許 楠，劉麗杰，徐耀群

(1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，黑龍江大慶163319;2.哈爾濱商業(yè)大學(xué)系統(tǒng)工程研究所，哈爾濱150028)

近年來，混沌算法的研究一直是人們所關(guān)注的熱點，它的應(yīng)用的比較廣泛，可以應(yīng)用于組合優(yōu)化問題，也可以應(yīng)用函數(shù)優(yōu)化，甚至可以將其與加密算法相結(jié)合，對圖像進行加密解密.

混沌理論的一個顯著性特點就是它對模型初值的高度敏感特征，且屬于非線性科學(xué)的范疇，有著周期不固定，混沌行為的長期不可預(yù)測等特點，這些都使得它適合應(yīng)用于密碼學(xué)[1]的研究，保障了通信的安全性.

1 高斯激勵混沌神經(jīng)元動力系統(tǒng)

1.1 高斯激勵混沌神經(jīng)元模型

人們所熟悉的Chen’s暫態(tài)混沌神經(jīng)元模型[2]采用Sigmoid函數(shù)作為激勵函數(shù)，而下面介紹的的混沌神經(jīng)元模型完全突破這一過程，選取高斯函數(shù)作為激勵函數(shù)，下面簡稱“高斯激勵混沌神經(jīng)元模型”，其模型可以表示為:

其中:x(t)為神經(jīng)元的輸出即激勵函數(shù)，這里采用的是高斯函數(shù)(它是徑向基函數(shù)[3]的一種典型函數(shù))，c和δ為高斯函數(shù)的參數(shù)，δ也稱為徑向基函數(shù)的寬度系數(shù);I0為一正參數(shù);y(t)為神經(jīng)元的內(nèi)部狀態(tài);k的取值范圍為0≤k≤1，稱為神經(jīng)隔膜阻尼因子，k越大說明網(wǎng)絡(luò)保留內(nèi)部狀態(tài)的能力越強，越小網(wǎng)絡(luò)遺忘內(nèi)部狀態(tài)的能力越強;z(t)稱為自反饋連接項，它控制混沌狀態(tài)的衰減速度，以及混沌搜索的快慢;β是模擬退火參數(shù).

1.2 高斯激勵混沌神經(jīng)元模型的動力學(xué)特性分析

采用高斯函數(shù)作為激勵函數(shù)，完全不同于Sigmoid函數(shù)是因為Sigmoid函數(shù)式非單調(diào)的函數(shù)，而高斯函數(shù)則是單調(diào)遞減的函數(shù)，雖然采用飛單調(diào)函數(shù)作為激勵函數(shù)能夠提高混沌搜索的速度，但徑向基函數(shù)(高斯函數(shù)是徑向基函數(shù)的一種)具有較強的函數(shù)逼近能力[4]，這也是研究這一新型模型的重要原因之一.在此說明:本文的仿真數(shù)據(jù)及圖形均是在Matlab環(huán)境下實現(xiàn)的.圖1是在不同的δ值時，高斯曲線情況.

圖1 高斯函數(shù)的單調(diào)性

圖2 β=0.000 7時神經(jīng)元倒分岔與最大Lyapunov指數(shù)演化圖

通過圖1可以清楚的得知，高斯函數(shù)的單調(diào)性隨著δ的增大，單調(diào)程度明顯增強，那么采用高斯函數(shù)作為混沌神經(jīng)元模型的輸出函數(shù)，δ的初值對該模型的的混沌動力學(xué)特性有一定的影響.

當(dāng)參數(shù)選取 y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.6，c=0.000 3 固定不變，當(dāng)分別選取與時神經(jīng)元的倒分岔圖[5]和最大Lyapunov指數(shù)演化圖如圖2、3所示.

圖3 β=0.000 8時神經(jīng)元倒分岔和Lyapunov指數(shù)演化圖

通過圖2、3不難看出:由高斯函數(shù)作為激勵函數(shù)的混沌神經(jīng)元系統(tǒng)，其模擬退火速度敏感依賴于模擬退火參數(shù)，兩次模擬實驗值僅僅相差0.000 1，但由兩個神經(jīng)元倒分岔圖可以明顯看出，其混沌搜索的收斂點一次在11 000左右，一次在10 000左右，而且越大混沌收斂越快，反之混沌收斂越慢.

通過兩次的Lyapunov指數(shù)演化圖可知:該神經(jīng)元模型在混沌搜索過程中其Lyapunov指數(shù)始終在0值附近，最終通過采用梯度下降策略，消除了混沌搜索過程，使得系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時體現(xiàn)在圖中的Lyapunov指數(shù)值為0.由式(3)可知，自反饋連接項z(t)是不斷衰減的，而且其衰減速度與模擬退火參數(shù)有直接關(guān)系，越大變化越快，衰減速度增大，那么混沌搜索區(qū)域就會減小，最終能夠快速使得Lyapunov指數(shù)值為0，即達(dá)到收斂狀態(tài).

當(dāng)參數(shù)選取 y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.4，c=0.000 3，β =0.000 7 倒分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)演化圖[6]如圖4所示.

