趙志剛， 游斌弟， 趙 陽

(1.中國民航大學(xué) 空中交通管理學(xué)院，天津 300300；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) (威海)船舶與海洋工程學(xué)院,山東 威海 264209)

改進(jìn)型負(fù)輸入整形與最優(yōu)控制結(jié)合的振動抑制方法

趙志剛1,2， 游斌弟3， 趙 陽2

(1.中國民航大學(xué) 空中交通管理學(xué)院，天津 300300；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) (威海)船舶與海洋工程學(xué)院,山東 威海 264209)

針對諸如柔性機(jī)械臂這類柔性系統(tǒng)的主動振動控制問題，提出了基于改進(jìn)型負(fù)輸入整形和最優(yōu)控制結(jié)合的振動抑制方法。以柔性機(jī)械臂為研究對象，設(shè)計最優(yōu)狀態(tài)反饋控制實現(xiàn)其旋轉(zhuǎn)機(jī)動任務(wù)及柔性振動抑制。為增強(qiáng)柔性振動抑制效果和改善系統(tǒng)的運動時間，根據(jù)引入線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)反饋后整個閉環(huán)系統(tǒng)的振動頻率和阻尼比設(shè)計改進(jìn)型負(fù)輸入整形器作為前饋控制器。將前饋控制與反饋控制相結(jié)合能發(fā)揮其各自的優(yōu)點，提高系統(tǒng)的性能。仿真分析結(jié)果表明，所設(shè)計的混合控制策略可以有效地抑制柔性振動，且可以減少系統(tǒng)響應(yīng)時間的延遲和加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。

主動振動控制；改進(jìn)型負(fù)輸入整形；最優(yōu)控制；線性二次型調(diào)節(jié)器；柔性機(jī)械臂；振動抑制

現(xiàn)代工業(yè)和航空航天等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用柔性結(jié)構(gòu)來滿足輕型化、柔性化的設(shè)計要求。其中，柔性機(jī)械臂(如高空作業(yè)車的伸縮臂，空間機(jī)械臂等)作為一種典型代表常用來完成各種作業(yè)任務(wù)。然而，柔性機(jī)械臂在執(zhí)行操作任務(wù)時容易產(chǎn)生振動，影響其定位精度和工作效率，嚴(yán)重時甚至危害機(jī)械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的安全。解決柔性機(jī)械臂的柔性振動抑制問題可以提高其工作性能，增強(qiáng)系統(tǒng)的安全性和可靠性，并且可以降低系統(tǒng)的操作成本。因此，這一課題具有重要的工程意義，已引起了國內(nèi)外許多研究者的興趣。

針對柔性結(jié)構(gòu)的振動抑制問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多種研究方法[1-2],如最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制、魯棒控制、奇異攝動控制、模糊控制、滑模控制等，上述方法及其復(fù)合控制方法等獲得了較深入的研究。其中，最優(yōu)控制是通過求解最優(yōu)控制力來使系統(tǒng)振動達(dá)到理想的抑制效果，且兼顧響應(yīng)與控制兩方面相互矛盾的要求，是滿足一定最優(yōu)條件的反饋控制。對于具有二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)，因其最優(yōu)反饋控制律能用解析的形式表示，易于工程實現(xiàn)，歷來受到人們的重視。戈新生等[3]針對雙連桿空間剛?cè)嵝詸C(jī)械臂的殘余振動問題，采用LQ最優(yōu)控制方法來消除殘余振動，通過數(shù)值仿真表明所提出方法的有效性。

