陳炳發(fā) 丁旺生 丁力平 陳文亮

( 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度和高承載力等特點(diǎn)，因此在機(jī)器人領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.其中，5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中極為重要的一類，有著突出的應(yīng)用前景［1］.在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，王海東等［2］提出了4PSS +PRPaU 5 自由度新型并聯(lián)機(jī)床的概念設(shè)計(jì)，Yi 等［3］提出了一種3 支鏈5 自由度2SPS + UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，Chen 等［4］提出了一種4UPS+RPS 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu).上述機(jī)構(gòu)的共同特點(diǎn)是能實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的三維轉(zhuǎn)動(dòng)和兩維移動(dòng)共5 個(gè)自由度.但迄今為止，能實(shí)現(xiàn)三維移動(dòng)和兩維轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)則相對(duì)較少.

當(dāng)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時(shí)，其自由度會(huì)發(fā)生變化，使機(jī)構(gòu)失去控制，甚至對(duì)機(jī)構(gòu)造成破壞［5-6］.因此，奇異位形分析與規(guī)避是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要研究?jī)?nèi)容.目前，并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異性的研究方法主要有基于機(jī)構(gòu)輸入、輸出速度的分析方法，Grassmann線幾何法，基于矩陣的分析方法以及基于螺旋理論的分類方法等［7］.很多學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的規(guī)避也做了研究.Yiu 等［8］提出利用冗余驅(qū)動(dòng)來消除奇異，然而該方法只能消除機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)奇異，對(duì)運(yùn)動(dòng)奇異通常沒有效果，同時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生新的奇異位形; Sen 等［9］提出利用規(guī)劃路徑的方法來規(guī)避奇異位形，但是對(duì)于具有連續(xù)工作空間和軌跡控制要求的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過軌跡規(guī)劃規(guī)避運(yùn)動(dòng)奇異性是不可行的［10］，因此這類規(guī)避方法在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.文中采用約束支鏈法設(shè)計(jì)了一種新型的、能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)平臺(tái)三維移動(dòng)和兩維轉(zhuǎn)動(dòng)的5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用雅克比矩陣推導(dǎo)出了機(jī)構(gòu)產(chǎn)生奇異位形的判斷條件，并根據(jù)此判斷條件給出了兩種規(guī)避機(jī)構(gòu)奇異位形的方法.

1 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述

所設(shè)計(jì)的2UPS+PRRPR 5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型如圖1 所示，機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)示意圖見圖2.該機(jī)構(gòu)包括定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)，以及固定在定平臺(tái)上的直線導(dǎo)軌和支鏈1、2、3.其中，支鏈1 和3 是2 條相同的UPS 支鏈，支鏈2 為PRRPR 支鏈，是含一移動(dòng)輸入和一轉(zhuǎn)動(dòng)輸入的約束鏈( U、P、S、R 分別表示虎克鉸、移動(dòng)副、球鉸、轉(zhuǎn)動(dòng)副) .桿L2中的移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng) 副1 為 支 鏈2 中 的 驅(qū) 動(dòng) 副1、2.支 鏈3 中 的 移 動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副3，支鏈1 中的移動(dòng)副和虎克鉸第二轉(zhuǎn)動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副4、5.其中，支鏈1、3 中虎克鉸的第一轉(zhuǎn)動(dòng)副以及支鏈2 中的轉(zhuǎn)動(dòng)副1、2 均與X 軸平行.虎克鉸的第二轉(zhuǎn)動(dòng)副和支鏈2 中的轉(zhuǎn)動(dòng)副3 均與Y軸平行.支鏈1、3 中與動(dòng)平臺(tái)相連的S 副中心分別記為A1、A3，與定平臺(tái)連接的U 鉸中心分別記為B1、B3.支鏈2 與定平臺(tái)相連的滑塊副中心記為B2，與動(dòng)平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心記為A2.該并聯(lián)機(jī)構(gòu)含有串聯(lián)輸入支鏈，故通過3 條支鏈可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)三維移動(dòng)和兩維轉(zhuǎn)動(dòng)共5 個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)要求，結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，姿態(tài)調(diào)解能力強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)部分控制解耦.

