趙 蕾，鄧宇龍

(1.西藏大學(xué)理學(xué)院，西藏拉薩850000； 2.湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南永州425199)

為了研究二階橢圓偏微分方程解的局部性質(zhì)，C.B.Jr.Morrey［1］引 進(jìn) 了 齊 型 Morrey 空 間Lp，λ(Rn)(1≤p＜∞，0＜λ＜n).Morrey空間在二階橢圓微分方程解的局部性質(zhì)研究中有著廣泛的應(yīng)用［2-3］.

交換子理論在算子理論研究中有極其重要的作用.A.P.Calderón［4］于1965 年研究了一類交換子，它出現(xiàn)在沿Lip曲線的Cauchy積分問(wèn)題中［5］.R.Coifman等在文獻(xiàn)［6］中證明了奇異積分交換子Tb的Lp(Rn)有界性.C.Pérez等［7］定義了奇異積分多線性交換子Tb(f)，且證明了Tb(f)的Lp(Rn)有界性.

本文主要討論了次線性算子T與BMO函數(shù)生成的多線性交換子Tb在齊型Morrey空間上的有界性.得到了在Lp(Rn)有界的情況下，Tb是有界的.設(shè)次線性算子T:

其中，f∈L1(Rn)，f具有緊支撐且?x■supp(f)，不等式

成立.在調(diào)和分析中有許多算子滿足(1)式，例如Calderón-Zygmund 算子、C.Fefferman 奇異乘子、R.Fefferman奇異積分算子、Riui-Stein震蕩積分算子、臨界階的 Bochner-Riesz算子等［8］.更多關(guān)于滿足(1)式的次線性算子T和它的交換子Tb的研究參見(jiàn)文獻(xiàn)［9-15］.

1 主要定理

2 定理的證明

［1］Morrey C B Jr.On the solution of quasi:linear partial differential equations［J］.Trans Am Math Soc，1938，43(1):126.

［2］Chiarenza F，F(xiàn)rasca M.Morrey space and Hardy-Littlewood maximal function［J］.Rend Math，1987，7:273-279.

［3］Fazio G D，Ragusa M A.Interior estimates in morrey spaces for strong solutions to nondivergence from equations with discontinuous coefficients［J］.J Funct Anal，1993，112(2):164.

［4］Calderón A P.Commutators of singular integral opertors［J］.Proc Nat Acad Sci USA，1965，53:1092-1099.

［5］ Calderón A P.Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators［J］.Proc Nat Acad Sci USA，1977，74(4):1324-1327.

［6］Coifman R，Rochberg R，Weiss G.Fractorization theorems for Hardy spaces in several variables［J］.Ann Math，1976，103:611-635.

［7］Pérez C，Trujllo-Gonzalez G.Sharp weighted estimates for multilinear commutators［J］.London Math Soc，2002，65:672-692.

［8］Lin Y，Lu S Z.Multilinear Calderon-Zygmund operator on Morrey type spaces［J］.Anal Theory Appl，2006，22(4):387-400.

［9］Fan D，Lu S Z，Yang D C.Regularity in morrey spaces of strong solutions to nondivergence elliptic equations with VMO coefficients［J］.Georgian Math，1998，5:425-440.

［10］曹俊峰，蔡宇澤.交換子在Morrey-Herz空間上的有界性［J］.蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，24(3):15-19.

［11］Tao S P，Wu J L，Sun X C.Boundedness for commutators on homogenceneous Morrey-Herz spaces［J］.J Mathematics，2009，29(1):21-26.

［12］徐莉芳.齊次Morrey-Herz空間上交換子的有界性［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，33(3):10-14.

［13］Bandaliev R A.The boundedness of certain sublinear operator in the weighted variable Lebesgue spaces［J］.Czechoslovak Math J，2010，60:327-337.

［14］Guliyev V S，Aliyev S S，Karaman T.Boundedness of a class of sublinear operator and their commutators on generalized Morrey spaces［J/OL］.Abstract and Applied Analysis，2011，2011:356041.http://dx.doi.org/10.1155/2011/356041.

［15］王麗娟，束立生.一類次線性算子交換子在Morrey-Herz空間上的有界性［J］.南京大學(xué)學(xué)報(bào):數(shù)學(xué)半年刊，2013，30(1):15-19.

［16］Lu S Z.Four Lectures on RealHpSpaces［M］.Singapore:World Scientific Publishing Company，1995.

［17］劉紅海.Bochner-Riesz極大多線性交換子的有界性［D］.長(zhǎng)沙:湖南大學(xué)，2007.