gè)元素均為直覺(jué)模糊對(duì)，即對(duì)?x∈U，a∈AT，都有f(x，a)=(μa(x)，νa(x))，則稱該信息系統(tǒng)為直覺(jué)模糊信息系統(tǒng).若μa(x)=1-νa(x)，則該信息系統(tǒng)退化為一般的信息系統(tǒng).

定義1.4［10］在定義3中，對(duì)某些對(duì)象而言，其所對(duì)應(yīng)的一些屬性值可能會(huì)存在缺省的情況，將缺省的屬性值稱為空值，并用“*”表示空值.如果至少有一個(gè)屬性a∈AT，使得Va含有空值，則稱此系統(tǒng)為不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng).

為了使信息系統(tǒng)更接近現(xiàn)實(shí)的詳細(xì)情況，給出下面的定義:

定義1.5廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)有4種情況:

1)f(x，a)=(*，νa(x))不知道x屬于A的隸屬度.

2)f(x，a)=(μa(x)，*)不知道x不屬于A的隸屬度.

3)f(x，a)=(*，*)不知道x屬于A的隸屬度，也不知道x不屬于A的隸屬度.

4)f(x，a)=?屬性值是丟失的，不允許被比較.

例1.1表1給出一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng).

表1 廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)Table 1 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

對(duì)于上面的不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)顯然不能用一般的關(guān)系來(lái)處理，需要建立針對(duì)缺失值“*”和遺漏值“?”的關(guān)系，這種關(guān)系稱為特征關(guān)系.設(shè)S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，針對(duì)上面出現(xiàn)的4種情況作如下處理:

1)f(x，a)=(*，νa(x))，* =(1- νa(x))∧max(μa(xi)).

2)f(x，a)=(μa(x)，*)，* =(1- μa(x))∧min(νa(xi)).

3)f(x，a)=(*，*)，(*，*)=(max(μa(xi))，(1-max(μa(xi)))∧min(νa(xi))).

4)f(x，a)=?.

這樣表1就可以轉(zhuǎn)變?yōu)楸?.

定義 1.6［11］記L={(x1，x2)∈［0，1］×［0，1］|0≤x1+x2≤1}，格(L，≤L)上的序關(guān)系≤L定義為(x1，x2)≤L(y1，y2)?x1≤y1，x2≥y2.

定義1.7［10］在直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)中，如果f(x，a)≥Lf(y，a)，就說(shuō)x關(guān)于a占優(yōu)于y，記作x?ay.

表2 廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)Table 2 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

結(jié)合以上情況給出廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)中的特征關(guān)系如下:

定義1.8設(shè)S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，對(duì)于A?AT，稱

為廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的特征關(guān)系.

此關(guān)系認(rèn)為如果論域中的2個(gè)元素對(duì)應(yīng)的屬性值除含有丟失值的外都滿足x?ay，那么就將這兩元素劃分為一類.

顯然，此特征關(guān)系滿足自反性，傳遞性，但不滿足對(duì)稱性.

2 廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)基于特征關(guān)系的屬性約簡(jiǎn)

定義2.1設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，若A?AT，LRA=LRAT，且LRB≠LRA，?B?A，則稱A是S的一個(gè)約簡(jiǎn).

定義2.2設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，稱

為在特征關(guān)系下可辨識(shí)x與y的屬性集，矩陣LDAT={LDAT(x，y)|x，y∈U}稱為該廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣.

定理2.1設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，則A是約簡(jiǎn)集??(x，y)?LRAT，則有A∩LDAT(x，y)≠?.顯然，由約簡(jiǎn)的定義和辨識(shí)矩陣的定義易得此定理成立.

定義2.3設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，稱為該廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)公式.

表3 廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣Table 3 Discernibility matrix of generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

例2.1表1的辨識(shí)矩陣如表3所示.

由定義2.3可得上表的辨識(shí)公式△=a1∧a2∧a4.因此該廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)約簡(jiǎn)為a1，a2，a4.

3 廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)基于特征關(guān)系的屬性約簡(jiǎn)

定義3.1設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，其中AT為條件屬性集，d為決策屬性，且AT∩d=?，f(x，d)為單值的有序?qū)嵵?記LDd={(x，y)|f(x，d)≥f(y，d)}，如果LRAT?LDd，則稱該決策信息系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的.

表4 協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)Table 4 Coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

例3.1如表4 所示，設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)，且

顯然LRAT?LDd，所以該決策信息系統(tǒng)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng).

定義3.2設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)，若A?AT，LRA?LDd，且LRBLDd，?B?A，則稱A是決策信息系統(tǒng)S的一個(gè)相對(duì)約簡(jiǎn).

定義3.3設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)，稱

為可辨識(shí)x與y的屬性集，矩陣稱為該決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣.

定理3.1設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)，則A是約簡(jiǎn)集??(x，y)?LDd，則有

顯然，由約簡(jiǎn)的定義和辨識(shí)矩陣的定義易得此定理成立.

定義3.4設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)，稱

為該決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)公式.

例3.2計(jì)算表4的辨識(shí)矩陣如表5所示.

表5 協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣Table 5 Discernibility matrix of coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

由定義3.4可得上表的可辨識(shí)公式△=a1，即該決策信息系統(tǒng)的相對(duì)約簡(jiǎn)為a1.

4 結(jié)語(yǔ)

本文將文獻(xiàn)［10］中的不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)拓展為廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)，它的未知屬性值有4種情況，因而更具有代表性.引入特征關(guān)系分別討論了廣義不完備直覺(jué)模糊信息系統(tǒng)和協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)和相對(duì)約簡(jiǎn).下一步的工作是對(duì)不協(xié)調(diào)廣義不完備直覺(jué)模糊決策信息系統(tǒng)的進(jìn)一步研究.

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