圖1 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型Fig.1 Model of 2UPS+PRRPR parallel mechanism

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)示意圖Fig.2 Coordinate diagram of parallel mechanism

2 自由度分析

支鏈2 的螺旋系圖如圖3 所示.為方便起見，確定X 軸為沿轉(zhuǎn)動(dòng)副1 的軸線方向，Z 軸豎直向上，Y軸由右手定則確定.在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中，PRRPR支鏈的5 個(gè)螺旋的表達(dá)式如下:

式中，ai、bi( i=1，2，3) 為運(yùn)動(dòng)副軸線在O-XYZ 坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

圖3 約束支鏈螺旋示意圖Fig.3 Schematic diagram of the spiral of constrained branchedchain

對(duì)式( 1) 描述的分支螺旋系求反螺旋，得出PRRPR 分支的約束力螺旋為

式(2) 表示垂直于動(dòng)平臺(tái)的一個(gè)約束力偶，它限制動(dòng)平臺(tái)沿自身法線方向的轉(zhuǎn)動(dòng).

采用修正的G-K［11］公式計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度M:

式中:d 為機(jī)構(gòu)的約束數(shù)，d=6－ ，為公共約束數(shù);n 為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù); g 為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副總數(shù); fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù); v 為冗余約束數(shù); ξ 為機(jī)構(gòu)存在的局部自由度數(shù).

由于支鏈1、3 的自由度為6，屬于非約束支鏈，這樣3 條支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)共同提供一個(gè)沿動(dòng)平臺(tái)法線方向的約束力偶;并且，該機(jī)構(gòu)沒有公共約束，因此=0，同時(shí)也無冗余約束，因此v=0.將上述數(shù)值代入式(3) ，可得M=5.由此證明所設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有三維移動(dòng)和兩維轉(zhuǎn)動(dòng)共5 個(gè)自由度.

3 雅克比矩陣推導(dǎo)

3.1 約束子矩陣

動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)速度用$p=() 表示，其中ωA表示動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)速率，vA表示動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定坐標(biāo)系的移動(dòng)速率.$p可以表示為支鏈上各個(gè)運(yùn)動(dòng)的線性組合［12-13］:

由圖4 可知，支鏈1、3 中各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋可表示為

其中i=1，3.

同理，支鏈2 中各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋為$12=

圖4 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)螺旋圖Fig.4 Spiral diagram of 2UPS+PRRPR parallel mechanism

兩個(gè)共面的線矢量互為反螺旋，軸線相互垂直的偶量與線矢量互為反螺旋，因此可通過幾何方法得到支鏈2 上的反螺旋.較簡(jiǎn)單的方法是找到一個(gè)偶量，單位向量

式(6) 可以寫成矩陣形式:

式中，

Jc稱為約束子矩陣，其行矢量的物理意義就是由支鏈2 加在動(dòng)平臺(tái)上的約束螺旋.由于支鏈1、3 對(duì)動(dòng)平臺(tái)沒有提供約束，因此約束子矩陣不包括這兩條支鏈中的關(guān)節(jié)信息.

3.2 運(yùn)動(dòng)子矩陣

當(dāng)鎖定支鏈1、3 中的驅(qū)動(dòng)副3 和4 時(shí)，增加的反螺旋與其他5 個(gè)螺旋的互易積應(yīng)該為零，并且與$3i的互易積不為零.由于兩個(gè)共面的線矢量互為反螺旋，故容易找到經(jīng)過Ai、Bi的線矢量與5 個(gè)螺旋分別共面.該反螺旋為

同理，當(dāng)鎖定支鏈1 虎克鉸上的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)$21時(shí)，增加的反螺旋為，此螺旋為經(jīng)過A1點(diǎn)且與$11平行的線矢量，

支鏈2 中，當(dāng)鎖定轉(zhuǎn)動(dòng)副$22時(shí)，增加的驅(qū)動(dòng)力反螺旋與$11、$32、$42、$52的互易積為0，須過D點(diǎn)與$12和$42相垂直.因此，

同理，鎖定移動(dòng)副$42時(shí)，增加的驅(qū)動(dòng)力反螺旋是過點(diǎn)D、B2的線矢量:

上式寫成矩陣形式為

式中，

將式(10)－(12) 寫成矩陣形式:

聯(lián)合Ja1、Ja2得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)子矩陣:

式中，ωp和vp分別表示動(dòng)平臺(tái)的角速度和線速度，

Ja是該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)子矩陣，其行矢量表示的是各支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力.

