王焱烽

教學(xué)中如何讓學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？這一直是一線教師十分關(guān)注的話題。筆者認(rèn)為，結(jié)合具體的教學(xué)案例來(lái)探討是研究和解決這一問(wèn)題的有效途徑。不久前，筆者就碰到了這樣一道極富啟發(fā)意義的圖形面積計(jì)算綜合題。在對(duì)這道綜合題的思錯(cuò)、悟錯(cuò)過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)修正自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，取得了較好的教學(xué)效果。

一、問(wèn)題

此題是人教版五年級(jí)上《多邊形的面積》單元“整理和復(fù)習(xí)”后的一道練習(xí)題。此題中的小樹(shù)由1個(gè)三角形、2個(gè)梯形和1個(gè)長(zhǎng)方形組成，數(shù)據(jù)繁多，靈活性強(qiáng)。對(duì)學(xué)生解題思路的嚴(yán)密性和計(jì)算的準(zhǔn)確性是一大考驗(yàn)。

學(xué)生在完成了這道題的嘗試作業(yè)之后，筆者經(jīng)過(guò)批改、整理，發(fā)現(xiàn)該題的解答出現(xiàn)諸多錯(cuò)誤，其中最大的問(wèn)題出現(xiàn)在第（2）小題的解答中。根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)，全班無(wú)一人做對(duì)。大部分學(xué)生都是用“手工紙的面積÷小樹(shù)的面積”的方法進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)教師提示，學(xué)生進(jìn)行了動(dòng)手操作，結(jié)果最終能夠剪出9棵樹(shù)的也只有一位同學(xué)（而且耗費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間）。

面對(duì)這樣的情況，筆者結(jié)合學(xué)生的計(jì)算過(guò)程和平時(shí)作業(yè)進(jìn)行了思考與分析。

二、思考與分析

1.為什么大部分學(xué)生都是用“手工紙的面積÷小樹(shù)的面積”的方法？

事實(shí)上，從學(xué)生學(xué)習(xí)除法開(kāi)始，這類“大面積÷小面積=包含的個(gè)數(shù)”的思考方法，已成為學(xué)生頭腦中十分穩(wěn)固、強(qiáng)勢(shì)的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)。從整數(shù)除法開(kāi)始，直至學(xué)生前一階段所學(xué)的小數(shù)除法，到多邊形面積的計(jì)算習(xí)題（如例1，摘自五上年級(jí)配套的課堂作業(yè)本P.40，該題為三角形面積計(jì)算的練習(xí)課的課堂練習(xí)），無(wú)不在暗示學(xué)生，“大面積÷小面積=包含的個(gè)數(shù)”這一方法的普遍適用性。

例1：某班要做一些如圖1所示的直角三角形小紅旗，一張長(zhǎng)1.2米、寬0.8米的長(zhǎng)方形紅紙，能做這樣的小紅旗多少面？

（1.2×0.8）÷（0.3×0.2÷2）=32（面）

答：能做這樣的小紅旗32面

于是在碰到類似問(wèn)題情境時(shí)，學(xué)生提取這樣的方法進(jìn)行計(jì)算成為自然、唯一的方法（如例2）。

例2：人民醫(yī)院用一塊長(zhǎng)7.2米、寬1.8米的長(zhǎng)方 形白布制作包扎用的三角巾（如圖2），能做這樣的三角巾多少塊？

7.2×1.8=12.96（米2）

S=ah÷2=0.9×0.9÷2=0.81÷2=0.405（米2）

12.96÷0.405=32（塊）

答：最多能做32塊這樣的三角巾

從這兩道習(xí)題來(lái)看，學(xué)生經(jīng)過(guò)這樣的練習(xí)，頭腦中已然形成了一定的思維脈絡(luò)，一旦相似的問(wèn)題情境出現(xiàn)，頭腦中的原有經(jīng)驗(yàn)便被瞬時(shí)激活：

我們知道，思維定勢(shì)是思維的一種“慣性”，指由于先前的活動(dòng)而形成的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，它使人以比較固定的方式去進(jìn)行認(rèn)知并作出行為反應(yīng)。思維定勢(shì)對(duì)問(wèn)題的解決既具有積極作用，也具有消極影響。一方面，思維定勢(shì)可以加快學(xué)生的解題速度，使學(xué)生采用最簡(jiǎn)捷的途徑解決問(wèn)題；但另一方面，當(dāng)問(wèn)題情境改變時(shí)，思維定勢(shì)卻容易導(dǎo)致學(xué)生在問(wèn)題解決方法的選擇上出現(xiàn)不當(dāng)乃至錯(cuò)誤。這其實(shí)就是學(xué)生缺乏“具體問(wèn)題具體分析”意識(shí)的體現(xiàn)。