除了上面列舉的控制方法之外，還有一種越來越吸引人們興趣的主動振動控制方法——輸入整形(Input Shaping，IS)(又稱為輸入成形或輸入成型)振動抑制方法。該方法作為一種典型的前饋控制方法，自從Singer等[4]正式提出以來就得到了廣泛而深入的研究。近年來，國內(nèi)學(xué)者在此領(lǐng)域也取得了豐富的研究成果。董明曉等[5]設(shè)計最優(yōu)輸入整形器(Input Shaper)，應(yīng)用于變參數(shù)橋式起重機(jī)等的防擺控制中。張鵬等[6]通過引入偏值點，提出了基于零點配置技術(shù)的EI成型器設(shè)計方法。輸入整形作為一種簡單、高效的前饋補(bǔ)償器與反饋控制相結(jié)合時，不僅可以提高控制性能，甚至還可以降低反饋控制器的設(shè)計難度。胡慶雷等[7-10]將輸入成形方法與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合應(yīng)用于撓性航天器大角度姿態(tài)機(jī)動時撓性結(jié)構(gòu)的振動控制。Pai[11]提出了輸入整形結(jié)合自適應(yīng)滑模控制的方案解決帶有參數(shù)不確定性和外擾的柔性結(jié)構(gòu)振動控制問題?？讘椚实萚12]將輸入成形和PD反饋控制器相結(jié)合來解決柔性航天器的振動抑制問題。李瑞川等[13]將PD控制結(jié)合輸入整形控制策略應(yīng)用到含有剛性模態(tài)的彈性機(jī)構(gòu)中，研究了輸入整形參數(shù)對系統(tǒng)控制力的作用規(guī)律以及降低系統(tǒng)能耗的機(jī)理。王曉軍等[14]研究了輸入整形技術(shù)結(jié)合線形二次型調(diào)節(jié)器(LQR)的混合控制方案來解決橋式起重機(jī)這一類不完全控制系統(tǒng)的負(fù)載殘留振蕩抑制問題。上述研究所取得的成果大多都是基于傳統(tǒng)的輸入整形設(shè)計方法，陜晉軍等[15]通過放寬設(shè)計整形器需滿足包含最少脈沖個數(shù)的約束，提出了改進(jìn)型的輸入成形方法(Modified Input Shaping, MIS)并應(yīng)用該方法結(jié)合PD控制用于柔性機(jī)械臂的振動抑制，理論分析表明在一些方面比傳統(tǒng)的輸入成形方法有更好的性能。輸入整形法能夠很好地抑制柔性系統(tǒng)振動所付出的代價是系統(tǒng)運動響應(yīng)時間的延遲，為了獲得更快的運動響應(yīng)，可以通過在輸入整形器脈沖序列中引入負(fù)脈沖來提高系統(tǒng)的上升時間。

綜上所述，為進(jìn)一步提高控制效果、改善控制系統(tǒng)性能，尤其是提高系統(tǒng)上升時間，本文提出改進(jìn)型負(fù)輸入整形控制和最優(yōu)狀態(tài)反饋控制相結(jié)合的控制方法。首先設(shè)計LQR反饋控制器，然后設(shè)計改進(jìn)型負(fù)輸入整形器作為前饋控制器，構(gòu)成前饋控制和反饋控制的混合控制方案來解決柔性結(jié)構(gòu)的振動抑制問題。

1 輸入整形

輸入整形是指由一系列脈沖序列與一定的期望輸入相卷積，所形成的指令作為控制系統(tǒng)運動的輸入。其中，根據(jù)振動系統(tǒng)頻率和阻尼比所設(shè)計的脈沖序列稱之為輸入整形器[2]。其成形過程如圖1所示。

圖1 輸入整形器對輸入信號進(jìn)行成形Fig.1 The input shaping process

為研究輸入整形方法，考慮單自由度有阻尼二階振動系統(tǒng)：

(1)

式中：ω為系統(tǒng)自然振動頻率，ζ為系統(tǒng)阻尼比。

(2)

其中：

(3)

(4)

為使成形后的指令可以使系統(tǒng)達(dá)到與原控制指令相同的運動位置，還需要脈沖幅值約束條件，即

(5)

此外，整形器的時間長度越短，給系統(tǒng)帶來的時間滯后就會越短，有利于提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。因此，時間約束條件為

min(tn)

(6)

根據(jù)式(2)至式(6)，對于確定的系統(tǒng)，已知其自然頻率ω和阻尼比ζ，就可根據(jù)殘余振動V(ω,ζ)的值為零或低于某一期望水平來確定脈沖幅值A(chǔ)i和作用時間ti。

1.1 典型輸入整形器

傳統(tǒng)最簡單的正輸入整形器是包含兩脈沖的整形器，稱之為ZV(Zero Vibration)整形器[4]，其數(shù)學(xué)表示形式為

(7)