聯(lián)合式(8) 、(13) 可得

式中，

J 是一個(gè)6 ×6 矩陣，是該機(jī)構(gòu)的完整雅克比矩陣，包含了該機(jī)構(gòu)的約束和運(yùn)動(dòng)特性.根據(jù)式(15) ，可以分析得出此機(jī)構(gòu)的全部奇異類型條件.

4 奇異位形分析

當(dāng)完整雅克比矩陣J 為不滿秩矩陣時(shí)，機(jī)構(gòu)將產(chǎn)生奇異位形，包括約束奇異和運(yùn)動(dòng)奇異［14］.當(dāng)J的子矩陣Jc為非滿秩時(shí)，機(jī)構(gòu)存在約束奇異; 當(dāng)子矩陣Ja為非滿秩時(shí)，則機(jī)構(gòu)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)奇異.

文中所提機(jī)構(gòu)中，若Jc矩陣秩小于1，機(jī)構(gòu)出現(xiàn)約束奇異.由式(8) 知，此時(shí)S52與S32平行.根據(jù)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，S52與S32不可能出現(xiàn)平行，因此該機(jī)構(gòu)不存在約束奇異.

圖5 ⊥時(shí)的奇異位形圖Fig.5 Singularity configuration when ⊥

當(dāng)運(yùn)動(dòng)子矩陣Ja為非滿秩，或者是完整雅克比矩陣J 為非滿秩且約束子矩陣Jc為滿秩時(shí)，機(jī)構(gòu)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)奇異.通過式(13) 、(15) 可知，機(jī)構(gòu)在下列情況下發(fā)生運(yùn)動(dòng)奇異:和線性相關(guān)或和線性相關(guān)，但滿秩.例如，當(dāng)支鏈2 運(yùn)動(dòng)到AD⊥DB2時(shí)，與共軸并線性相關(guān)，此時(shí)Ja的秩降為4，機(jī)構(gòu)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)奇異.由2UPS + PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)可知，當(dāng)⊥時(shí)，動(dòng)平臺(tái)在Z 軸正向或Y 軸負(fù)向的位移達(dá)到邊界，即奇異位形屬于邊界奇異，如圖5 所示.

通過上述分析可知，2UPS + PRRPR 機(jī)構(gòu)不存在約束奇異，運(yùn)動(dòng)奇異僅出現(xiàn)在L2與L 相垂直時(shí)，奇異位形相對(duì)較少.

5 奇異位形的規(guī)避

圖6 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形Fig.6 Singularity configuration of 2UPS + PRRPR parallel mechanism

根據(jù)奇異位形產(chǎn)生的條件，可得到機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時(shí)的判別條件:

式中，rA為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑.

當(dāng)姿態(tài)角不變時(shí)，2UPS + PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形與動(dòng)平臺(tái)在z 向的最大和y 向的最小運(yùn)動(dòng)范圍有極大關(guān)系.給定α、y 時(shí)，由式( 16) 可解得出現(xiàn)奇異位形時(shí)的zmax值:

zmax=sec α( Hcosα－Ssin α+ysin α+L) .

約束動(dòng)平臺(tái)在z 正向的運(yùn)動(dòng)范圍小于zmax即可規(guī)避奇異位形的出現(xiàn).

同理，給定α、z，由式(16) 可解得機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時(shí)的ymin值:

ymin=csc α［( z－H) cosα+Ssin α－L］.

約束動(dòng)平臺(tái)在y 向運(yùn)動(dòng)的最小值大于ymin即可規(guī)避奇異位形.當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在y 向運(yùn)動(dòng)的最小值需要減小時(shí)，可以通過減小其在z 向運(yùn)動(dòng)的最大值，而當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在z 向運(yùn)動(dòng)的最大值需要增大時(shí)，可以通過增大其在y 向運(yùn)動(dòng)的最小值，以實(shí)現(xiàn)對(duì)工作空間內(nèi)奇異位形的規(guī)避.

給定z、y 值時(shí)，由式(16) 可解得出現(xiàn)奇異位形時(shí)的αmax值:

通過約束動(dòng)平臺(tái)繞X 軸的最大轉(zhuǎn)角αmax，亦可避免奇異位形的出現(xiàn).

2UPS+PRRPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形規(guī)避也可通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)來實(shí)現(xiàn).桿L2與定長(zhǎng)桿L 垂直( 即AD 與以B2D 為半徑的圓相切) 時(shí)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異位形，如圖7 所示.當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)的工作空間范圍，即給定αmax、ymin、zmax時(shí)，機(jī)構(gòu)的奇異位形見圖7.

