張奠宙

人民教育出版社的五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”教材的開頭，出現(xiàn)了一個(gè)畫面。內(nèi)容是有幾個(gè)人用等距離打了結(jié)的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個(gè)很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節(jié)，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分?jǐn)?shù)來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個(gè)缺陷。

在數(shù)學(xué)上，這是問，一個(gè)小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）。這是分?jǐn)?shù)教學(xué)的根本目標(biāo)之一。例如，日本2008年頒布的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》就強(qiáng)調(diào)：“分?jǐn)?shù)是用于度量小于1的量”。本刊（小學(xué)版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個(gè)來自日本的分?jǐn)?shù)教學(xué)案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實(shí)例。教例的過程是，以學(xué)生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個(gè)“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義。

現(xiàn)在讓我們來分析我國分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中的一個(gè)不足之處。

我國的分?jǐn)?shù)定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)?！边@樣的定義，必須要預(yù)先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實(shí)上，對(duì)一個(gè)平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結(jié)果的大小。這是用分?jǐn)?shù)表示“整體里的一個(gè)部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計(jì)算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現(xiàn)在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個(gè)3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分?jǐn)?shù)就聯(lián)想到等分月餅的模型，會(huì)限制人們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

讓我們回到人民教育出版社數(shù)學(xué)教材中的那個(gè)例子。該情境要解決的問題是：在以一節(jié)繩子作為單位長度的前提下，用分?jǐn)?shù)表示繩子剩余的那個(gè)“尾部”的長度。按照我國教材的分?jǐn)?shù)定義，就必須預(yù)先知道要將一節(jié)繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個(gè)分?jǐn)?shù)。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數(shù)據(jù)。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗(yàn)加以測量。例如，如果一節(jié)繩長恰好是三個(gè)尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節(jié)繩子包含三個(gè)“半截尾部”，那么尾部長度占一節(jié)的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分?jǐn)?shù)，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個(gè)整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個(gè)5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們?nèi)〕銎渲械?0支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個(gè)5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學(xué)。有5位同學(xué)參加書法比賽獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)。問我班有幾分之幾的同學(xué)獲得此獎(jiǎng)？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個(gè)5。現(xiàn)在如果將班級(jí)人數(shù)平均分為7份，每份是5人，所以獲獎(jiǎng)人數(shù)是全班人數(shù)的。

例3.在人教社數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下學(xué)期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習(xí)題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實(shí)際上是在說：先規(guī)定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個(gè)頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節(jié)繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節(jié)繩子長度的。

總之，分?jǐn)?shù)的定義單純用平均分的情形1作為引例進(jìn)行概括，是不夠的。過分強(qiáng)調(diào)，不求發(fā)展，將會(huì)帶來呆板的思維定勢。尤其因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)是整數(shù)之比”。以后分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，多半會(huì)涉及部分與整體的比例關(guān)系，即情形2的問題。

這一現(xiàn)象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材也都沒有充分關(guān)注。因而建議從理論和實(shí)踐上進(jìn)行研究，妥善處理。

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 200062）

人民教育出版社的五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”教材的開頭，出現(xiàn)了一個(gè)畫面。內(nèi)容是有幾個(gè)人用等距離打了結(jié)的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個(gè)很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節(jié)，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分?jǐn)?shù)來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個(gè)缺陷。

在數(shù)學(xué)上，這是問，一個(gè)小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）。這是分?jǐn)?shù)教學(xué)的根本目標(biāo)之一。例如，日本2008年頒布的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》就強(qiáng)調(diào)：“分?jǐn)?shù)是用于度量小于1的量”。本刊（小學(xué)版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個(gè)來自日本的分?jǐn)?shù)教學(xué)案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實(shí)例。教例的過程是，以學(xué)生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個(gè)“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義。

現(xiàn)在讓我們來分析我國分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中的一個(gè)不足之處。

我國的分?jǐn)?shù)定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)?！边@樣的定義，必須要預(yù)先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實(shí)上，對(duì)一個(gè)平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結(jié)果的大小。這是用分?jǐn)?shù)表示“整體里的一個(gè)部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計(jì)算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現(xiàn)在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個(gè)3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分?jǐn)?shù)就聯(lián)想到等分月餅的模型，會(huì)限制人們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