由圖4可知:與圖2相比，在其他參數(shù)初值不變的情況下，值由0.6變?yōu)?.4時，高斯激勵混沌神經(jīng)元系統(tǒng)的確有著明顯的收斂點變化，δ=0.6時收斂點在11 000左右，而δ=0.4時收斂點在12 000左右，說明δ越小，混沌搜索速度越慢，較晚達(dá)到穩(wěn)定的平衡點，因此，如果想充分利用混沌搜索，需要選取較小δ值，如果想提高系統(tǒng)的收斂速度，則需要選取較大δ值.

圖4 δ=0.4時神經(jīng)元倒分岔與最大Lyapunov指數(shù)演化圖

1.3 永久保持混沌搜索的高斯激勵混沌神經(jīng)元動力系統(tǒng)

試想如果β值無限趨近于1，則z(t)會無限趨近于0，即沒有了自反饋過程，那么混沌動力學(xué)特性將無法體現(xiàn);反之則不難想象:假設(shè)取β=0，那么z(t)將始終保持原值不變，不會衰減，該混沌狀態(tài)將沒有梯度下降的過程，神經(jīng)元就會保持混沌搜索狀態(tài)不變，永遠(yuǎn)無法收斂.該設(shè)想可以通過下面的仿真實驗得以證實.

將高斯激勵混沌神經(jīng)元的模擬退火策略去除，即將原式(3)去掉，式(2)改為式(4)

選取參數(shù) y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.6，c=0.000 3，固定不變，永久保持混沌搜索的高斯激勵混沌神經(jīng)元的狀態(tài)如圖5所示.

圖5 永久保持混沌搜索的高斯激勵混沌神經(jīng)元狀態(tài)圖

從圖5看出，沒有采用梯度下降策略[7]的混沌神經(jīng)元系統(tǒng)，始終保持混沌搜索狀態(tài)，Lyapunov指數(shù)演化圖保持直線不變，說明Lyapunov指數(shù)值穩(wěn)定在大于0的一點，神經(jīng)元系統(tǒng)不能經(jīng)過倒分岔過程達(dá)到平衡狀態(tài)，混沌搜索過程將永久保持下去，這樣就驗證了前面的設(shè)想.

對于混沌神經(jīng)元動力學(xué)系統(tǒng)的特征分析，上述的Lyapunov指數(shù)是一個重要的指標(biāo)，除此之外，時間序列分析的重要指標(biāo)還有功率譜，周期運動在功率譜中對應(yīng)尖鋒，混沌的特征是譜中出現(xiàn)“噪聲背景”和“寬鋒”[8]，它是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法.下面選取參數(shù) y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.6，c=0.0003，觀察高斯激勵混沌神經(jīng)元的功率譜如圖6所示.

圖6 高斯激勵混沌神經(jīng)元的功率譜

如圖6所示，該高斯激勵混沌神經(jīng)元系統(tǒng)的功率譜無明顯的峰值，說明此系統(tǒng)是具有混沌特征的時間序列，再次驗證了該系統(tǒng)能夠永久保持混沌搜索狀態(tài)，不能形成倒分岔從而達(dá)到收斂點.

混沌是非周期與非隨機的動力學(xué)過程，大量研究表明混沌時間序列構(gòu)造的吸引子就是分形集，分形維數(shù)是刻劃動力系統(tǒng)是否具有混沌的定量指標(biāo)之一，關(guān)聯(lián)維[9]則是比較有效的分形維計算方法，下面選取參數(shù) y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.6，c=0.000 3，高斯激勵混沌神經(jīng)元的關(guān)聯(lián)維如圖7所示.

圖7 混沌時間序列的關(guān)聯(lián)維

由圖7可以看出，圖7中存在直線的區(qū)域，說明此區(qū)域內(nèi)客體具有自相似性，并可視為分形，說明該神經(jīng)元系統(tǒng)能夠持續(xù)保持混沌狀態(tài)不變.抗統(tǒng)計性能.原圖像、加密后圖像分別如圖9、10所示.

2 圖像加密

2.1 混沌加密原理及加密算法

混沌算法可以提供良好的隨機性、相關(guān)性、復(fù)雜性的偽隨機序列，具有密碼學(xué)特性，適合于序列密碼加密.序列密碼屬于私鑰密碼范疇，密碼算法基本上是利用密鑰流和明文的異或運算得到密文，因此利用混沌算法進行加密其安全性主要取決于密鑰流[10].可以通過控制混沌算法的初始循環(huán)，利用混沌加密信號對初值的敏感性等特點，從而使加密函數(shù)達(dá)到較高的復(fù)雜度，增強生成混沌序列的隨機性，保證該系統(tǒng)加密過程的安全性以及抗攻擊能力.加密過程描述如圖8所示.