圖7 奇異位形規(guī)避示意圖Fig.7 Schematic diagram of singularity configuration avoidance

由式(16) 、( 17) 可解出定長(zhǎng)桿L，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)L 至L'( L'＞L) ，如圖7 所示，此時(shí)AD'與B2D'不再垂直.由式(16) 可知，αmax、zmax是L 的增函數(shù)，ymin是L 的減函數(shù)，則動(dòng)平臺(tái)在給定的工作空間內(nèi)將無奇異位形出現(xiàn).

6 數(shù)值算例

利用三維邊界搜索法［17］分析該機(jī)構(gòu)的工作空間.給定姿態(tài)角α、β，通過判斷空間一點(diǎn)是否為工作空間的邊界點(diǎn)，最后得到所有點(diǎn)的集合，即為工作空間的邊界.圖9 為定姿態(tài)角rad、β=0 rad 時(shí)機(jī)構(gòu)的工作空間.

圖8 機(jī)構(gòu)的奇異軌跡曲面Fig.8 Singular trajectory surface of the mechanism

圖9 定姿態(tài)工作空間Fig.9 Work space under fixed posture

圖10 定姿態(tài)位置奇異曲面Fig.10 Singularity configuration surface in fixed posture position

定姿態(tài)工作空間所包絡(luò)的定姿態(tài)位置奇異曲面部分即為該機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的奇異位置，如圖11 所示.

針對(duì)以上工作空間內(nèi)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)的奇異位形，利用第5 節(jié)中給出的兩種奇異位形的規(guī)避方法，可避免機(jī)構(gòu)在此定姿態(tài)工作空間內(nèi)出現(xiàn)奇異位形.具體如下:

(1) 選擇動(dòng)平臺(tái)工作范圍.利用奇異位形判別條件對(duì)機(jī)構(gòu)奇異性進(jìn)行分析.若式( 16) 成立，則在此點(diǎn)機(jī)構(gòu)奇異;若不成立，則此點(diǎn)無奇異.給定α=rad、y=－40mm時(shí)，由第5 節(jié)可知zmax=453.2mm，此時(shí)⊥，機(jī)構(gòu)奇異.限制動(dòng)平臺(tái)在z 向的運(yùn)動(dòng)范圍小于zmax，則不會(huì)出現(xiàn)奇異位形，如圖12 所示，約束范圍內(nèi)判別條件式F( y，z，α) ≠0.同理可驗(yàn)證，適當(dāng)約束動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)αmax、ymin的范圍，可避免奇異位形出現(xiàn).

圖11 定姿態(tài)工作空間內(nèi)的位置奇異曲面Fig.11 Position singularity configuration surface in the work space under fixed posture

圖12 奇異點(diǎn)與z 向位移的關(guān)系Fig.12 Relationship between singular point and z displacement

圖13 改進(jìn)前后奇異點(diǎn)相對(duì)z 向的位置Fig.13 Location of singular point relative to z displacement before and after the improvement

(2) 改變結(jié)構(gòu)尺寸.當(dāng)αmax、ymin、zmax分別給定為rad、550 mm、－40 mm 時(shí)，由第5 節(jié)可知出現(xiàn)奇異位形的定長(zhǎng)桿L 為750 mm，將結(jié)構(gòu)參數(shù)L 改為800 mm，利用式( 16) 奇異位形判別條件，可知改進(jìn)后的邊界奇異點(diǎn)出現(xiàn)在所要求的工作區(qū)間外，如圖13 所示.改進(jìn)后，機(jī)構(gòu)在給定工作空間范圍內(nèi)無奇異位形出現(xiàn).

7 結(jié)語

文中采用約束支鏈法設(shè)計(jì)了一種新型5 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，奇異位形相對(duì)較少，該機(jī)構(gòu)在工業(yè)機(jī)器人、微動(dòng)機(jī)器人、虛擬軸并聯(lián)機(jī)床等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.

文中還通過螺旋理論推導(dǎo)得到了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整雅克比矩陣，包括約束子矩陣和運(yùn)動(dòng)子矩陣.根據(jù)雅克比矩陣的秩分析了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生約束奇異和運(yùn)動(dòng)奇異的所有條件.研究表明，通過選擇動(dòng)平臺(tái)工作范圍或改變結(jié)構(gòu)尺寸，可以避免機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異位形.文中研究為后續(xù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)，并為相似并聯(lián)機(jī)構(gòu)規(guī)避奇異位形提供了方法參考.

