李 威, 曾志松, 韓 旭

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，長沙 410082;3.船舶與海洋水動力 湖北省重點實驗室，武漢 430074)

彈性地基上受切向力作用梁穩(wěn)定性研究

李 威1,3, 曾志松1, 韓 旭2

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，長沙 410082;3.船舶與海洋水動力 湖北省重點實驗室，武漢 430074)

用廣義微分求積法(GDQR)分析了彈性地基上復(fù)雜彈性支承條件下受切向力作用梁的穩(wěn)定性問題。基于彈性支承梁的運動微分方程及邊界條件，采用GDQR進行離散化，獲得由動力方程組及邊界條件合成的特征值矩陣方程。通過對相應(yīng)特征值方程的具體分析，討論了彈性地基模量、剪切系數(shù)、復(fù)雜邊界條件對臨界載荷的影響，研究了一端固定約束、另一端彈性約束梁彈性失穩(wěn)區(qū)域隨彈性地基模量和支承彈簧剛度變化的情況，得到了一些有益的結(jié)論。結(jié)果表明：GDQR能很好地解決此類系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

廣義微分求積法；穩(wěn)定性；彈性地基；切向力

彈性地基上復(fù)雜支承條件下梁的穩(wěn)定性問題，具有較高的學(xué)術(shù)研究價值以及廣泛的工程應(yīng)用背景。許多學(xué)者已經(jīng)對彈性地基上不同邊界條件下梁的穩(wěn)定性問題進行了研究，Smith等[1]研究了彈性地基上受隨從力作用梁的穩(wěn)定性問題，發(fā)現(xiàn)Winkler彈性地基模量對切向力作用下懸臂梁的臨界顫振失穩(wěn)載荷沒有影響；Lee等[2-3]研究了彈性地基上梁的穩(wěn)定性問題，發(fā)現(xiàn)剪切系數(shù)增強或者減弱梁的穩(wěn)定性取決于彈性地基模量、支承條件等因素；馬小強等[4]運用傳遞矩陣法研究了彈性地基上任意支承輸液管的穩(wěn)定性，計算了其臨界流速；包日東等[5]用微分求積法討論了水下彈性支承管道的動力特性，發(fā)現(xiàn)彈性支承條件對系統(tǒng)的動力特性影響很大。然而，以往的研究更多的是基于剛性約束邊界條件，對于彈性地基上更為復(fù)雜邊界條件、受剪切力作用下梁穩(wěn)定性的討論則比較少。

廣義微分求積法(GDQR)是求解微分方程邊值、初值問題的有效的數(shù)值計算方法，已經(jīng)成功地用于許多力學(xué)問題的求解[6-10]，其替代規(guī)則中采用的獨立變量不僅包括各網(wǎng)點處的函數(shù)值，而且包括函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項，克服了微分求積法需要在邊界點處選取微小段來進行邊界的鄰接處理，能夠精確的施加邊界條件，因而簡單易行，具有較高的精確度和數(shù)值穩(wěn)定性。本文將GDQR應(yīng)用到彈性地基上受切向力作用復(fù)雜彈性支承梁的穩(wěn)定性問題中，對于一端固定約束、一端支承彈簧約束梁，研究了彈性地基模量對梁臨界載荷隨剪切系數(shù)變化的影響，討論了在一定Winkler彈性地基模量、不同支承彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化規(guī)律；而針對一端固定約束、一端扭轉(zhuǎn)彈性約束梁，則分析了不同扭轉(zhuǎn)彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化情況；最后研究了Winkler 彈性地基模量和支承彈簧剛度對一端固定約束、另一端彈性約束梁彈性失穩(wěn)區(qū)域的影響。

1 運動微分方程及邊界條件

考慮如圖1所示的彈性地基上兩端彈性支承均勻梁受剪切力作用，假定W(X,t)=w(X)eiωt,M*(X,t)=M(X)eiωt,Q*(X,t)=Q(X)eiωt,W、M*、Q*分別代表彎曲變形、彎矩、剪力，i=(-1)1/2,ω代表梁振動的角頻率。對于彈性地基本文采用Winkler彈性地基模型。

圖1 系統(tǒng)模型簡圖Fig.1 Geometry of the system

引入無量綱量：

E表示楊氏模量，I表示梁截面慣性矩，F(xiàn)為剪切力，η表示剪切系數(shù)，m表示梁單位長度質(zhì)量，L表示梁長度，k0表示W(wǎng)inkler 彈性地基模量，KθL，KTL，KθR，KTR分別表示左右兩端面的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度、支撐彈簧剛度。θL，θR表示左右兩端轉(zhuǎn)角。

上述梁系統(tǒng)的控制方程[3]可表示為

V″″(x)+PV″(x)+(K-Λ2)V(x)=0

x∈(0,1)

