陳暉 沈明

(1.福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350108;2.福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350108)

微縫隙流動廣泛存在于流體動力系統(tǒng)、微納機電系統(tǒng)、薄膜流體潤滑和高端集成電路(IC)裝備［1］等領(lǐng)域中，在壓力和流量等參數(shù)的控制方面發(fā)揮著重要作用［2-3］.當液膜縫隙厚度為微納尺度時，表面效應愈加明顯，其內(nèi)部流動規(guī)律將明顯區(qū)別于宏觀流體流動，其中一個突出的特征是液固交界處的邊界滑移［4］.

實驗顯示微納尺度下滑移長度從幾納米到幾十微米不等，邊界滑移對流動特性的影響顯著［5-6］.邊界滑移受到眾多因素的影響，其中一個關(guān)鍵參數(shù)是界面的親疏液性質(zhì).在超疏液界面下，固體表面分子與液體分子間的吸引力很容易被流體流動所帶來的剪切率平衡，易在固體表面形成速度滑移［7］;其主要原因是在疏液固體表面存在微納氣層，液體在其上面實現(xiàn)近自由剪切流動;通過界面微納結(jié)構(gòu)設計，提升固液界面的微氣體比例，則可實現(xiàn)大尺度的滑移［8］.對于親液性界面，由于其表面較強的殘余化學鍵，表現(xiàn)出高的表面能，對流體分子具有較強的吸附力，一般很難產(chǎn)生滑移，甚至會產(chǎn)生抑制液體流動的負滑移現(xiàn)象［9-11］.

滑移流動目前仍未有一個公認的物理機制和模型［12-14］，對于它的研究常伴隨著新現(xiàn)象和新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，尤其是在親液和疏液復合界面下的微流動研究中.如通過對納米水膜的試驗研究發(fā)現(xiàn)，當水膜位于親水壁面和疏水壁面之間時，即便下方疏水壁面運動速度非常快，上方親水壁面對水膜仍有著非常強且穩(wěn)定的束縛，這是一個有趣的現(xiàn)象［15］.

文中圍繞著微納尺度下典型的平板縫隙剪切流，建立基于Navier 滑移的二維微流動精確解模型，在此基礎(chǔ)上結(jié)合文獻中試驗測量所得的滑移參數(shù)值，研究親液和疏液復合界面內(nèi)的瞬態(tài)滑移流動行為，以及壁面性質(zhì)對微縫隙流動的作用規(guī)律.

1 數(shù)學模型

1.1 微縫隙剪切流的控制方程與邊界條件

微縫隙流動主要受到進出口壓差和壁面剪切作用，對于主要為層流的微納流動，在此基礎(chǔ)上將形成相互獨立的壓差流和剪切流.

壓差流充分發(fā)展后的流動速度場呈拋物線分布，流動形式穩(wěn)定.剪切流動受壁面運動影響強烈，并伴隨時間發(fā)生瞬時變化，因此研究瞬態(tài)剪切滑移流動對全面獲知微縫隙的內(nèi)部流動規(guī)律十分必要.

設縫隙微流動為層流且不可壓縮，忽略進出口壓差和重力的影響，則二維微縫隙流動的控制方程為

式中，u 為液體的流動速度，μ 為液體的動力黏度，t為微縫隙壁面的運動時間，y 為液體質(zhì)點與縫隙下壁面的距離.

由式(1)可知，除液體性質(zhì)μ 和微縫隙厚度h之外，微縫隙流動的速度u 還受到壁面運動狀態(tài)及性質(zhì)的影響.

由于微縫隙流動的壁面剪切率普遍低且沿壁面分布處處相等，與粘性剪應率和滑移系數(shù)成正比的Navier 滑移模型［16］在該狀態(tài)下模型簡單可靠，因此采用該模型描述界面滑移現(xiàn)象，其基本形式為

式中:W 為壁面邊界;b 為滑移長度，該值反映壁面材料屬性并由試驗測定.

壁面親疏液性質(zhì)對于滑移的影響主要通過滑移長度b 的大小描述.滑移長度為正且其值大意味著液固界面的滑移強度大;滑移長度若為負值(即負滑移)則表明在距離該壁面一定范圍內(nèi)存在靜止的液體層.

基于Navier 滑移模型的微縫隙剪切流原理如圖1 所示.以靜止上壁面處的滑移流動為例，假設無滑移速度位于離實際固壁上方距離為b2的位置(即該處的速度u'為零)，同時認為上壁面處的液體流速與當?shù)鼐植繎兟食烧?，由此描述壁面處具有一定流動速度u(t，h)的滑移現(xiàn)象，而經(jīng)典無滑移認為該位置的液體速度為零.定義下壁面運動速度V 的最大值為U，在Navier 滑移模型中，在距離運動壁面下方b1的位置處的速度u'等于壁面最大運動速度U.

圖1 基于Navier 滑移的縫隙流模型Fig.1 Gap-flow model with Navier slip condition

為研究壁面性質(zhì)對微流動的影響規(guī)律，基于Navier 滑移模型建立微縫隙剪切滑移流動的初邊界條件:

式中，b1為下壁面的滑移長度，b2為上壁面的滑移長度，h 為微縫隙的厚度.

