蔡 劍

(南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇南京 211156)

民辦獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀分析及改革研究*

蔡 劍

(南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇南京 211156)

民辦獨(dú)立學(xué)院課程的教學(xué)模式通常照搬母體本科高校，在教學(xué)中易出現(xiàn)“水土不服”現(xiàn)象，因此有必要針對(duì)民辦獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的特點(diǎn)，探索合理的教學(xué)模式.以邏輯性、抽象性較強(qiáng)的基礎(chǔ)課程線性代數(shù)教學(xué)為例,提出了以理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)主線為牽引，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)新模式，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，提高民辦獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量.

線性代數(shù)；教學(xué)；改革

1 現(xiàn)狀分析

民辦獨(dú)立學(xué)院始于上世紀(jì)90年代末期，是由本科高校與社會(huì)力量聯(lián)合辦學(xué)，進(jìn)行本科層次教育的機(jī)構(gòu).獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)模式通常與母體本科高校保持一致.獨(dú)立學(xué)院招收的生源主要集中在二本線與三本線之間，而母體本科高校的生源高考分?jǐn)?shù)通常在一本線以上.由于獨(dú)立學(xué)院與母體本科高校學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力及學(xué)習(xí)基礎(chǔ)均存在較大差異，簡(jiǎn)單照搬母體本科高校的教學(xué)模式，在教學(xué)過程中容易出現(xiàn)兩級(jí)分化嚴(yán)重、不及格率過高等教學(xué)“水土不服”現(xiàn)象，制約了民辦獨(dú)立學(xué)院教學(xué)質(zhì)量的進(jìn)一步提高.為了解決由照搬教學(xué)模式產(chǎn)生的問題，必須針對(duì)獨(dú)立學(xué)院課程與學(xué)生的特點(diǎn)開展研究，因地適宜、因材施教，形成合適的課程教學(xué)模式[1，2].

線性代數(shù)是民辦獨(dú)立學(xué)院與母體本科高校均開設(shè)的一門基礎(chǔ)課程，它集理論性和實(shí)踐性于一體[3-5]，是許多專業(yè)課程的理論基礎(chǔ)，該課程的學(xué)時(shí)通常為32～40學(xué)時(shí).母體本科高校在講授該課程時(shí)，通常將授課重點(diǎn)集中在抽象理論的證明與推導(dǎo)上，對(duì)于教材中的實(shí)踐案例通常由學(xué)生課后拓展.由于母體本科高校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)、自學(xué)能力較強(qiáng)，該教學(xué)模式獲得了較好的教學(xué)效果.照搬母體本科高校線性代數(shù)主理論、輔實(shí)踐的教學(xué)模式顯然不適合民辦獨(dú)立學(xué)院，因此有必要在課程學(xué)時(shí)不變的條件下，探索教學(xué)中兼顧理論與實(shí)踐新模式.

本文在分析民辦獨(dú)立學(xué)院教學(xué)模式現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，以線性代數(shù)課程為例，提出一種新的課程教學(xué)模式.該模式將線性代數(shù)課程的理論知識(shí)與實(shí)踐背景結(jié)合成教學(xué)主線，在教學(xué)過程中以主線為牽引協(xié)助學(xué)生理解，并在理論與實(shí)踐教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，增設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等教學(xué)環(huán)節(jié)，豐富教學(xué)形式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率.通過教學(xué)模式改革加強(qiáng)民辦獨(dú)立學(xué)院教學(xué)中的實(shí)踐能力培養(yǎng)，提高線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量，形成適合民辦獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)模式.

2 改革研究

2.1 建立以理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)主線

建立教學(xué)主線，有助于學(xué)生建立知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，協(xié)助知識(shí)點(diǎn)記憶與應(yīng)用.線性代數(shù)課程如能建立一條教學(xué)主線，將繁多的理論知識(shí)聯(lián)系在一起，勢(shì)必可以大幅提升學(xué)生的理解能力，便于抽象理論知識(shí)的理解與應(yīng)用.

