張一方

(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明 650091)

0 分形和自相似性

分形(fractal)理論正式創(chuàng)立至今30多年，在這短短的期間，它已經(jīng)取得了重大的理論進展，被廣泛地應(yīng)用于眾多的領(lǐng)域，迎來了萬紫千紅的大好春光.“春色彌漫溢天地”，從天文到地學(xué)，從各種自然科學(xué)到眾多的社會科學(xué)都掀起了一浪高過一浪的分形熱.

分形是一種新興的洞悉和思考自然界中復(fù)雜性和簡單性統(tǒng)一的科學(xué)方法[1～4].自然分形具有自發(fā)性、深刻性和神秘性.微觀世界和宏觀世界分形的自相似性，包括獨特性和差異性的失似性(dis-similarity)，是動力學(xué)系統(tǒng)中所有復(fù)雜的內(nèi)部反饋關(guān)系的產(chǎn)物.

自相似性和分形的基本思想，應(yīng)該說在中國或外國都是早已存在的.華夏最古老的經(jīng)典《易經(jīng)》就是基于相似性，對萬物的歸納、分類.“仰則觀象于天，俯則觀法于地，……近取諸身，遠取諸物，于是始作八卦，…… 以類萬物之情.”人應(yīng)當(dāng)順應(yīng)自然，才能“與天相似故不違”.老子所言“治大國若烹小鮮”.中國哲學(xué)的陰陽、五行觀都是應(yīng)用類比性.佛教中更具有豐富的分形思想.唐代高僧，佛教天臺宗創(chuàng)始人法藏(643-712年)就明確提出“一即一切”，“一切即一”.宋代禪宗臨濟宗高僧方會(992-1046年)在《古尊宿語錄》中進一步闡述了“一即一切”的思想，認為“一塵才舉，大地全收”，“于一毫端，現(xiàn)寶王剎”.禪宗高僧玄覺在《永嘉證道歌》中說：“一性圓通一切性，一法遍含一切法.一月普現(xiàn)一切水，一切水月一月攝”.程朱理學(xué)從理的角度也論述了天地萬物間“理”存在的普遍性和“理”相似的分形性.《菜根譚》中“一勺水便具四海水味，世法不必盡嘗；千江月總是一輪月光，心珠宜當(dāng)自朗”，更以詩的語韻描述了自相似性.

古埃及人相信一個精子就是一個極小的形體完整的人.古希臘阿爾克莽認為人是小宇宙，它和大宇宙相似.柏拉圖在《蒂邁歐篇》中類比大宇宙和人，甚至推演出宇宙的結(jié)構(gòu)和人體生理的相似性.萊布尼茲在《單子論(Monadology)》中假設(shè)，每個單子是一個靈魂，一切單子反映整個宇宙.佛經(jīng)中說：“一沙一世界，一葉一如來.”外國詩人W.Blake在《天真之兆》中回應(yīng)為：“一沙見世界，一花窺天堂，手心握無限，須臾納永恒.”但是中外先賢的這些卓越思想只是一些定性的方法和推測，而分形則是一種定量的科學(xué)方法.

1 分形的推廣

非數(shù)學(xué)的、實際存在或應(yīng)用的分形都只在一定范圍，即標(biāo)度不變性區(qū)域成立.為了超越這一區(qū)域，或突破整個系統(tǒng)只能有一個分維值的局限性，人們進行了一些探索.其中最著名的有多重分形(multifractal)[5-8]和廣義維數(shù)(generalized dimension)等.

多重分形是為研究物理量或其它量的奇異分布而引入的基本概念.一般地說，一個非均勻分形需要通過無窮多個廣義維數(shù)Dq(q>0)來表征.當(dāng)q=0,1,2時，分別是最基本的分形維數(shù)、信息維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù).只有在均勻的情況下，這些維數(shù)都相等，變?yōu)橥ǔ５姆中尉S數(shù).

