頓調(diào)霞，李永祥

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

1 預(yù)備知識(shí)

三階微分方程有著深刻的力學(xué)與物理背景，可以利用它研究電磁波或者重力流等.近年來對(duì)各類三階微分方程邊值問題的研究十分活躍，多種非線性分析的工具與方法被應(yīng)用于三階微分方程邊值問題的研究當(dāng)中［1-14］，主要有基于微分不等式的方法、拓?fù)涠确椒ā⑸舷陆夥椒ㄅc單調(diào)迭代技巧等.文獻(xiàn)［1］在非線性項(xiàng)滿足超線性或次線性增長的情況下，考察了問題

正解的存在性.文獻(xiàn)［2］利用 Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理討論了當(dāng)非線性項(xiàng)f(t，u)可以在t=0，t=1及u=0處奇異時(shí)邊值問題(1)正解的存在性與多解性.文獻(xiàn)［3］應(yīng)用上下解方法討論了三階兩點(diǎn)邊值問題

其中f:［0，1］×R→R連續(xù)，獲得了一些解的存在性結(jié)果.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，在用不等式條件描述非線性項(xiàng)增長的條件下，研究三階常微分方程兩點(diǎn)邊值問題

正解的存在性，其中f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續(xù).函數(shù)u*稱為問題(3)的正解，如果u*是(3)式的解，并且u*(t) ＞0，0 ＜t≤1.

2 預(yù)備工作

設(shè)C［0，1］為定義在［0，1］上的連續(xù)函數(shù)全體按范數(shù)構(gòu)成的 Banach 空間.

引理 1［4］對(duì)?h∈C［0，1］，線性兩點(diǎn)邊值問題

引理2通過直接計(jì)算可得，由(6)式定義的函數(shù)G(t，s)具有下列性質(zhì)

假設(shè)f:［0，1］×［0，∞ )→［0，∞ )連續(xù)，對(duì)?u∈C［0，1］，定義

則F:C［0，1］→C+［0，1］連續(xù).這里C+［0，1］={u∈C［0，1］|u(t)≥0，t∈［0，1］}為C［0，1］中的正元錐.

引理 3設(shè)f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續(xù)，則A(C［0，1］)?K且A:K→K全連續(xù).

證明設(shè)u∈C［0，1］，對(duì)，根據(jù)(8)式有

因此Au∈K，從而A(C［0，1］)?K，A的全連續(xù)性可由Arzela-Ascoli定理推出.證畢.

于是由算子T的定義，邊值問題(3)的正解等價(jià)于A在錐K中的不動(dòng)點(diǎn).

本文的主要工具是下面的錐拉伸與錐壓縮型的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理.

引理4［7］設(shè)E為Banach空間，K是E中的一個(gè)閉凸錐，Ω1、Ω2都是K中的有界子集滿足θ∈Ω1，ˉΩ1?Ω2，T:K∩(ˉΩ2Ω1)→K為全連續(xù)映射，若下列條件之一成立:

1) ‖Tu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω2；

2) ‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω2.則T在K∩(ˉΩ2Ω1)中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)果

定理 1設(shè)f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續(xù)，若下列條件之一成立:

(H1)1) ?δ＞0，使得當(dāng)x∈Kδ時(shí)，f(t，x)≤12x；

2)及H＞0，使得當(dāng)x≥H時(shí)，f(t，x)≥mx，

(H2)1)及 δ＞0，使得當(dāng)x∈Kδ時(shí)，f(t，x)≥mx；

2) ?H＞0，使得當(dāng)x≥H時(shí)，f(t，x)≤12x，則邊值問題(3)至少存在一個(gè)正解，其中Kδ=K∩ˉB(0，δ).

證明假設(shè)(H1)成立，取0＜r＜R＜+∞，令

則 θ∈Ω1且 ˉΩ1?Ω2.

首先證明，當(dāng)r適當(dāng)小時(shí)，有‖Au‖≤‖u‖，u∈?Ω1∩K.

取r∈(0，δ)，其中 δ為條件(H1)的 1)中的常數(shù).從而，當(dāng)u∈?Ω1∩K時(shí)，有0＜u(s)≤‖u‖ =r＜δ，?s∈(0，1)，由條件 (H1)的 1)知:對(duì)?s∈(0，1)，f(s，u(s))≤12u(s)≤12‖u‖，所以

［1］蔣達(dá)清.三階非線性微分方程正解的存在性［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996，28(4):6-10.

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