其中KT、Td表示如下式

(8)

滿足約束條件式(2)-式(5)，并在同一振動周期內(nèi)選擇多個脈沖可以獲得MIS ZV整形器[15]，對于3脈沖MIS ZV整形器可表示如下：

(9)

其中KM表示如下式

(10)

1.2 改進(jìn)型負(fù)輸入整形

設(shè)計輸入整形器的關(guān)鍵在于確定脈沖序列中各脈沖的幅值和作用時間。除此之外，確定整形器中所包含的脈沖個數(shù)也至關(guān)重要。本文給出一種改進(jìn)型負(fù)輸入整形(Modified Negative Input Shaping，MNIS)方法，該方法放寬整形器包含最少脈沖個數(shù)的約束，且在同一振動周期內(nèi)選擇包含正負(fù)交替的脈沖。

滿足約束條件式(2)為零，即保證系統(tǒng)殘余振動為零，且同時滿足式(5)的MNIS ZV整形器的脈沖作用時間選擇為

(11)

式中：n為整形器脈沖序列所包括脈沖個數(shù)。式(11)同時表明：隨著脈沖個數(shù)的增加，每個脈沖可以獲得更短的延遲時間。

與脈沖作用時間式(11)相對應(yīng)的脈沖幅值為

(12)

式中：

(13)

M=-K+…+(-1)i-1Ki-1+…+(-1)n-1Kn-1=

(14)

式(11)-式(14)給出了改進(jìn)型負(fù)輸入整形器的封閉解，根據(jù)以上內(nèi)容，只要知道系統(tǒng)的振動頻率與阻尼比以及所確定的脈沖數(shù)目，就可以很方便地設(shè)計MNIS ZV整形器。通過該方法所設(shè)計的整形器可以得到更短的延遲時間，且脈沖序列中所包含的脈沖個數(shù)可以靈活選擇。這給研究人員在實際工程設(shè)計中留有更多的選擇空間。例如，對于3脈沖MNIS ZV整形器，可表示如下：

(15)

式中：

(16)

2 線性二次型最優(yōu)控制

LQ最優(yōu)控制因其產(chǎn)生狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，對從事主動振動控制的研究人員具有很大吸引力，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。

LQR最優(yōu)控制是要求在滿足動力學(xué)方程

(17)

且能使系統(tǒng)在消耗較少控制能量的情況下，確定最優(yōu)控制輸入u*，使下面二次型性能指標(biāo)Jm最小。

(18)

式中：Q是對狀態(tài)變量加權(quán)矩陣，為半正定對稱矩陣；R是對控制變量加權(quán)矩陣，為正定對稱矩陣。

LQR最優(yōu)控制問題就是對線性時不變系統(tǒng)式(18)確定最優(yōu)控制的輸入規(guī)律，即

其實，我和阿花也是老朋友了，阿花當(dāng)年從韶關(guān)來深圳時,我們就認(rèn)識了。林強(qiáng)信將雪茄掐在煙灰缸里，說，我們曾有過多次合作，而且很愉快。所以你去她廠里，我贊成。你幫她，就等于我在幫她嘛。哈哈哈……

u=-Kx

(19)

式中：K為狀態(tài)反饋增益矩陣。

利用極值原理，使得二次型性能指標(biāo)式(19)最小的K表示為

K=R-1BTP

(20)

其中：P為正定對稱常數(shù)矩陣，滿足下列Riccati代數(shù)方程

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(21)

由式(19)和式(20)，則可得LQR最優(yōu)控制為

u*=-R-1BTPx

(22)

3 柔性機(jī)械臂系統(tǒng)

以柔性機(jī)械臂作為被控對象進(jìn)行應(yīng)用研究，仿真模型如圖2所示。柔性機(jī)械臂系統(tǒng)由中心剛體、柔性臂桿及末端剛性負(fù)載mp組成。圖2中OXY和Oxy分別是慣性坐標(biāo)系和柔性臂體固聯(lián)坐標(biāo)系，Ox與未變形時柔性臂的軸線重合，其原點位于臂與中心剛體的連接處，θ(t)表示兩坐標(biāo)系間的相對轉(zhuǎn)動關(guān)系。柔性臂相對坐標(biāo)系Oxy的柔性變形用δ表示。l,ρ,E,φ,Φ分別表示柔性臂長度、密度、彈性模量、內(nèi)外圓直徑。Jo表示中心剛體轉(zhuǎn)動慣量。