多重分形又稱多標(biāo)度分形，它在不同的標(biāo)度或不同的方向具有不同的分維值.它描述一個具有標(biāo)度特性的分形體，在生長過程中不同層次的特征.每一個不同的層次用不同的參量表示.這些不同的參量構(gòu)成一個集合，亦可理解為某個物理量.這個量在分形體上的分布就反映為多重分形譜.為了在數(shù)學(xué)上獲得定量描述，將研究對象分為都具有標(biāo)度性的多個層次，或者線度不同的小區(qū)域，并用特征標(biāo)度指數(shù)αi來表征，于是得到一個由不同的αi所組成的集合.由此可以研究一個正在演化中的結(jié)構(gòu).

多重分形理論把大尺度分為許多小尺度的方法，從分形體的部分出發(fā)研究其整體特征的思想，這與熱力學(xué)中把系統(tǒng)分成許多宏觀小而微觀大的子系統(tǒng)，及由局部看整體的物理思想是一致的.因此，多重分形的描述可以轉(zhuǎn)化為熱力學(xué)的形式，這種類比是一種重要的研究方法.經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)αi相應(yīng)于能量，標(biāo)度指數(shù)譜f(αi)作為一個連續(xù)函數(shù)相應(yīng)于熵，由此還可以引入相應(yīng)于溫度、自由能和配分函數(shù)等的量，從而了解產(chǎn)生譜的動力學(xué).對此進行深入研究發(fā)現(xiàn)，多重分形熱力學(xué)不僅能給出分形幾何的若干定量結(jié)果和一系列公式，而且能把刻畫混沌運動的幾個重要參數(shù)，如Lyapunov指數(shù)、測度熵等統(tǒng)一起來.但這種熱力學(xué)描述只是形式上的類比，它所揭示的仍然是分形的幾何特征.

利用多重分形理論來分析的大多數(shù)問題源于非線性的動力學(xué)系統(tǒng).在這些系統(tǒng)中，一個重要的問題是臨界點的相變過程.在發(fā)生相變的臨界點附近，標(biāo)度指數(shù)將有一個突變，標(biāo)度不變性不成立.并且，如果沒有外界條件的限制，這類結(jié)構(gòu)的演化將導(dǎo)致特征標(biāo)度指數(shù)的不斷增長.此外，多重分形理論中還利用子波變換方法探索標(biāo)度指數(shù)的空間分布，以便研究結(jié)構(gòu)的對稱性和演化.

多重分形、隨機多重分形雖然提出了不少處理方法，但理論的完善、數(shù)學(xué)的嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題等仍需要深入探討.

某些學(xué)者試圖發(fā)展分形的基本概念.把最初是指在形態(tài)或結(jié)構(gòu)上具有自相似性的分形發(fā)展為廣義分形.即擴充和發(fā)展自相似性，使之包括信息、功能、時間等方面的相似性，而稱具有這種意義更廣的自相似性的客體為廣義分形.它可以是幾何客體，也可以是數(shù)理模型或社會系統(tǒng)等.除自相似分形外，還提出過自仿射分形、自反演分形、遞歸分形等新概念，用它們表征自然界中一些不規(guī)則的非線性特征，它們不一定具有明顯的自相似性.

Mandelbrot把分維發(fā)展為負數(shù)維[7].這是平凡的，因為實數(shù)已經(jīng)包括負數(shù)，K=r-D表示尺度r越大體積K越小；反之亦然.在粒子物理中如果K是能量，則它與粒子結(jié)構(gòu)中尺度越小，能量、質(zhì)量越大完全一致.而且如果取r-1為尺度，則分維仍為正數(shù)，二者等價.

1988年4月筆者提出把分維推廣為復(fù)數(shù)維[9]

Dz=D+iT.