所以，從學(xué)生用大面積除以小面積的方法使用來(lái)看，正是積極思維定勢(shì)的體現(xiàn)。這種借助原有的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題的意識(shí)是有積極意義的。但本文所述習(xí)題，求這樣的小樹(shù)可以剪多少棵，也是學(xué)生消極思維定勢(shì)的體現(xiàn)。

2. 為什么要讓學(xué)生完成這樣一道習(xí)題，它的練習(xí)價(jià)值在何處？

這個(gè)問(wèn)題并不指向于錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因。對(duì)分析錯(cuò)誤原因毫不相干。但是，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，有助于我們?cè)趽荛_(kāi)錯(cuò)誤迷霧過(guò)程中，跳出習(xí)題看問(wèn)題。題中的數(shù)據(jù)可謂繁雜，也不像先前的求圖形面積、求陰影部分面積等習(xí)題那樣標(biāo)識(shí)得很清晰。但是深入思考不難發(fā)現(xiàn)繁雜的計(jì)算并不是該題的目的，那么該題的練習(xí)目的、練習(xí)意圖究竟是什么？通過(guò)這樣的練習(xí)，學(xué)生從中能獲得哪些有益的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考方法？先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)，在此處能派上用場(chǎng)嗎？與這道習(xí)題“一脈相承”的其他習(xí)題，能否為這道習(xí)題提供教學(xué)思路？

三、解決

“九層之臺(tái)起于累土”，如何幫助學(xué)生從思維定勢(shì)中“破繭而出”，建立新的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？思維的“破”與“立”，并不是一蹴而就的。對(duì)于這道題，筆者運(yùn)用緩坡度、分階段的教學(xué)實(shí)施過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)思想方法的運(yùn)用之妙，更重要的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)新活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，幫助學(xué)生完善問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)。

第一階段：

1.出示例1（見(jiàn)上文，題略）：你是怎么想的？學(xué)生得出：大面積÷小面積=個(gè)數(shù)

2.出示例2（見(jiàn)上文，題略）：你能解答嗎？

學(xué)生在原有經(jīng)驗(yàn)的提取、運(yùn)用下，很快就解決了。不出教師所料，方法依然是：大面積÷小面積=個(gè)數(shù)。

需要說(shuō)明的是，例1是學(xué)生在課堂作業(yè)中完成過(guò)的，例2則是筆者在進(jìn)行作業(yè)講評(píng)時(shí)補(bǔ)充的。這樣的設(shè)計(jì)，意在經(jīng)過(guò)練習(xí)，總結(jié)形成經(jīng)驗(yàn)，即經(jīng)過(guò)一定數(shù)量的“感性經(jīng)驗(yàn)”的積累，獲得“理性經(jīng)驗(yàn)”——對(duì)規(guī)律的概括與提升。這是學(xué)生從結(jié)合三角形面積計(jì)算的直觀形式，到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的初步生成和積累的過(guò)程。這一步，對(duì)于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的獲得而言，同樣十分重要。

第二階段：

出示例3：農(nóng)具廠要切割底和高都是2分米的直角三角形鐵板，現(xiàn)在有一塊長(zhǎng)1.3米、寬0.4米的長(zhǎng)方形鐵板，最多可以切割這樣的三角形鐵板多少塊？

絕大部分學(xué)生的解法仍然如法炮制（圖3），沒(méi)有意識(shí)到雖然問(wèn)題情境是相似的，但方法已然不再適用了。

這時(shí)筆者進(jìn)行了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生很快意識(shí)到原有經(jīng)驗(yàn)的局限性。通過(guò)課堂交流、實(shí)踐操作，學(xué)生在肯定了原先方法的同時(shí)，找到了問(wèn)題所在，并給出了正確的思考方法（圖4）。

學(xué)生自行總結(jié)：原來(lái)“大面積÷小面積”方法有些時(shí)候可以用，有些時(shí)候卻不能用。像上面圖中，旁邊的小長(zhǎng)方形就不能再切割出符合要求的三角形了。endprint

學(xué)生在完成了這道習(xí)題后，對(duì)解題方法進(jìn)行了反思得出：

生1：我們可以把兩個(gè)這樣一模一樣的三角形拼起來(lái)。

生2：先算出一行能剪多少個(gè)，再算出一共能剪多少行。也就是每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=總個(gè)數(shù)