1.2 剪切微流動的精確解建模

由于初邊界問題(1)和(3)具有非齊次的第3類邊界條件，直接求解十分困難.為將其轉(zhuǎn)化為齊次邊界求解，令

將方程(4)代入初邊界問題(1)和(3)得

利用疊加原理，將方程(5)分解為

和

并且有

利用分離變量法和齊次化原理，求得w1和w2.結(jié)合方程(4)和(8)，得復合滑移下的微縫隙速度場的精確解為

其中，

式中，βn(n=1，2，3，…)為式(13)的可列無窮多個正解，利用數(shù)值求解法可得其滿足βn＜βn+1.

根據(jù)方程的解(9)－(13)和級數(shù)理論可知u(t，y)是收斂的.n=500 時的u(t，y)比n=499 的增量小于10－8，結(jié)果變化微小，可近似認為解已收斂.因此，文中取n=500 進行求解分析.

2 結(jié)果與分析

試驗顯示不同疏液性表面的滑移長度差異大.Tretheway 等［17］采用Micro-PIV 對特征尺寸為30 μm的流動系統(tǒng)進行測定，所得滑移長度約為1 μm;Chang 等［6］利用流變儀測定端面間隙為53 μm 的系統(tǒng)，以水為介質(zhì)時的最大滑移長度為20 μm.因此，文中的滑移長度b1、b2選取為縫隙厚度h 的正負0.01～0.30 倍.

區(qū)別于疏液表面的正滑移，親液性表面由于液體分子吸附力而呈現(xiàn)出負滑移現(xiàn)象，但滑移長度僅為幾納米［9］.因此，所分析具有親液壁面的微縫隙厚度取納米級.此外，為便于分析，取純水為液體介質(zhì)，縫隙運動壁面的速度為0.5 m/s，流場厚度h 為10～105nm，滑移長度b1、b2取±(0.01h～0.30h)，壁面運動速度V 為0.5 m/s，時間t 為0.0～0.1 s.

2.1 模型的可靠性驗證

為驗證數(shù)學模型的可靠性，基于Fluent 軟件建立二維非定常計算流體動力學模型(CFD)進行對比分析.在CFD 模型中，將入口和出口處網(wǎng)格進行鏈接并建立周期性邊界條件，由此消除進出口壓差帶來的影響;在此基礎(chǔ)上，編寫基于Navier 滑移的udf程序組，將其作為邊界條件分別加載到微縫隙流場的上下壁面中.此外，設置縫隙厚度方向的網(wǎng)格為100 層，以更加準確地獲取微縫隙的滑移流動規(guī)律.

在典型流場厚度(h=100 μm)和兩壁面具有相同滑移強度(滑移長度均為b1=b2=0.1h)的狀態(tài)下，伴隨下壁面以V=0.5 m/s 的速度運動，縫隙中心流場(y=0.5h)的流速變化規(guī)律如圖2 所示.圖中，u(t，0.5h)/V 為流場中心的無量綱液體流速.

圖2 CFD 仿真與數(shù)學模型的瞬態(tài)結(jié)果對比Fig.2 Comparison of unsteady results of CFD simulation and mathematical model

結(jié)果顯示，CFD 仿真與數(shù)學模型的計算結(jié)果一致.伴隨下壁面的運動，粘性牽拉作用使中心流場的速度迅速提升并趨向于恒定值，這種現(xiàn)象在無滑移剪切流中同樣存在［15］.上下壁面的滑移強度一致導致兩壁面的滑移作用相互抵消，使中心流場的穩(wěn)定流速u(t，0.5h)等于壁面運動速度V 的一半.

值得注意的是，在這種縫隙較大情況下，流速穩(wěn)定的過程仍然迅速(＜0.01 s).對于尺度更小的微納縫隙，壁面運動影響的增強將使流速穩(wěn)定時間進一步縮短.因此，為便于研究，后面主要圍繞穩(wěn)定狀態(tài)(取壁面運動時間為0.1 s)利用該精確解模型研究微尺度下的滑移流動規(guī)律.

2.2 親疏液復合滑移的微流動特性

界面滑移主要分為疏液正滑移和親液負滑移兩種類型，當微縫隙中同時存在親液壁面和疏液壁面時，流動更加復雜.由于親液負滑移的作用范圍為納米尺度，所以該問題的研究對象取厚度為10 nm 的微縫隙.

對于下壁面為疏液正滑移(b1＞0)、上壁面為親液負滑移(b2＜0)的工況，其液體流速和水分子分布狀態(tài)如圖3 所示.圖中，u/V 為無量綱的液體流速，y/h 為液體質(zhì)點與下壁面的無量綱距離.親液上壁面因負滑移作用形成具有與上壁面同處于靜止狀態(tài)的液體止滯層.在疏液下壁面運動狀態(tài)下，增大上壁面負滑移長度將明顯放大止滯層的厚度，當下壁面為疏液正滑移時這種效應將進一步增強，因此使微縫隙中部以上的液體均處于靜止狀態(tài).