圖2 柔性機(jī)械臂的簡化模型Fig.2 Sketch of the flexible manipulator model

應(yīng)用有限元法描述系統(tǒng)的彈性變形，采用拉格朗日方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，可得由系統(tǒng)廣義自由度θ和節(jié)點位移列陣d表征的動力學(xué)方程:

(23)

式中：J為系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量；I為剛?cè)狁詈暇仃?；M為柔性臂質(zhì)量陣；C為柔性臂阻尼陣；K為柔性臂剛度陣；T為驅(qū)動力矩。

利用約束模態(tài)法展開式(23)，可得柔性臂運動與振動耦合的動力學(xué)方程如下：

(24)

式中：ωc=diag(ωc1,…,ωcN)和ζ分別表示約束模態(tài)頻率矩陣和阻尼比矩陣；ηc=[ηc1,…,ηcN]T為約束模態(tài)坐標(biāo)向量；Hc為1×N維的模態(tài)坐標(biāo)耦合矩陣，EN為N×N維單位陣，N表示約束模態(tài)截斷階數(shù)。

4 改進(jìn)型負(fù)輸入整形與LQR聯(lián)合設(shè)計

則可以將式(24)寫為

(25)

式中：E為相應(yīng)維數(shù)的單位陣。

即可得狀態(tài)空間的形式方程

y=CX

(26)

其中：

Bc=[0 0 1 0]T,C=[1 0 0 0]

進(jìn)一步改寫為如下狀態(tài)方程的形式

y=CX

(27)

本文提出的改進(jìn)型負(fù)輸入整形控制和最優(yōu)狀態(tài)反饋控制相結(jié)合方法主要分為以下兩個步驟：

第一步，設(shè)計最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律，實現(xiàn)柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)機(jī)動任務(wù)的同時對柔性振動進(jìn)行抑制。

將式(22)代入式(27)，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

y=CX

(28)

式中：As=A-BR-1BTP為閉環(huán)系統(tǒng)矩陣。

第二步，根據(jù)整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征值設(shè)計改進(jìn)型負(fù)輸入整形器，輸入形成器的控制作用在LQR反饋回路的前端，目的是在保證被控對象完成旋轉(zhuǎn)機(jī)動任務(wù)的同時進(jìn)一步抑制其柔性振動。

閉環(huán)系統(tǒng)矩陣As的特征值，可求出系統(tǒng)模態(tài)的振動頻率和阻尼比

(29)

其中：λsi為矩陣系統(tǒng)矩陣As的第i個特征值，ωsi和ζsi分別為系統(tǒng)模態(tài)的振動頻率和阻尼比。

基于改進(jìn)型負(fù)輸入整形與LQR聯(lián)合設(shè)計實現(xiàn)機(jī)械臂振動抑制的原理如圖3所示。

圖3 實現(xiàn)振動抑制的控制系統(tǒng)原理框圖Fig.3 Block diagram of control system for vibration suppression

其中：r為期望輸入，K1取決于狀態(tài)反饋增益K=[K1K2…K2(N+1)]中對應(yīng)的角位移反饋系數(shù)。

根據(jù)式(29)中閉環(huán)系統(tǒng)振動模態(tài)的振動頻率ωsi和阻尼比ζsi可以靈活設(shè)計一系列包含不同脈沖個數(shù)的MNIS整形器，使機(jī)械臂在改進(jìn)型負(fù)輸入整形器和LQR控制器聯(lián)合控制下完成指定旋轉(zhuǎn)任務(wù)，同時實現(xiàn)振動抑制。

當(dāng)然，實際情況中受控對象一般包含多階振動模態(tài)，這就需要設(shè)計多模態(tài)整形器。多模態(tài)系統(tǒng)的輸入整形器設(shè)計方法一般有聯(lián)立方程法[16]和級聯(lián)法[4]。考慮到前者的計算相當(dāng)復(fù)雜，往往需要借助專門的計算軟件進(jìn)行求解和設(shè)計，而后者設(shè)計簡單，且對高模態(tài)的不靈敏性要比前者更高，所以本文應(yīng)用級聯(lián)法實現(xiàn)多模態(tài)整形器的設(shè)計，即采用如下的卷積形式來獲得：