生3：還可以用畫(huà)圖法。先畫(huà)一畫(huà)圖畫(huà)。每行畫(huà)幾個(gè)，一共可以畫(huà)幾行。這樣圖畫(huà)里的個(gè)數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習(xí)題：用一張長(zhǎng)45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹(shù)？

很多學(xué)生受前面兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對(duì)嗎？在討論過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，第一種做法是大面積除以小面積，因?yàn)樾?shù)是組合圖形，也可以說(shuō)是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費(fèi)，因?yàn)榕赃呥€留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導(dǎo)：既然這樣“橫”著剪比較費(fèi)紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹(shù)長(zhǎng)多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹(shù)？

經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生把注意力放在了兩棵小樹(shù)中間的空隙上。

生1：兩棵樹(shù)之間有1個(gè)空隙，把小樹(shù)倒過(guò)來(lái)剛好是1個(gè)空隙的大小。這樣，5棵樹(shù)之間共有4個(gè)空隙，那么就可以放下4棵小樹(shù)。

生2：這就是我們學(xué)過(guò)的植樹(shù)問(wèn)題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個(gè)手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運(yùn)用、總結(jié)過(guò)程，實(shí)際上體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)自身原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的修正過(guò)程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來(lái)的“畫(huà)圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學(xué)生分析、總結(jié)方法，有助于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的充實(shí)、完善。

或者有人會(huì)問(wèn)：這個(gè)方法后續(xù)學(xué)習(xí)中有沒(méi)有用呢？其實(shí)這樣的學(xué)習(xí)，不僅僅只是開(kāi)闊了經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)修正。更重要的是，在學(xué)生思維方法的庫(kù)存得以豐實(shí)的同時(shí)，策略意識(shí)得以培養(yǎng)，解決問(wèn)題的能力得以提升。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗(yàn)，只是，那時(shí)的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)了（見(jiàn)例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實(shí)原型見(jiàn)圖10、學(xué)生作業(yè)見(jiàn)圖11）。

例4：在長(zhǎng)12.4cm、寬7.2cm的長(zhǎng)方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個(gè)？（人教版六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)P.100）

四、說(shuō)明

本次干預(yù)過(guò)程，實(shí)際上并不是一次就能完成的。新方法的學(xué)習(xí)，是需要建立在學(xué)生已有方法、知識(shí)運(yùn)用與思維水平之上的。分階段——結(jié)合當(dāng)時(shí)學(xué)生的作業(yè)情況，對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行肯定、否定、再認(rèn)可新經(jīng)驗(yàn)的分次教學(xué)。緩坡度——讓學(xué)生對(duì)頭腦中的已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、比較，直至形成自己較為完善的問(wèn)題解決結(jié)構(gòu)。每一階段的教學(xué)，不應(yīng)排斥原有方法和經(jīng)驗(yàn)，但必須給予學(xué)生認(rèn)識(shí)到已有方法的局限性的機(jī)會(huì)。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗(yàn)。繼而，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，能綜合運(yùn)用所獲得的知識(shí)、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)新情境完成新任務(wù)。

還需指出的是，剪小樹(shù)這道題確實(shí)比較難。部分學(xué)生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學(xué)生給出“手指交叉”的手勢(shì)后，仍然對(duì)此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認(rèn)為，后續(xù)教學(xué)中，教師仍需要通過(guò)具體的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生在運(yùn)用中加深對(duì)方法的體驗(yàn)。

經(jīng)歷過(guò)不代表就一定能獲得經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)的建立和運(yùn)用是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過(guò)程。在新的問(wèn)題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學(xué)生思考、驗(yàn)證、嘗試的數(shù)學(xué)活動(dòng)，都是學(xué)生基于原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步主動(dòng)修正、建構(gòu)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的螺旋式上升與發(fā)展提供了機(jī)會(huì)。經(jīng)驗(yàn)，可以促進(jìn)成長(zhǎng)，卻也可能阻礙成長(zhǎng)。不同方法在不同問(wèn)題情境中的反復(fù)運(yùn)用，有助于學(xué)生走出思維定勢(shì)，減少消極的思維定勢(shì)帶來(lái)的不利影響。通過(guò)不斷地體驗(yàn)與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，作為教師，要積極給予學(xué)生“破”“立”交替，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學(xué) 312000）endprint

學(xué)生在完成了這道習(xí)題后，對(duì)解題方法進(jìn)行了反思得出：

生1：我們可以把兩個(gè)這樣一模一樣的三角形拼起來(lái)。

生2：先算出一行能剪多少個(gè)，再算出一共能剪多少行。也就是每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=總個(gè)數(shù)