(1)

它在復(fù)平面D-T中變化時是一條曲線.結(jié)合相對論，如果假設(shè)虛軸表示時間，實軸表示分維，則復(fù)分維表示在不同時間的分維.所以，它可以描述分維隨時間的變化.這是加上時間軸的Hausdorff空間.進一步，在相對論的任意四維矢量中，作為第四維的能量、密度、頻度等都是虛數(shù)部分，因此可以用復(fù)分維描述分維隨這些量的變化情況.用復(fù)分維可以表述云的分維隨聚集程度和時間的不同而變化，粒子的分形模型[9,10]隨關(guān)聯(lián)強度不同而分維變化.腦電波、心電圖、生物的生長、地震波、企業(yè)管理、股市行情等的分維如果變化，就可以應(yīng)用復(fù)數(shù)維.反之，基于復(fù)數(shù)維，由分維的不同值又可以確定各種變化過程所處的不同狀態(tài).在某些方面，復(fù)分維可以和多重分形聯(lián)系起來.在純數(shù)學(xué)中，如果對某一幾何圖形引入一個分維，則假如該圖形變化就相應(yīng)于復(fù)數(shù)維.1993年3月新創(chuàng)刊的《分形》雜志第一期發(fā)表了B.J. West和X. Fan的論文《混沌，噪聲和復(fù)數(shù)分維》[11]，他們結(jié)合冪定律的指標(biāo)和調(diào)制周期也提出了復(fù)數(shù)維.1998年，D.Sornette在《物理報告(Phys.Rep.)》上發(fā)表了一長篇文章“離散標(biāo)度不變性和復(fù)數(shù)維”.由此可知，復(fù)數(shù)分維一定具有廣大的發(fā)展前途.筆者對此也進一步進行了探討[12].

如果r是實數(shù)則

K=rDeiTlnr=rD[cos(Tlnr)+isin(Tlnr)].

(2)

復(fù)數(shù)維就相應(yīng)于三角函數(shù).這樣基本初等函數(shù)及相應(yīng)的任何公式都可以聯(lián)系于分維和復(fù)數(shù)維.

同時，分形可以從空間推廣到結(jié)構(gòu)、功能、信息、能量、時間等方面的自相似性.這是近似具有全息律的一類系統(tǒng).

如果相對論始終成立，則空間、時間與動量、能量等四矢對稱.空間、時間具有的性質(zhì)也應(yīng)該可以推廣到任意四矢.如分維、復(fù)維等動量已經(jīng)應(yīng)用于量子場論中，進而應(yīng)該存在于自然界中.

筆者已經(jīng)提出，把分維表示為D=n(整數(shù)維)+d(小數(shù)維)，則分維矩陣是一個通常的矩陣加一行(列)特殊的小數(shù)維.由此可以發(fā)展分維線性代數(shù)、分維數(shù)學(xué)分析和分維集合等.而且數(shù)學(xué)中目前的分維幾何，可以發(fā)展為復(fù)維幾何及一般的分維、復(fù)維等的代數(shù)、方程等各種數(shù)學(xué)，其中分析的維數(shù)可正可負就是統(tǒng)一微積分的算符演算.它們的基礎(chǔ)還是分數(shù)、復(fù)數(shù)等個方程、矩陣等的分數(shù)、復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)的表示方法[13,14].同時應(yīng)該研究非歐幾何等幾何中的分維.相應(yīng)地，分維、復(fù)維及其發(fā)展可以應(yīng)用于力學(xué)、統(tǒng)計物理和電動力學(xué)中，并且應(yīng)該有分維量子理論，它又可以應(yīng)用在粒子物理中.此外，還能夠得到分維相對論等[13,14].

這樣，空間維數(shù)已經(jīng)從實數(shù)維拓廣到超實數(shù)維和復(fù)數(shù)維.同時，隨著復(fù)數(shù)發(fā)展為超復(fù)數(shù)的四元數(shù)、八元數(shù)等，對應(yīng)于相對論中時空間組成復(fù)數(shù)，時間可以相應(yīng)發(fā)展為三維、七維形式等高維時間.高維時間在某方面的意義可能是同一時間投影在不同的相空間中，或同一時間投影在相同對象的不同方面.進一步，由高維時間可以完全類似地引入分維時間，如2.3維或0.7維時間.甚至發(fā)展出時間維數(shù)可變的復(fù)數(shù)分維時間.于是可以形成空間和時間完全對稱的高維、分維、復(fù)數(shù)分維的時空理論[13,14].并且可以討論分維、復(fù)維等的物理、化學(xué)、天文、地學(xué)、生物、經(jīng)濟、社會科學(xué)等等.