Smj=S1*S2*…*Si*…*SN

j=1,2,…,N

(30)

其中“*”表示進(jìn)行卷積運算處理，Si代表對應(yīng)系統(tǒng)第i個振動模態(tài)的輸入整形器。

5 仿真算例

為了進(jìn)一步驗證本文所提出的MNIS整形器的有效性，系統(tǒng)主要仿真參數(shù)：轉(zhuǎn)動慣量Jo=40 kg·m2，臂桿長度l=4 m，材料密度ρ=2 700 kg/m3，彈性模量E=70 GPa，外圓直徑Ф=0.03 m，內(nèi)圓直徑φ=0.028 m，負(fù)載質(zhì)量mp=2 kg。有限單元體個數(shù)n=10，初始狀態(tài)為零。為了對比分析仿真效果，應(yīng)用LQR控制器結(jié)合不同輸入整形器設(shè)計了四種控制方案完成參考輸入為60°機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)機(jī)動任務(wù)，詳見表1。

表1 四種控制方案

考慮到系統(tǒng)存在剛體運動振動和柔性模態(tài)振動，這里抑制剛體運動模態(tài)(ωr=0.337 2 rad/s，ζr=0.706 0)和一階柔性系統(tǒng)模態(tài)(ωf=5.517 7 rad/s，ζf=0.023 5)，采用級聯(lián)法進(jìn)行設(shè)計。首先為剛體運動的振動模態(tài)設(shè)計相應(yīng)的整形器Sr，然后為柔性模態(tài)振動設(shè)計相應(yīng)的整形器Sf。根據(jù)式(30)，將獲得的整形器進(jìn)行級聯(lián)，可得一個新的整形器Sm=Sr*Sf，以實現(xiàn)同時對剛體運動的振動和柔性模態(tài)振動的振動抑制。為便于比較，四種控制方案中LQR均取相同反饋增益，K=[10.00 0.025 3 41.96 1.749]，K1=10.00(取LQR反饋中x1的增益)；所用各種整形器參數(shù)如下：

i=1,2

(31)

i=1,2,3

(32)

i=1,2,3

(33)

四種方案的仿真結(jié)果如圖4-圖9所示，分析其控制效果如下：

四種方案均有效地完成了柔性機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)60°機(jī)動任務(wù)。由圖4-圖9可以看出，單獨采用LQR控制的方案1能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)動任務(wù)，所用上升時間約為9.87 s，但是存在超調(diào)量，調(diào)整時間大約為23 s；而且存在殘余振動，一階模態(tài)振動持續(xù)時間約30 s，機(jī)械臂末端彈性變形也較大，難于迅速精確定位于期望的位置。而引入整形器的方案2和方案3剛體運動都非常平穩(wěn)，沒有超調(diào)量，所用上升時間分別約為13.7 s和18.3 s。這說明LQR通過和輸入整形技術(shù)結(jié)合，產(chǎn)生的混合方案能夠有效地減小機(jī)械臂的振動，但由于整形器時滯時間的存在而增加了系統(tǒng)的上升時間。為了降低這種不利影響，方案4基于改進(jìn)型負(fù)輸入整形與LQR聯(lián)合控制使剛體運動非常平穩(wěn)，沒有超調(diào)量，且柔性振動模態(tài)抑制效果也很好。所用上升時間約為9.15 s。

方案2、方案3和方案4與方案1相比，由于輸入整形器的作用使得角速度曲線變得比較光滑，角速度變化更平穩(wěn)，如圖6所示。方案4與方案2相比雖然所用整形器包含脈沖個數(shù)多，但是由于負(fù)脈沖的引入，仍然有更短的上升時間，減少了4.55 s；方案4的上升時間僅為方案3的一半，大大減少了正輸入整形器導(dǎo)致的系統(tǒng)響應(yīng)的時間延遲，這說明了方案4在改善機(jī)械臂運動時間上比方案2和方案3具有較大優(yōu)越性。