讓我們回到人民教育出版社數(shù)學(xué)教材中的那個(gè)例子。該情境要解決的問題是：在以一節(jié)繩子作為單位長度的前提下，用分?jǐn)?shù)表示繩子剩余的那個(gè)“尾部”的長度。按照我國教材的分?jǐn)?shù)定義，就必須預(yù)先知道要將一節(jié)繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個(gè)分?jǐn)?shù)。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數(shù)據(jù)。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗(yàn)加以測量。例如，如果一節(jié)繩長恰好是三個(gè)尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節(jié)繩子包含三個(gè)“半截尾部”，那么尾部長度占一節(jié)的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分?jǐn)?shù)，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個(gè)整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個(gè)5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們?nèi)〕銎渲械?0支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個(gè)5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學(xué)。有5位同學(xué)參加書法比賽獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)。問我班有幾分之幾的同學(xué)獲得此獎(jiǎng)？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個(gè)5。現(xiàn)在如果將班級(jí)人數(shù)平均分為7份，每份是5人，所以獲獎(jiǎng)人數(shù)是全班人數(shù)的。

例3.在人教社數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下學(xué)期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習(xí)題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實(shí)際上是在說：先規(guī)定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個(gè)頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節(jié)繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節(jié)繩子長度的。

總之，分?jǐn)?shù)的定義單純用平均分的情形1作為引例進(jìn)行概括，是不夠的。過分強(qiáng)調(diào)，不求發(fā)展，將會(huì)帶來呆板的思維定勢。尤其因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)是整數(shù)之比”。以后分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，多半會(huì)涉及部分與整體的比例關(guān)系，即情形2的問題。

這一現(xiàn)象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材也都沒有充分關(guān)注。因而建議從理論和實(shí)踐上進(jìn)行研究，妥善處理。

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 200062）

人民教育出版社的五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”教材的開頭，出現(xiàn)了一個(gè)畫面。內(nèi)容是有幾個(gè)人用等距離打了結(jié)的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個(gè)很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節(jié)，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分?jǐn)?shù)來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個(gè)缺陷。

在數(shù)學(xué)上，這是問，一個(gè)小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）。這是分?jǐn)?shù)教學(xué)的根本目標(biāo)之一。例如，日本2008年頒布的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》就強(qiáng)調(diào)：“分?jǐn)?shù)是用于度量小于1的量”。本刊（小學(xué)版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個(gè)來自日本的分?jǐn)?shù)教學(xué)案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實(shí)例。教例的過程是，以學(xué)生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個(gè)“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義。

現(xiàn)在讓我們來分析我國分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中的一個(gè)不足之處。

我國的分?jǐn)?shù)定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)?！边@樣的定義，必須要預(yù)先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實(shí)上，對(duì)一個(gè)平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結(jié)果的大小。這是用分?jǐn)?shù)表示“整體里的一個(gè)部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計(jì)算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現(xiàn)在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個(gè)3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分?jǐn)?shù)就聯(lián)想到等分月餅的模型，會(huì)限制人們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

讓我們回到人民教育出版社數(shù)學(xué)教材中的那個(gè)例子。該情境要解決的問題是：在以一節(jié)繩子作為單位長度的前提下，用分?jǐn)?shù)表示繩子剩余的那個(gè)“尾部”的長度。按照我國教材的分?jǐn)?shù)定義，就必須預(yù)先知道要將一節(jié)繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個(gè)分?jǐn)?shù)。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數(shù)據(jù)。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗(yàn)加以測量。例如，如果一節(jié)繩長恰好是三個(gè)尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節(jié)繩子包含三個(gè)“半截尾部”，那么尾部長度占一節(jié)的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分?jǐn)?shù)，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個(gè)整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個(gè)5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們?nèi)〕銎渲械?0支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個(gè)5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學(xué)。有5位同學(xué)參加書法比賽獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)。問我班有幾分之幾的同學(xué)獲得此獎(jiǎng)？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個(gè)5?，F(xiàn)在如果將班級(jí)人數(shù)平均分為7份，每份是5人，所以獲獎(jiǎng)人數(shù)是全班人數(shù)的。

例3.在人教社數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下學(xué)期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習(xí)題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實(shí)際上是在說：先規(guī)定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個(gè)頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節(jié)繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節(jié)繩子長度的。

總之，分?jǐn)?shù)的定義單純用平均分的情形1作為引例進(jìn)行概括，是不夠的。過分強(qiáng)調(diào)，不求發(fā)展，將會(huì)帶來呆板的思維定勢。尤其因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)是整數(shù)之比”。以后分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，多半會(huì)涉及部分與整體的比例關(guān)系，即情形2的問題。

這一現(xiàn)象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材也都沒有充分關(guān)注。因而建議從理論和實(shí)踐上進(jìn)行研究，妥善處理。

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 200062）