筆者討論了時間和空間，以及時空與四矢的對稱性.然后研究各種力場中時鐘快慢與某些效應(yīng)，并且探討了時空的相對-絕對性和量子時空、時空的多樣性及時空對稱性的破缺[15].周期可以認為是一定時標(biāo)下的時間自相似性，由此可以定義周期的分維.這聯(lián)系于時間分維.假設(shè)時間維數(shù)是T(通常為1)維，則時間用高于T為量度時為0，低于T時為∞，相應(yīng)于發(fā)散，等于T時為t是有限值.

分維是選擇適當(dāng)?shù)臏y度；有精細結(jié)構(gòu)，自相似是其特征；適當(dāng)?shù)牟灰?guī)則性；描述復(fù)雜性.多重分形是把奇點的奇異性分為不同層級的結(jié)果.導(dǎo)數(shù)應(yīng)反映奇異性的變化.方法是重整化群和標(biāo)度理論.標(biāo)度不變性導(dǎo)致分維是常數(shù)；多重分形對應(yīng)多重標(biāo)度性.推廣分維的自相似性是一種特殊的無窮嵌套的對稱性.自相似的數(shù)學(xué)表示是標(biāo)度不變性，即標(biāo)度x變化時，函數(shù)f(x)形式不變，例如KNO、Dao標(biāo)度等.它們都應(yīng)有相應(yīng)的分維.

分維在數(shù)學(xué)、物理中的各種發(fā)展應(yīng)保持自相似性.滿足冪指數(shù)法則都是分維.它可以是1)分維D的數(shù)域、環(huán)等的發(fā)展.2)幾何、自相似性的發(fā)展.這又可以是嵌套型或平移型等的發(fā)展.進一步可以：1.發(fā)展分維概念，拓廣領(lǐng)域和數(shù)學(xué)方法.2.推廣應(yīng)用范圍.3.計算機模擬.分形不能用微積分，而應(yīng)該用差分，可結(jié)合量子理論.分形、分維也是量子化的，應(yīng)聯(lián)系于離散數(shù)學(xué)、離散物理.

3 分形的某些應(yīng)用

目前，分形已經(jīng)廣泛應(yīng)用于凝聚模型、材料科學(xué)、流體力學(xué)、薄膜淀積、粒子物理、高分子化學(xué)、催化劑表面、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)等物理、化學(xué)方面，及天體的分布和大尺度結(jié)構(gòu)、海岸線、地表、地震、分子生物學(xué)、細胞、蛋白質(zhì)、分形生物學(xué)、癌等天文、地學(xué)和生物方面，并應(yīng)用于血液循環(huán)系統(tǒng)、肺及呼吸系統(tǒng)、神經(jīng)系統(tǒng)等人體的組織結(jié)構(gòu)[1-4].

具體而言，用分形凝聚模型可以模擬天體、地震、粒子、生物、核及易經(jīng)等的各種生成、演化過程，這對應(yīng)于演化分形.象牙內(nèi)有毛細管，所以作為鋼琴鍵.由此可以決定其分維等，并可以決定各種生物材料，如牛骨、動物角等的分維，以此確定作為代用品的優(yōu)劣.進而可以作為仿制塑料的定量指標(biāo).

筆者討論過物理理論中一般的相似性方法及其與分形的關(guān)系[16]，粒子物理中的各種分形，其共同基礎(chǔ)可能是高能統(tǒng)計模型和相關(guān)的推廣的混沌模型[17,18].在引入天文學(xué)和宇宙論中具有不同層次分形的基礎(chǔ)上，筆者把它推廣到任意直線型的泛分形理論和一般化的分形天文學(xué).由此討論了大尺度的分形宇宙學(xué)和宇宙的多重分形模型.并且探討了這些分形可能起源于不同層次的階梯式結(jié)構(gòu)和各種相似性[19].