(1)

相應(yīng)的邊界條件是：

(2)

(3)

2 廣義微分求積法

GDQR的基本思想是用某一函數(shù)在物理域上的所有離散點上的函數(shù)值及其偏導(dǎo)數(shù)值的加權(quán)和來逼近該函數(shù)在某一離散點偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)ψ(x)在點x=xi處的第r階導(dǎo)數(shù)可近似寫成：

(i=1,2,…,N)

(4)

{U}T={U1,U2,…,UK,…,UM}=

文獻[6-7]介紹了權(quán)系數(shù)的獲取及網(wǎng)點劃分方式，本文采用上述文獻中的cos型網(wǎng)點劃分方式，即

(i=1,2,…,N)

(i=1,2,…,N)

(5)

{U1,U2,…,Uk,…,UN+2}=

(6)

將以上兩式運用到梁系統(tǒng)的控制方程和邊界條件，則方程(1-3)可以寫成模擬方程：

(K-Λ2)Ui=0

(i=2,3,…,N-1)

(7)

(8)

(9)

用下標b表示邊界上的元素,d表示非邊界上的元素，則有：

Ub={U1,U2,UN+1,UN+2}T

Ud={U3,U4,…,UN-1,UN}T

(10)

將上述(7-9)三式改寫成矩陣形式：

(11)

消除變量Ub，對上式進行整理可得特征徝方程：

S{Ud}=(Λ2-K){Ud}

(12)

[S]=[Sdd]-[Sdb][Sbb]-1[Sbd],矩陣S中包含了KθL、KTL、KθR、KTL、P、η等參量,在四個無量綱彈簧剛度確定的情況下，固定η，K，逐步增大P，可由矩陣S得到相應(yīng)的特征值Λ，如果P使頻率參數(shù)為0，則P為分叉失穩(wěn)載荷；如果使頻率參數(shù)有兩個相等的根，則P為顫振失穩(wěn)載荷，最小的分叉失穩(wěn)和顫振失穩(wěn)載荷就是系統(tǒng)的臨界載荷。

3 計算結(jié)果

本節(jié)首先運用GDQR分析一定彈性地基模量下受剪切力作用一端固定約束、一端支撐彈簧約束梁的臨界載荷，通過與文獻[3]的結(jié)果進行比較，驗證了基于GDQR的計算結(jié)果的準確性；進而討論了一端固定約束、一端支承彈簧支承梁，在一定支承彈簧剛度下，彈性地基模量對臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化的影響；進一步研究了特定彈性地基模量、不同支承彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化規(guī)律；接著分析了一端固定約束、一端扭轉(zhuǎn)彈簧支承，不同扭轉(zhuǎn)彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化情況；最后探討了彈性地基模量和彈簧剛度對一端固定約束、一端彈性支承梁的彈性失穩(wěn)區(qū)域的影響。

3.1 GDQR方法驗證

為驗證基于GDQR的計算結(jié)果的正確性，本文采用文獻[3]中相應(yīng)的結(jié)果進行比較,在本算例中，采用與文獻[3]一致的參數(shù)，即K=0,βθL=βTL=∞,βTR=βθR=0，運用GDQR分析受剪切力作用下一端固定約束、一端懸臂梁的穩(wěn)定性，得到不同剪切系數(shù)下的臨界載荷值，計算結(jié)果如圖2所示。

圖2 GDQR得到的臨界載荷與文獻[3]中臨界載荷比較Fig.2 The comparision between the critical load calculated by GDQR and the result in Ref[3]

由圖2可以看出，兩種方法結(jié)果吻合的很好，由此說明，基于GDQR方法分析彈性地基上受切向力作用彈性支承梁穩(wěn)定性問題是準確、有效的。

3.2 彈性地基對臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化的影響

圖3給出了βθL=βTL=∞,βθR=0,βTR=5，即左端固定約束，右端支承彈簧支承，不同彈性地基模量下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線，從圖中可以看出，梁的顫振失穩(wěn)臨界載荷不隨彈性地基模量的改變而變化，另外當(dāng)彈性地基模量K=25.019時，失穩(wěn)形式發(fā)生轉(zhuǎn)變時的臨界載荷不變；而當(dāng)K>25.019時，失穩(wěn)形式發(fā)生轉(zhuǎn)變時，臨界載荷下跳；當(dāng)K<25.019時，失穩(wěn)形式發(fā)生轉(zhuǎn)變時，臨界載荷上跳。本文所取的右端支承彈簧剛度βTR=5，βTR取其它不同值時也有類似的規(guī)律。