圖3 下疏上親型微縫隙的典型流速分布Fig.3 Typical velocity distribution of micro-gap flow with hydrophilic bottom-wall and hydrophobic upper-wall

由此可見，親液上壁面將呈現(xiàn)出對微液體的強附著力，若進一步實現(xiàn)微縫隙的超親液和超疏液壁面復合，則在邊界快速運動下仍可有效束縛液體，這與試驗發(fā)現(xiàn)在納米親疏水運動壁面中存在液體強束縛力的現(xiàn)象［15］相吻合.

從圖3 中還可以看到，在同類壁面性質(zhì)下，微縫隙流場呈近似線性分布.這說明壁面運動引起的微縫隙粘性剪切流達了到牛頓粘性定律的穩(wěn)定狀態(tài)，即線性流場分布.相比無滑移狀態(tài)時呈45°斜率的穩(wěn)定流速分布(即Couette 流)，該狀態(tài)近運動壁面的流速變化更迅速.

對具有相反滑移性質(zhì)的流場，即下壁面為親液負滑移、上壁面為疏液正滑移的情況，典型結(jié)果如圖4所示.

圖4 下親上疏型微縫隙的典型流速分布Fig.4 Typical velocity distribution of micro-gap flow with hydrophobic bottom-wall and hydrophilic upper-wall

相比較于前者，在相同滑移長度下，疏液壁面的滑移速度近似相等，但下壁面親液負滑移時液體的止滯層厚度縮小60%，液固界面對液體的束縛力明顯減弱.究其原理，主要是由于壁面運動增強了壁面及附近液體分子間的粘性剪切作用，從而削弱了液固界面對水分子的吸引力，由此降低了負滑移帶來的影響.

2.3 變強度復合滑移的微流動特性

相同滑移類型、不同滑移強度是復合滑移界面的另一種典型形式.對于上下均為親液型壁面的復合滑移，其典型微流動如圖5 所示.

圖5 親液復合型微縫隙的典型流速分布Fig.5 Typical velocity distribution of micro-gap flow with complicated hydrophilic walls

流場內(nèi)部存在兩個負滑移區(qū)域，其內(nèi)的液體相對壁面靜止.增大滑移長度時，上壁面處液體的止滯區(qū)明顯.對比圖中3 中的親疏液復合滑移，該類型下壁面的負滑移使運動壁面影響獲得增強，從而導致微縫隙上方的液體止滯區(qū)縮小.值得注意的是，當壁面負滑移長度較大(b1=b2=－0.3h)時，液體的流速變化區(qū)僅為微縫隙厚度的三分之一，這將形成強大的流動阻力從而抑制液體更新，因此在納米流動中需給予充分的重視.

區(qū)別于親液型微縫隙，疏液滑移作用范圍較大，取典型10μm 厚度的微縫隙為研究對象.在壁面均為正滑移的狀態(tài)下，其流動特性如圖6 所示.

圖6 疏液復合型微縫隙的典型流速分布Fig.6 Typical velocity distribution of micro-gap flow with complicated hydrophobic walls

從圖中分析可知，疏液型復合界面下，同滑移長度不同壁面的滑移流速近似相等.如滑移長度b1=b2=0.1h 的情況，兩個壁面的無量綱滑移流速均為0.083，即兩壁面性質(zhì)對滑移流動影響相同.實際工況下，若需要進行流動優(yōu)化，可根據(jù)需求選取易處理的表面進行界面改性.

3 結(jié)論

結(jié)合界面滑移特性對微流動的影響規(guī)律，文中建立了親疏液復合壁面下微縫隙剪切流的精確解模型，在CFD 建模驗證其可靠性的基礎(chǔ)上，利用該模型得到以下結(jié)論:

(1)帶滑移邊界的微縫隙流動在壁面(0.5 m/s)運動下，其流場存在一個發(fā)展過程，并迅速趨向于穩(wěn)定狀態(tài);對于厚度為100 μm 的微縫隙，該穩(wěn)定過程的時間為0.01 s.這表明對具有滑移行為的微縫隙流動，可以直接采用穩(wěn)態(tài)模型進行分析.

(2)在納米尺度下，滑移長度大的靜止親液壁呈現(xiàn)出強的液體附著力;若此時對應運動壁面為疏液狀態(tài)，該效應將進一步增強.然而，當運動壁面為親液、靜止壁面為疏液時，親液壁面的液體附著力減小，液體相對壁面靜止的區(qū)域明顯縮小.這說明對于有強附著力要求的場合，增強靜止壁面的負滑移強度十分必要;反之對于低流阻要求場合則需要充分降低該類滑移的強度.

(3)疏液壁面性質(zhì)對流場的作用受壁面運動影響小，尤其當微縫隙靜止和運動壁面均為疏液狀態(tài)時，兩壁面性質(zhì)對滑移流動的影響近似相同.因此，若需要改變該滑移類型的微流動狀態(tài)，可選擇易于表面改性的靜止(或運動)壁面進行界面處理.

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