多重產(chǎn)生等的間歇指數(shù)完全類似分維，

(3)

(4)

fp=(p-1)(1-Dp)=Dp+p-pDp-1,

(5)

其中Dp是通常的分維.如此定義則一定與p秩矩有關(guān).由此可以利用相應(yīng)的多重產(chǎn)生模型.

對高能重離子碰撞的間歇行為引入階乘矩

∝(δy)-φi,

(6)

其形式類似分維.間隔寬度δy(0，間歇指數(shù)φi>0存在由動力學(xué)原因引起的漲落，δy足夠小時φi=0則只有純統(tǒng)計漲落.φi隨入射能量(14.6，60，200AGeV)和末態(tài)相對論帶電粒子平均多重數(shù)升高而下降，隨靶核和射彈核質(zhì)量增大而上升[20].φi隨多重數(shù)增加而減少，所以分維D隨多重數(shù)、能量增加而增大.

非線性的湍流、混沌中存在類似規(guī)律.間歇、反常子、半人馬座事例可能存在共性，并且聯(lián)系于1)相互作用相似.2)指數(shù)形式，可以化為分維.3)都是高能現(xiàn)象.

不同結(jié)構(gòu)層次的自相似性，即它們的分維.分形是大、小尺度的對稱，具有自相似性.因此可以用分形研究城市邊界線、經(jīng)濟學(xué)、詞頻分布、管理、思維、音樂、文學(xué)、藝術(shù)等.更一般，科學(xué)社會學(xué)中都存在相似性和分形.對大或小系統(tǒng)，耗散結(jié)構(gòu)和熵增都相同.少數(shù)服從多數(shù)的民主制和大小蜘蛛的獨裁制都是自相似分形.

實際的分形具有一定的局域性.分維目前主要是測量結(jié)果，或由一定的幾何等模型導(dǎo)出.社會科學(xué)中的分形具有模糊性.

分形應(yīng)用于社會現(xiàn)象主要是隨機分形，其生長模型等可以用于城鎮(zhèn)的生成、輿論的產(chǎn)生等社會問題.分維及若干相應(yīng)的社會問題可以分為相關(guān)的隨機型和湍流混沌型等，例如用于分析物價漲落，如棉花價格的漲落.進一步，對任何隨機過程都可以如此探討.由此確定分維、大小尺度就可以預(yù)言股票、地震、氣候等的變化.這類似易經(jīng).

易經(jīng)、陰陽、五行和中國傳統(tǒng)文化中具有豐富的相似性和分形.易經(jīng)的基本結(jié)構(gòu)就是一個太極生兩儀(陰陽爻)、四象、八卦到六十四卦的倍周期分岔過程，由此最后達到混沌[21].這又聯(lián)系于分形、分維，如果其等于2，則對應(yīng)于布朗運動.國外更有人從時間波和分形時間預(yù)測災(zāi)難.這可能聯(lián)系于地震周期.

文學(xué)中的典型性就是由局部反映整體的自相似性，就是一種分形.一篇短小精干的作品，栩栩如生描述的一個場景、人物常?？梢愿爬ㄊ|蕓眾生中的諸多現(xiàn)象.魯迅的《阿Q正傳》是中國國民復(fù)雜性格的一面鏡子.巴金的《家春秋》揭示了封建大家庭，乃至整個封建社會必然滅亡的結(jié)局.托爾斯泰的小說反映了五光十色的俄國社會.《辛德勒的名單》在短短的三個小時就用震憾人心的巨筆刻畫了人性中善與惡的永恒主題.

4 分形中的某些基本問題

已知分維在雙對數(shù)圖中是一條直線.lnK=Dlnr，推廣為lnK=Dlnr+C，則分維等于斜率D=tgα.因此分維在實數(shù)域中進一步的推廣就是實函數(shù)曲線的切線函數(shù).這應(yīng)該是分維函數(shù).它隨時間、空間等變化，則D=D(x,y,z;t).類似廣義分維是標(biāo)度的函數(shù).由此可以確定其在某些特定范圍是否是直線，是否具有自相似性.它就和多重分形聯(lián)系起來.在分維發(fā)展為復(fù)維后，還可以在復(fù)變函數(shù)中進行類似推廣.然而D是x,y,z;t的函數(shù)就喪失了它的主要特點之一：簡單、直觀性.