圖3 不同Winkler彈性地基模量時，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線Fig．3CriticalloadversustangencycoefficientunderdifferentWinklerelasticfoundationmodulus圖4 不同支承彈簧剛度下，一端固定約束，一端支承彈簧支承梁臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線Fig．4Criticalloadversustangencycoefficientforaclamped?translationalspringsupportedbeamunderdifferenttranslationalspringconstants圖5 不同扭轉(zhuǎn)彈簧剛度，一端固定約束，一端扭轉(zhuǎn)彈簧支承梁臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線Fig．5Criticalloadversustangencycoefficientforaclampedrotationalspringsupportedbeamunderdifferentrotationalspringconstants

3.3 特定彈性地基下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化規(guī)律

圖4給出了K=0,βθL=βTL=∞,βθR=0，即彈性地基模量取10，左端固定約束、右端支承彈簧支承時，不同支承彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線，計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)βTR>37.550時,系統(tǒng)的失穩(wěn)形式是發(fā)散失穩(wěn),當(dāng)βTR<37.550時，隨著剪切系數(shù)的增大，存在一個失穩(wěn)形式由發(fā)散向顫振轉(zhuǎn)換的臨界值，失穩(wěn)形式轉(zhuǎn)換時，臨界載荷會有一個有限的跳躍，當(dāng)30.789<βTR<37.550，βTR<8.792時臨界載荷將上跳，而當(dāng)8.792<βTR<30.798時，臨界載荷將下跳，因此，剪切系數(shù)增強或降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于無量綱支承彈簧剛度βTR的值。

圖5給出K=20,βθL=βTL=∞,βTR=0，即彈性地基模量取20，左端固定約束，右端扭轉(zhuǎn)彈簧約束，不同扭轉(zhuǎn)彈簧剛度時，臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度取值比較小時，隨著剪切系數(shù)的增加，同樣會存在一個失穩(wěn)形式發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界值，此時臨界載荷將也會有一個有限的跳躍；而當(dāng)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度取值大于某一值時，梁的失穩(wěn)形式均轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)散失穩(wěn)。

另外，結(jié)合圖4與圖5可以發(fā)現(xiàn)，一定彈性地基模量下，當(dāng)一端固定約束，另一端的支承彈簧剛度或者扭轉(zhuǎn)彈簧剛度取無窮大時，臨界載荷的大小不隨剪切系數(shù)的改變而變化。以上圖4與圖5所對應(yīng)兩種支承情況中，本文所取的彈性地基模量分別是K=10、K=20，而當(dāng)K取其它值時，均也會有類似的規(guī)律。

3.4 彈性地基和彈簧剛度對彈性失穩(wěn)區(qū)域的影響

圖6 K=0,K=50時，不同βθR下，分散/顫振失穩(wěn)臨界剪切系數(shù)隨βTR變化曲線Fig.6 Critical tangency coefficient versus translational spring constant of flutter and divergence instability with different value of rotational spring constants and elastic foundation modulus K=0,K=50

圖6和圖7分別給出了K=0,K=50，一端固定約束、一端彈性約束梁，剪切系數(shù)隨約束彈簧剛度變化的分散/顫振失穩(wěn)區(qū)域。圖中邊界線及其以上的區(qū)域失穩(wěn)形式是顫振失穩(wěn)，其它區(qū)域失穩(wěn)形式是發(fā)散失穩(wěn)，實線對應(yīng)彈性地基模量K=0的情況，虛線對應(yīng)K=50的情況。對比發(fā)現(xiàn)：當(dāng)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度增加時，顫振失穩(wěn)區(qū)域減小，當(dāng)支承彈簧剛度增加時，顫振失穩(wěn)區(qū)域增加，而當(dāng)彈性地基模量增加時，顫振失穩(wěn)區(qū)域會隨之增加。

圖7 K=0,K=50時，不同βTR下，分散/顫振失穩(wěn)臨界剪切系數(shù)隨βθR變化曲線Fig.7 Critical tangency coefficient versus rotational spring constant of flutter and divergence instability with different value of translational spring constants and elastic foundation modulus K=0,K=50

4 結(jié) 論

本文運用GDQR研究彈性地基上復(fù)雜彈性支承條件下受切向力作用梁的穩(wěn)定性問題，通過計算受剪切力作用下一端固定約束、一端支撐彈簧約束梁的臨界載荷，并將計算結(jié)果與文獻[3]中相應(yīng)的值進行比較，驗證了基于GDQR計算結(jié)果的準確性, 進而討論了彈性地基模量對臨界載荷隨剪切系數(shù)變化的影響，同時分別探討了特定彈性地基模量下，一端固定約束、另一端支承彈簧支承，不同支承彈簧剛度下和一端固定約束、另一端扭轉(zhuǎn)彈簧約束，不同扭轉(zhuǎn)彈簧剛度下，臨界載荷隨剪切系數(shù)變化的規(guī)律；最后研究了彈性地基模量和彈簧剛度對一端固定約束、另一端彈性支承梁彈性失穩(wěn)區(qū)域的影響。