生3：還可以用畫(huà)圖法。先畫(huà)一畫(huà)圖畫(huà)。每行畫(huà)幾個(gè)，一共可以畫(huà)幾行。這樣圖畫(huà)里的個(gè)數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習(xí)題：用一張長(zhǎng)45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹(shù)？

很多學(xué)生受前面兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對(duì)嗎？在討論過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，第一種做法是大面積除以小面積，因?yàn)樾?shù)是組合圖形，也可以說(shuō)是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費(fèi)，因?yàn)榕赃呥€留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導(dǎo)：既然這樣“橫”著剪比較費(fèi)紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹(shù)長(zhǎng)多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹(shù)？

經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生把注意力放在了兩棵小樹(shù)中間的空隙上。

生1：兩棵樹(shù)之間有1個(gè)空隙，把小樹(shù)倒過(guò)來(lái)剛好是1個(gè)空隙的大小。這樣，5棵樹(shù)之間共有4個(gè)空隙，那么就可以放下4棵小樹(shù)。

生2：這就是我們學(xué)過(guò)的植樹(shù)問(wèn)題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個(gè)手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運(yùn)用、總結(jié)過(guò)程，實(shí)際上體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)自身原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的修正過(guò)程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來(lái)的“畫(huà)圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學(xué)生分析、總結(jié)方法，有助于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的充實(shí)、完善。

或者有人會(huì)問(wèn)：這個(gè)方法后續(xù)學(xué)習(xí)中有沒(méi)有用呢？其實(shí)這樣的學(xué)習(xí)，不僅僅只是開(kāi)闊了經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)修正。更重要的是，在學(xué)生思維方法的庫(kù)存得以豐實(shí)的同時(shí)，策略意識(shí)得以培養(yǎng)，解決問(wèn)題的能力得以提升。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗(yàn)，只是，那時(shí)的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)了（見(jiàn)例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實(shí)原型見(jiàn)圖10、學(xué)生作業(yè)見(jiàn)圖11）。

例4：在長(zhǎng)12.4cm、寬7.2cm的長(zhǎng)方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個(gè)？（人教版六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)P.100）

四、說(shuō)明

本次干預(yù)過(guò)程，實(shí)際上并不是一次就能完成的。新方法的學(xué)習(xí)，是需要建立在學(xué)生已有方法、知識(shí)運(yùn)用與思維水平之上的。分階段——結(jié)合當(dāng)時(shí)學(xué)生的作業(yè)情況，對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行肯定、否定、再認(rèn)可新經(jīng)驗(yàn)的分次教學(xué)。緩坡度——讓學(xué)生對(duì)頭腦中的已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、比較，直至形成自己較為完善的問(wèn)題解決結(jié)構(gòu)。每一階段的教學(xué)，不應(yīng)排斥原有方法和經(jīng)驗(yàn)，但必須給予學(xué)生認(rèn)識(shí)到已有方法的局限性的機(jī)會(huì)。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗(yàn)。繼而，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，能綜合運(yùn)用所獲得的知識(shí)、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)新情境完成新任務(wù)。

還需指出的是，剪小樹(shù)這道題確實(shí)比較難。部分學(xué)生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學(xué)生給出“手指交叉”的手勢(shì)后，仍然對(duì)此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認(rèn)為，后續(xù)教學(xué)中，教師仍需要通過(guò)具體的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生在運(yùn)用中加深對(duì)方法的體驗(yàn)。

經(jīng)歷過(guò)不代表就一定能獲得經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)的建立和運(yùn)用是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過(guò)程。在新的問(wèn)題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學(xué)生思考、驗(yàn)證、嘗試的數(shù)學(xué)活動(dòng)，都是學(xué)生基于原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步主動(dòng)修正、建構(gòu)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的螺旋式上升與發(fā)展提供了機(jī)會(huì)。經(jīng)驗(yàn)，可以促進(jìn)成長(zhǎng)，卻也可能阻礙成長(zhǎng)。不同方法在不同問(wèn)題情境中的反復(fù)運(yùn)用，有助于學(xué)生走出思維定勢(shì)，減少消極的思維定勢(shì)帶來(lái)的不利影響。通過(guò)不斷地體驗(yàn)與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，作為教師，要積極給予學(xué)生“破”“立”交替，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學(xué) 312000）endprint