數(shù)學(xué)上分形本身是無量綱的數(shù).但物理上和在應(yīng)用中分形和分維物體的量綱是非常奇異的.已知尺度的量綱是cm，D=2,3時K(面積、體積)的量綱是(cm)2和(cm)3.照此推理則D維分形物體K的量綱應(yīng)該是(cm)D.更一般K=rD的量綱是r量綱的D次方.分維D不同則K的量綱是不同的cmD.并且在分形中隨測量不同，或隨過程演化，分維不斷變化，量綱也隨之變化.在復(fù)數(shù)維、多重分形等中更復(fù)雜，D漸變則相應(yīng)物體量綱漸變，甚至是復(fù)數(shù).當(dāng)然，最簡單的方法是假設(shè)分形無量綱，所以Mandelbrot稱為分形幾何[1]，但由此就無法與整數(shù)維的面積、體積統(tǒng)一.

在數(shù)學(xué)上，分形形式不僅直接相應(yīng)于冪級數(shù)

y=xμ,

(7)

其中y是體積，x是尺度則D=μ.而且它可以推廣相應(yīng)于任何指數(shù)函數(shù)

y=abx=(ax)b,

(8)

則D=b；任何對數(shù)函數(shù)

y=clogax=c(lnx/lna),

(9)

以ay為體積，x為尺度則D=c或者

D=c-1=lnx/lnay,

(10)

則與指數(shù)函數(shù)的定義完全一致.

在幾何圖形中凡是直線，線性關(guān)系及可以化為此類者都聯(lián)系于分形.類似地，波動性、周期性及與三角函數(shù)相關(guān)者都可以化為復(fù)數(shù)維.

與分形相關(guān)，筆者認為1)目前的重整化是對空間標(biāo)度變化時的自相似性，應(yīng)該可以推廣到時間、能量、動量、系統(tǒng)及最一般的集合標(biāo)度變化時的自相似性.這些都是大小標(biāo)度.2)大小標(biāo)度還可以推廣到平移(如時空均勻)、旋轉(zhuǎn)(各向同性)、反射(左右、前后對稱)等.這已經(jīng)是分形的推廣了.3)這些標(biāo)度等還可以推廣到自仿射等各種幾何.

‘tHooft維數(shù)重整化時，維數(shù)變小，則4階矩陣(如γ5)也應(yīng)該變成分數(shù)維矩陣及相應(yīng)的分形等.這又聯(lián)系于手征反常、維數(shù)反常等.

分形具有自相似性，分維不變也是一種標(biāo)度無關(guān)性.標(biāo)度無關(guān)性是標(biāo)度改變時圖形、函數(shù)等的不變性，應(yīng)該對應(yīng)重整化群或其推廣.這是形象的定量結(jié)果.進一步分形可以發(fā)展到一般的對稱性，結(jié)合一般群論，具有某個守恒量.此時的不變量就是分維.反之，只有分維改變，標(biāo)度無關(guān)性和對稱性破缺才會產(chǎn)生新相、新的性質(zhì).

由方程、系統(tǒng)等研究確定在什么條件下出現(xiàn)分形、吸引子等.后者具有自相似分形結(jié)構(gòu).

(11)

Gamma分布中

yΓ=Cxα-1e-βx.

(12)

β=0時y=Cxα-1；或α=1,y=C(e-x)β都可以認為是分形.相應(yīng)的Pearson方程為

dy/dx=(D/x)y或dy/dx=-βy.

(13)

類似地，重整化方程也可以化簡.

應(yīng)該由非線性的Navier-Stokes方程導(dǎo)出湍流的分維.更一般，由基礎(chǔ)的非線性，甚至簡化為線性等方程可以導(dǎo)出相應(yīng)的分數(shù)維；特別引入一定條件時.