結(jié)果表明：彈性地基上的一端固定約束、另一端支承彈簧支承梁，在特定支承彈簧剛度下，梁的顫振失穩(wěn)臨界載荷不受彈性地基模量的影響；而且存在一個臨界彈性地基模量，使失穩(wěn)形式發(fā)生改變時的臨界載荷不發(fā)生變化；當(dāng)彈性地基模量一定時，剪切系數(shù)增強或降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于支承彈簧剛度βTR的值。對于一端固定約束、另一端扭轉(zhuǎn)彈簧約束梁，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度βθR決定梁的失穩(wěn)形式以及臨界載荷隨剪切系數(shù)的變化規(guī)律。一端固定約束、另一端彈性支承梁，當(dāng)支承彈簧剛度或者扭轉(zhuǎn)彈簧剛度取無窮大時，臨界載荷的大小將不隨剪切系數(shù)的改變而變化；其顫振失穩(wěn)區(qū)域會隨扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的增加而減小，隨支承彈簧剛度的增加而增加，隨彈性地基模量的增加而增加。

[ 1 ] Smith T E, Herrmann G. Stability of a beam on elastic foundation subjected to a follower force [J]. Journal of applied Mechanics, 1972, 39(2): 628-629.

[ 2 ] Lee S Y, Kuo Y H, Lin F Y. Stability of a Timoshenko beam resting on a Winkler elastic foundation [J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 153(2): 193-202.

[ 3 ] Lee S Y, Liu J C，Hsu K C. Elastic instability of a beam resting on an elastic foundation subjected to a partially tangential force [J]. Computes & Structures, 1996, 59(6): 983-988.

[ 4 ] 馬小強, 向宇, 黃玉盈. 求解彈性地基上任意支承輸液直管穩(wěn)定性問題的傳遞矩陣法[J]. 工程力學(xué), 2004, 21(4): 194-198. MA Xiao-qiang, XIANG Yu, HUANG Yu-ying. A transfer matrix method for solving stability of pipes conveying fluid on elastic foundation with various end supports [J]. Engineering Mechanics, 2004, 21(4): 194-198.

[ 5 ] 包日東, 聞邦椿. 用微分求積法分析不同支承條件下水下輸流管道的動力特性與容許懸跨長度[J]. 地震工程與工程振動, 2009, 29(2): 131-137. BAO Ri-dong, WEN Bang-chun. Dynamic characteristics and limited span analysis of submarine pipeline under different supporting conditions [J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2009, 29(2): 131-137.

[ 6 ] Wu T Y, Liu G R. A Differential Quadrature as a numerical method to solve differential equations [J]. Computational Mechanics, 1999，24 (3), 197-205.

[ 7 ] Wu T Y, Liu G R. The generalized differential quadrature rule for fourth-order differential equations [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001，50: 1907-1929.

[ 8 ] WANG Lin, NI Qiao. In-plane vibration analyses of curved pipes conveying fluid using the generalized deferential quadrature rule[J]. Computes & Structures,2008,86:133-139.[ 9 ] Marzani A, Tornabene F, Viola E. Nonconservative stability problems via generalized differential quadrature method [J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 315(1-2): 176-196. [10] 李威, 曾志松, 韓旭. GDQR求解切向力下復(fù)雜彈性支承梁的穩(wěn)定性[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 40(11): 68-71. LI Wei, ZENG Zhi-song, HAN Xu. Stability of elastically supported beams subjected to a partially tangential force based on GDQR [J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology(Natural Science Edition), 2012, 40(11): 68-71.

Stability of a beam on elastic foundation subjected to a tangential force

LI Wei1，ZENG Zhi-song1，HAN Xu2

(1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2.College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;3. Hubei Key Laboratory of Naval Architecture & Ocean Engineering, Hydrodynamics (HUST), Wuhan 430074, China)

Generalized differential quadrature rule(GDQR)was applied to investigate the stability of a complexly and elastically supported beam on an elastic foundation subjected to a partially tangential force. Based on the motion equations and boundary conditions of an elastically supported beam, the matrix eigenvalue equation combining the dynamic equations and boundary conditions was derived after the beam was discretized with GDQR. After analyzing the corresponding eigenvalue equations, the effects of elastic foundation modulus, shear coefficient, and complex boundary conditions on the beam critical load were discussed. The influences of elastic foundation modulus and support spring stiffness on the instability area of a clamped-elastically supported beam were studied and some useful conclusions were obtained. It was shown that GDQR is an effective means for solving the stability of such systems.

generalized differential quadrature rule (GDQR); stability; elastic foundation; tangential force

國家杰出青年科學(xué)基金項目(10725208)

2012-12-17 修改稿收到日期：2013-05-15

李威 男，副教授，1975年生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.033