以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的線性代數(shù)教材為例，教學(xué)內(nèi)容的章節(jié)依次是：行列式、矩陣及運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型[6].從章節(jié)名稱上看，每個(gè)章節(jié)都是沒有聯(lián)系的新知識(shí)，若在教學(xué)中不將上述章節(jié)通過主線串聯(lián)，學(xué)生在上述章節(jié)知識(shí)學(xué)習(xí)中很難發(fā)現(xiàn)各章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系，使知識(shí)點(diǎn)難以理解與記憶，不斷開啟的新章節(jié)還會(huì)沖淡已學(xué)習(xí)的知識(shí)，使學(xué)生在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中不斷產(chǎn)生挫敗感，從心理上對(duì)課程產(chǎn)生畏懼.如果教師在授課過程中將知識(shí)點(diǎn)以教學(xué)主線牽引，使學(xué)生沿著教學(xué)主線學(xué)習(xí)，將每一章內(nèi)容均作為主線上的分支，那么勢(shì)必會(huì)顯著改善教學(xué)效果，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

從線性代數(shù)教材所排列的各個(gè)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的理論與實(shí)踐角度分析，線性代數(shù)教材中各個(gè)章節(jié)的理論知識(shí)均以“線性方程組的求解”作為實(shí)踐目的，因此以“線性方程組的求解”作為教學(xué)主線，可以使學(xué)生了解每一章知識(shí)的用處，比較每一種求解方法的區(qū)別，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶與應(yīng)用.

在教學(xué)過程中，除了教師由上向下灌輸“線性方程組的求解”的教學(xué)主線外，還要在知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)中不斷證明該教學(xué)主線的存在，讓學(xué)生逐步體會(huì)該教學(xué)主線.

以第一章教學(xué)內(nèi)容中的克拉默法則、第二章教學(xué)內(nèi)容中的矩陣、第三章教學(xué)內(nèi)容中的矩陣的初等變換教學(xué)內(nèi)容為例，將三章內(nèi)容依據(jù)“線性方程組的求解”的教學(xué)主線串聯(lián)，可以采用以下教學(xué)模式.

首先，在教學(xué)中介紹克拉默法則，已知n個(gè)未知變量n個(gè)方程的線性方程組

如果系數(shù)行列式D≠0，則該方程組有解，并且有唯一的解.

通過克拉默法則知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)將知識(shí)點(diǎn)與線性方程組求解建立聯(lián)系，將該知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)作為求解線性方程組的一種分支方法.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考該法則的適用范圍，讓學(xué)生思考“系數(shù)行列式D=0”、“未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不同”兩種條件下克拉默法則能否求解方程組？該問題的回答顯然是否定的.

通過克拉默法則的教學(xué)使學(xué)生了解學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的作用，并熟悉知識(shí)點(diǎn)用于求解線性方程組的條件，從而引出后續(xù)矩陣章節(jié)的知識(shí)點(diǎn).

其次，在行列式章節(jié)學(xué)習(xí)后進(jìn)行矩陣、矩陣的初等變換等知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，將矩陣、矩陣的初等變換與線性方程組的求解再次建立聯(lián)系，該過程可以通過一個(gè)算例來具體描述，算例如例1所示.

例1 求線性方程組

的解.

則方程組的解為

其中x3，x4為自由未知量.

在算例教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生回憶前面章節(jié)所學(xué)的克拉默法則知識(shí)點(diǎn).該方程用克拉默法則無法求解，但是可以通過矩陣的初等變換求解，獲得的解為含有未知量的解的表達(dá)式，賦予未知量不同值可以獲得無窮多組解.

通過克拉默法則與矩陣、矩陣初等變換的比較教學(xué)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)“線性方程組的求解”的教學(xué)主線，使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，建立起知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.

以理論與實(shí)踐結(jié)合為教學(xué)主線的教學(xué)模式，有助于理清抽象知識(shí)點(diǎn)相互之間的聯(lián)系，由淺入深、側(cè)重實(shí)踐，既考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又兼顧民辦獨(dú)立學(xué)院培養(yǎng)人才的目標(biāo)，有助于線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量的進(jìn)一步提升.

2.2 理論聯(lián)系實(shí)踐，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

民辦獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)目的主要是培養(yǎng)應(yīng)用型、實(shí)踐型人才，因此在教學(xué)過程中應(yīng)該重點(diǎn)突出課程知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用與實(shí)踐.線性代數(shù)課程理論知識(shí)較為抽象，但其知識(shí)點(diǎn)已在工程各大領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，為了能使民辦獨(dú)立學(xué)院學(xué)生迅速將知識(shí)點(diǎn)學(xué)以致用，可以在課程教學(xué)中引入以線性代數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用于實(shí)踐的能力.

例如，在進(jìn)行特征向量教學(xué)過程中，可以引入以下數(shù)學(xué)建模算例.