綜上所述，仿真實驗結(jié)果表明改進(jìn)型負(fù)輸入整形器和LQR控制器聯(lián)合控制方案使機(jī)械臂在下完成指定的旋轉(zhuǎn)任務(wù)的同時有效抑制了柔性振動，且在減少系統(tǒng)響應(yīng)延遲時間、提高了工作效率上優(yōu)于LQR控制器和其它輸入整形器組成的方案。

圖4 控制輸入指令Fig．4Controlinputcommand圖5 角位移Fig．5Angulardisplacement圖6 角速度Fig．6Angularvelocity

圖7 一階模態(tài)坐標(biāo)Fig．7Thefirstmodalcoordinate圖8 末端彈性變形Fig．8Deformationangleoftip圖9 末端彈性變形速度Fig．9Deformationvelocityoftip

6 結(jié) 論

以柔性機(jī)械臂為研究對象，提出了基于改進(jìn)型負(fù)輸入整形主動振動控制和最優(yōu)控制相結(jié)合的控制器設(shè)計方法來解決諸如柔性機(jī)械臂這類柔性系統(tǒng)的振動抑制問題，具體工作及結(jié)論如下：

(1) 為完成柔性機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)機(jī)動任務(wù)，以消耗較少控制能量為性能指標(biāo)設(shè)計LQR反饋控制器，并同時進(jìn)行振動抑制；

(2) 為進(jìn)一步改善控制效果、提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，根據(jù)LQR反饋后的整個閉環(huán)系統(tǒng)的振動頻率和阻尼比設(shè)計改進(jìn)型負(fù)輸入整形器，應(yīng)用級聯(lián)法設(shè)計剛體運動振動和柔性模態(tài)振動的多模態(tài)整形器作為前饋控制器，進(jìn)行振動抑制；

(3) 對比文中設(shè)計的四種控制方案：改進(jìn)型負(fù)輸入整形器和LQR控制器聯(lián)合控制的方案增強(qiáng)了振動抑制效果，有效減小系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量，在改善機(jī)械臂的運動時間，提高工作效率上優(yōu)于LQR控制器和其它輸入整形器組成的方案；

(4) 進(jìn)一步工作重點是將本文方法應(yīng)用于柔性結(jié)構(gòu)振動抑制試驗研究中。此外，如果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)的實際值和名義值不同，即模型參數(shù)不精確，這將影響系統(tǒng)的頻率和阻尼比信息的獲得。根據(jù)不精確信息設(shè)計的整形器可能會導(dǎo)致系統(tǒng)殘余振動不能被完全消除，這就需要設(shè)計具有魯棒性的改進(jìn)型負(fù)輸入整形器來解決此問題，這也是進(jìn)一步要研究的問題。

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Combination of modified negative input shaping and optimal control for vibration suppression

ZHAO Zhi-gang1,2, YOU Bin-di3, ZHAO Yang2

(1.College of Air Traffic Management, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China;2. School of Astronautics，Harbin Institute of Technology， Harbin 150001，China; 3. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

A new vibration reduction control strategy was presented. With it, the modified negative input shaping (MNIS) technique was combined with the optimal control method for active vibration control of flexible systems, such as, a flexible manipulator. An optimal state feedback controller was designed for the flexible manipulator maneuver and its vibration eliminating. To improve the performance of vibration control and reduce the system response time duration, a modified negative input shaper was used as a feed-forward controller, it was designed to utilize the vibration frequency and damping ratio of the whole closed loop system with a linear quadratic regulator (LQR). Combining the feed-forward control and feedback control and utilizing the respective advantages, the performance of the control system can be improved. Both analytical and numerical results were presented to demonstrate the effectiveness of the hybrid control strategy. It was shown that the proposed method can be used to reduce the time delay of the system’s response and increase the response speed of the system.

active vibration control; modified negative input shaping (MNIS); optimal control; linear quadratic regulator (LQR); flexible manipulator; vibration suppression

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2013CB733000);國家自然科學(xué)基金資助項目(50975056，11072066);國家青年科學(xué)基金資助項目(51205079)

2012-12-06 修改稿收到日期：2013-03-23

趙志剛 男，博士生, 1982年生

V414; TP271

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.035