［1］Stewart D.A platform with six degrees of freedom［J］.Proc Inst Mech Eng，1965，180(15) :371-378.

［2］王海東，韓玉，楊炳恒.一種新型五自由度并聯(lián)機(jī)床的概念設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)分析［J］.機(jī)械傳動(dòng)，2011，35(8) :68-71.Wang Hai-dong，Han Yu，Yang Bing-heng.Configuration design and kinematics analysis of a new 5-DOF parallel machine tool［J］.Mechanical Transmission，2011，35(8):68-71.

［3］Yi Lu，Zhang Xuili，Sui Chunping，et al.Kinematics/statics and workspace analysis of a 3-leg 5-DoF parallel manipulator with a UPU-type composite active constrained leg［J］.Robotica，2013，31(2) :183-191.

［4］Chen Xiulong，Sun Xianyang.Dexterity analysis of 4-UPSRPS parallel mechanism［J］.International Journal of Advanced Robotic Systems，2012，9(144) :1-8.

［5］高征，高峰.新型并聯(lián)機(jī)器人的奇異位形分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(1) :133-138.Gao Zheng，Gao Feng.Singularity loci analysis of a new parallel manipulator［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(1) :133-138.

［6］Gosselin C，Angeles J.Singularity analysis of closed-up kinematics chains ［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，1990，6(3) :281-290.

［7］彭鐵柱，李凌豐.無奇異3UPS +1RPU 新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2011，44(11) :2056-2062.Peng Tie-zhu，Li Ling-feng.Analysis of a novel 3UPS +1RPU parallel mechanism without singularity［J］.Journal of Zhejiang University:Engineering Science，2011，44(11):2056-2062.

［8］Yiu Y K，Cheng H，Xiong Z H，etal.On the dynamics of parallel manipulators［C］∥Proceedings of MIEEE International Conference on Robotics ＆Automation.Seoul:IEEE，2001:146-154.

［9］Sen S，Dasgupta B，M Allik A.Variational approach for singularity-free path-planning of parallel manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2003，38( 10) :1165-1183.

［10］王玉新，李雨桐，郭瑞琴.并聯(lián)機(jī)構(gòu)以保持構(gòu)型通過奇異位形的方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(6):125-130.Wang Yu-xin，Li Yu-tong，Guo Rui-qin.Method for parallel manipulators to pass through singular points with its original configuration ［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(6) :125-130.

［11］黃真，劉婧芳，李艷文.論機(jī)構(gòu)自由度:尋找了150年的自由度通用公式［M］.北京:科學(xué)出版社，2011.

［12］李永剛，宋軼民，馮志友，等.4 自由度非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整雅克比矩陣［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43(6) :37-40.Li Yong-gang，Song Yi-min，F(xiàn)eng Zhi-you，et al.Complete Jacobian matrix of a class of incompletely symmetrical parallel mechanisms with 4-DOF［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2007，43(6) :37-40.

［13］張彥斌，劉宏昭，吳鑫.基于互易螺旋理論的無奇異完全各向同性移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(10) :83-88.Zhang Yan-bin，Liu Hong-zhao，Wu Xin.Type synthesis of non-singular fully-isotropic translational parallel mechanisms based on theory of reciprocal screw ［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(10) :83-88.

［14］Joshi S A，Tsai L W.Jacobian analysis of limited-DOF parallel manipulators［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2002，124(2) :254-258.

［15］程世利，吳洪濤，王超群，等.平面平臺(tái)型Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(9):1-7.Chen Shi-li，Wu Hong-tao，Wang Chao-qun，et al.Sigularity analysis of Stewart parallel mechanism with planar platform［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47(9) :1-7.

［16］張耀軍，張玉茹.基于Grassmann 線幾何的平面柔索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(10) :1-7.Zhang Yao-jun，Zhang Yu-ru.Singularity analysis of planar cable-driven parallel mechanisms with Grassmann geometry［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47(10) :1-7.

［17］曹永剛，張玉茹，馬運(yùn)忠.6-RSS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析與參數(shù)優(yōu)化［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(1) :19-24.Cao Yong-gang，Zhang Yu-ru，Ma Yun-zhong.Workspace analysis and parameter optimization of 6-RSS parallel mechanism［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(1) :19-24.