圖8 加密體制解析圖

那么對圖像進行加密的秘鑰如何產(chǎn)生呢?該算法[11]的具體實現(xiàn)步驟如下:

1)將原始圖像按照分辨率轉(zhuǎn)化為M行N列的二維矩陣，每個像素點按照明暗程度取值，大小范圍為0～255，如式(5)所示:

2)將密鑰映射為二維混沌序列，在此由永久保持混沌狀態(tài)的高斯激勵混沌神經(jīng)元模型作用后產(chǎn)生此序列，給定的參數(shù)初值情況為:y(1)=0.5，z(1)=0.7，k=0.1，I0=0.1，δ=0.6，c=0.0003，key=0.273，其中key為根據(jù)實際圖片確定的輔助密鑰;

3)通過線性變換將混沌序列映射到0～255的8位二進制整數(shù)序列，從而得到加密因子序列;

4)將原圖像矩陣元素與加密因子序列進行異或運算，得到加密圖像的各像素加密值;

5)在公共信道輸出加密后的圖像.

本文對灰度圖像按照上述算法進行加密解密，通過永久保持搜索狀態(tài)的徑向基函數(shù)混沌神經(jīng)元系統(tǒng)的作用，使得加密因子有足夠的抗窮舉能力和

圖9 原始圖像

圖10 加密圖像

加密后密文圖像如圖10所示，可以看出加密后的圖像是一張雜亂無章的，無任何明文信息的圖片，因而滿足了擴散和混亂的要求.

2.2 統(tǒng)計性能分析

圖像直方圖[12]是用以表示數(shù)字圖像中亮度分布的直方圖，標(biāo)繪了圖像中每個亮度值的像素數(shù).這種直方圖中，橫坐標(biāo)的左側(cè)為純黑、較暗的區(qū)域，而右側(cè)為較亮、純白的區(qū)域[13].因此，一張較暗圖片的圖像直方圖中的數(shù)據(jù)多集中于左側(cè)和中間部分;而整體明亮、只有少量陰影的圖像則相反.

圖11 明文圖像的直方圖

圖12 加密圖像的直方圖

圖11、12是明文及密文圖像灰度值的柱狀分布圖，可以看出明文圖像的像素值分布不均勻，通過混沌加密算法進行加密后，從圖12可以看出密文中0～255各個像素值出現(xiàn)的次數(shù)都在600～1 000之間，各像素值分布非常均勻，這表明了加密算法掩蓋了所有的明文信息.充分說明該算法具有較強的抗統(tǒng)計分析能力.

3 結(jié)語

本文突破以Sigmoid函數(shù)作為輸出函數(shù)的過程，提出一種由高斯函數(shù)獨自作為激勵函數(shù)的混沌神經(jīng)元模型，分析了該模型的混沌動力學(xué)特性;通過仿真試驗驗證了如果去掉模擬退火過程，該模型能夠永久保持混沌搜索狀態(tài)不收斂，并對混沌時間序列的特征指標(biāo)進行了分析;將該模型應(yīng)用于灰度圖像的混沌加密系統(tǒng)中，給出加密算法的同時，通過直方圖直觀說明了該算法具有較強的抗統(tǒng)計分析的能力，圖像加密效果較為理想.

[1]文昌辭，王 沁，黃付敏，等.基于仿射和復(fù)合混沌的圖像自適應(yīng)加密算法[J].通信學(xué)報，2012(11):123－131.

[2]CHEN L，AIHARA K.Chaotic simulated annealing by a neural network model with transient chaos [J].Neural networks，1995，8(6):915－930.

[3]夏祥華，孫漢文.基于遺傳算法優(yōu)化徑向基函數(shù)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量的研究[J].計算機與應(yīng)用化學(xué)，2013(2):63－67.

[4]曾德惠.基于 Matlab實現(xiàn)函數(shù)逼近[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2009(18):149－151.

[5]XU N，LIU L J，XU Y Q.A Novel Chaotic Neural Network with Radial Basis Function and Their Application to TSP(EI)[C]//International Conference on Mechatronics and Materials Engineering，2011.Dec 10，－ Dec 12.

[6]姚天亮，劉海峰，許建良，等.基于最大Lyapunov指數(shù)不變性的混沌時間序列噪聲水平估計[J].物理學(xué)報，2012(6):59－63.

[7]楊 濤，劉文杰，丁 寧.基于梯度下降算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型研究[J].網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)與應(yīng)用，2013(4):77－79.

[8]王春興.基于Matlab實現(xiàn)現(xiàn)代功率譜估計[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2011(16):73－75.

[9]王 基，楊愛波，劉樹勇，等.改進的時間序列關(guān)聯(lián)維數(shù)快速算法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012(10):106－109.

[10]李雨峰.混沌密碼學(xué)技術(shù)及其應(yīng)用[J].信息與電腦(理論版)，2013(2):162－163.

[11]鐘厚橋，李建民，林振榮，等.基于超混沌序列的圖像加密方案[J].計算機應(yīng)用研究，2013(10):236－239.

[12]張愛梅，楊志武，張 瑞.圖像直方圖參量規(guī)定化方法的理論分析[J].現(xiàn)代制造工程，2011(8):33－37.

[13]葉永剛，徐耀群.一種基于Bessel函數(shù)的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，29(5):561－564，585.