例2經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，某森林啄木鳥和蛀蟲的數(shù)量具有如下規(guī)律：如果沒有蛀蟲做食物，每個(gè)月只有一半的啄木鳥可以存活，如果沒有啄木鳥作為捕食者，蛀蟲的數(shù)量每個(gè)月會(huì)增加10%，如果蛀蟲充足(數(shù)量為R)，則下個(gè)月啄木鳥的數(shù)量將會(huì)增加0.4R.平均每個(gè)月每只啄木鳥的捕食會(huì)導(dǎo)致104只蛀蟲死亡.試確定該系統(tǒng)的演化情況.

(1)模型假設(shè)

不考慮其他因素對(duì)啄木鳥和蛀蟲的數(shù)量的影響.

(2)模型建立

Ok+1=0.5Ok+0.4Rk，

Rk+1=-0.104Ok+1.1Rk，

分析xk的變化趨勢(shì).

(3)模型求解

則初始向量x0=c1ξ1+c2ξ2.

于是，對(duì)于k≥0，

當(dāng)k→時(shí)，(0.58)k迅速地趨向于0.假定c1>0，則對(duì)于所有足夠大的k，xk近似地等于c1(1.02)kξ1，即

k越大近似程度越高，所以對(duì)于充分大的k，

(4)模型分析

上面等式表明，最后啄木鳥和蛀蟲的數(shù)量幾乎每個(gè)月都近似增加到原來的1.02倍，即有2%的月增長率.而且Ok與Rk的比值約為10比13，即每10只啄木鳥對(duì)應(yīng)著約13000只蛀蟲.

運(yùn)用具體例子將直觀性和應(yīng)用性滲透到線性代數(shù)的教學(xué)中，可以使教學(xué)更生動(dòng)，更具科學(xué)性，使學(xué)生對(duì)抽象的理論有透徹的理解，所以在線性代數(shù)課程中融入數(shù)學(xué)建模能有效提高教學(xué)質(zhì)量.

2.3 增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課

線性代數(shù)課程習(xí)題數(shù)據(jù)計(jì)算量大，非?？简?yàn)學(xué)生的耐性與專注力，該課程學(xué)時(shí)少，而上課又要兼顧理論和計(jì)算的問題，往往使學(xué)生疲于應(yīng)付.

若將MATLAB等專業(yè)數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用引入線性代數(shù)課程教學(xué)，可以使學(xué)生從繁重的計(jì)算任務(wù)中解脫，將精力專注于實(shí)際問題的建模，從而增加學(xué)生解決實(shí)際問題的成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

在線性代數(shù)課程的教學(xué)中，演示一些MATLAB編程計(jì)算實(shí)例，例如高階行列式的計(jì)算、“圖像壓縮等技術(shù)”等實(shí)際問題舉例，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)課程知識(shí)是未來學(xué)習(xí)與工作中的重要基礎(chǔ)，使學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生更多的興趣.

3 結(jié)束語

民辦獨(dú)立學(xué)院的線性代數(shù)課程教學(xué)不能照搬母體本科高校的教學(xué)模式，應(yīng)當(dāng)針對(duì)獨(dú)立學(xué)院培養(yǎng)人才的目標(biāo)與學(xué)生的基礎(chǔ)尋找合適的教學(xué)模式.本文提出的課程教學(xué)模式，主要是以理論與實(shí)踐結(jié)合形成教學(xué)主線，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想、增加實(shí)驗(yàn)課程，使課程理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐并重，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量.

[1]杜建衛(wèi)，蘇欣.讓線性代數(shù)課程易教易學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011(5).

[2]王利東，劉婧.從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)的線性代數(shù)教學(xué)模式探討[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012(3).

[3]趙慧斌.問題驅(qū)動(dòng)是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008(4).

[4]李小平.關(guān)于《線性代數(shù)》教學(xué)改革的一些思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011(3).

[5]李尚志.線性代數(shù)教學(xué)改革漫談[J].教育與現(xiàn)代化,2004(1).

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2009.

(責(zé)任編輯 張建軍)

] 南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目“金城學(xué)院《線性代數(shù)》課程教學(xué)現(xiàn)狀分析及教學(xué)改革研究”(項(xiàng)目編號(hào)：2013-Y-11).

2014-07-09

蔡 劍,女,江蘇靖江人,南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院講師，碩士.

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1671-1696(2014)11-0033-03

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