學(xué)生在完成了這道習(xí)題后，對(duì)解題方法進(jìn)行了反思得出：

生1：我們可以把兩個(gè)這樣一模一樣的三角形拼起來(lái)。

生2：先算出一行能剪多少個(gè)，再算出一共能剪多少行。也就是每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=總個(gè)數(shù)

生3：還可以用畫(huà)圖法。先畫(huà)一畫(huà)圖畫(huà)。每行畫(huà)幾個(gè)，一共可以畫(huà)幾行。這樣圖畫(huà)里的個(gè)數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習(xí)題：用一張長(zhǎng)45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹(shù)？

很多學(xué)生受前面兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對(duì)嗎？在討論過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，第一種做法是大面積除以小面積，因?yàn)樾?shù)是組合圖形，也可以說(shuō)是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費(fèi)，因?yàn)榕赃呥€留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導(dǎo)：既然這樣“橫”著剪比較費(fèi)紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹(shù)長(zhǎng)多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹(shù)？

經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生把注意力放在了兩棵小樹(shù)中間的空隙上。

生1：兩棵樹(shù)之間有1個(gè)空隙，把小樹(shù)倒過(guò)來(lái)剛好是1個(gè)空隙的大小。這樣，5棵樹(shù)之間共有4個(gè)空隙，那么就可以放下4棵小樹(shù)。

生2：這就是我們學(xué)過(guò)的植樹(shù)問(wèn)題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個(gè)手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運(yùn)用、總結(jié)過(guò)程，實(shí)際上體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)自身原有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的修正過(guò)程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來(lái)的“畫(huà)圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學(xué)生分析、總結(jié)方法，有助于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的充實(shí)、完善。

或者有人會(huì)問(wèn)：這個(gè)方法后續(xù)學(xué)習(xí)中有沒(méi)有用呢？其實(shí)這樣的學(xué)習(xí)，不僅僅只是開(kāi)闊了經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)修正。更重要的是，在學(xué)生思維方法的庫(kù)存得以豐實(shí)的同時(shí)，策略意識(shí)得以培養(yǎng)，解決問(wèn)題的能力得以提升。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗(yàn)，只是，那時(shí)的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)了（見(jiàn)例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實(shí)原型見(jiàn)圖10、學(xué)生作業(yè)見(jiàn)圖11）。

例4：在長(zhǎng)12.4cm、寬7.2cm的長(zhǎng)方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個(gè)？（人教版六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)P.100）

四、說(shuō)明

本次干預(yù)過(guò)程，實(shí)際上并不是一次就能完成的。新方法的學(xué)習(xí)，是需要建立在學(xué)生已有方法、知識(shí)運(yùn)用與思維水平之上的。分階段——結(jié)合當(dāng)時(shí)學(xué)生的作業(yè)情況，對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行肯定、否定、再認(rèn)可新經(jīng)驗(yàn)的分次教學(xué)。緩坡度——讓學(xué)生對(duì)頭腦中的已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析、比較，直至形成自己較為完善的問(wèn)題解決結(jié)構(gòu)。每一階段的教學(xué)，不應(yīng)排斥原有方法和經(jīng)驗(yàn)，但必須給予學(xué)生認(rèn)識(shí)到已有方法的局限性的機(jī)會(huì)。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗(yàn)。繼而，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，能綜合運(yùn)用所獲得的知識(shí)、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)新情境完成新任務(wù)。

還需指出的是，剪小樹(shù)這道題確實(shí)比較難。部分學(xué)生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學(xué)生給出“手指交叉”的手勢(shì)后，仍然對(duì)此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認(rèn)為，后續(xù)教學(xué)中，教師仍需要通過(guò)具體的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生在運(yùn)用中加深對(duì)方法的體驗(yàn)。

經(jīng)歷過(guò)不代表就一定能獲得經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)的建立和運(yùn)用是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過(guò)程。在新的問(wèn)題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學(xué)生思考、驗(yàn)證、嘗試的數(shù)學(xué)活動(dòng)，都是學(xué)生基于原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步主動(dòng)修正、建構(gòu)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的螺旋式上升與發(fā)展提供了機(jī)會(huì)。經(jīng)驗(yàn)，可以促進(jìn)成長(zhǎng)，卻也可能阻礙成長(zhǎng)。不同方法在不同問(wèn)題情境中的反復(fù)運(yùn)用，有助于學(xué)生走出思維定勢(shì)，減少消極的思維定勢(shì)帶來(lái)的不利影響。通過(guò)不斷地體驗(yàn)與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，作為教師，要積極給予學(xué)生“破”“立”交替，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學(xué) 312000）endprint