物理自相似性都有一定層次.實際測量出的分維數(shù)一般不大，可能暗示構(gòu)造復(fù)雜系統(tǒng)的模型時，并不需要用很多變量.關(guān)鍵只是序參量.

對一切在一定尺度、標(biāo)度范圍都成立的科學(xué)、真理都具有自相似性.同時，分形應(yīng)該從幾何推廣到整個數(shù)學(xué)，如分形結(jié)合集合，則可以是分維D可變，及D不是整數(shù).后者又聯(lián)系于模糊數(shù)學(xué).同時推廣到物理、化學(xué)、生物、社會科學(xué)等.

5 宇觀-微觀分形、泛量子理論和展望

非標(biāo)準(zhǔn)分析(NSA)在表述上已經(jīng)有自相似性[22].其應(yīng)該是分形幾何的解析表示.超實數(shù)b=St(b)+ε可能相應(yīng)于無窮迭代的結(jié)果.NSA、超實數(shù)的無窮大可能又聯(lián)系于重整化的發(fā)散.NSA中的分形主要是由一定假設(shè)求出分維數(shù).

數(shù)學(xué)上最基本的是對大集合和小集合、大系統(tǒng)和子系統(tǒng)的自相似性.這應(yīng)該結(jié)合分形、分維的定義和發(fā)展.分布和Cantor集D=0.6309等就是大集合類似小集合.

分形宇宙再推廣則極大的宇宙相應(yīng)于極小的粒子，星系對應(yīng)原子核.可以由此確定分維數(shù)D，演化時又是復(fù)維.

由此聯(lián)系于泛量子理論[23-27].它基于太陽系行星距離Titius-Bode定則新的表示形式

rn=an2,

(14)

由此可以發(fā)展完全類似Bohr原子模型的理論，并得到太陽系的量子常數(shù)[23,24]

H=(aGMΟ)1/2,

(15)

和相應(yīng)的Schrodinger方程.許多衛(wèi)星、太陽系外的恒星行星和銀河系星團的10個伴星系都符合相同的公式(14).它又聯(lián)系于量子宇宙論[23-25].進一步可以發(fā)展為僅僅量子常數(shù)不同而形式相似的泛量子理論，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分形.某些宏觀量子現(xiàn)象，如超導(dǎo)、超流、Bose-Einstein凝聚(BEC)、分數(shù)量子Hall效應(yīng)也許就可以應(yīng)用泛量子理論[25,26].進而可以發(fā)展到化學(xué)、生物等領(lǐng)域[25,27].

整數(shù)對應(yīng)量子化，矩陣力學(xué)及矩陣，求和，及四維相對論、量子理論.分數(shù)對應(yīng)量子化的發(fā)展，甚至連續(xù)性及積分，矩陣等的推廣.可能一般的分維都可以結(jié)合模糊數(shù)學(xué)、模糊集合.分數(shù)對應(yīng)模糊數(shù)學(xué)的隸屬度.所有分維、復(fù)維理論都可以結(jié)合、類比高維理論，超對稱理論等[28,29].

目前，分形理論的應(yīng)用遠遠超過了理論的發(fā)展.分形在某些方面的數(shù)學(xué)嚴密性，它的解析基礎(chǔ)和若干數(shù)學(xué)方法仍未完全確定.各種分形維數(shù)的計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使理論簡便，可操作性，仍是應(yīng)用分形的科學(xué)家們關(guān)注的艱巨任務(wù).

分形的發(fā)展方向之一是從幾何學(xué)向動力學(xué)的飛躍.它利用分維概念，解析地處理非線性方程，進而獲得能描述平均混沌過程的控制方程.其中分維攝動法就是利用分維概念解析處理非線性流體力學(xué)方程，而得出的一種通用方法.它可以推廣應(yīng)用于各種類型的非線性方程.

分形理論中動力系統(tǒng)的分形集是最活躍的研究領(lǐng)域之一.它包含奇異吸引子，Julia集、Fatou集和Mandelbrot集等.其中某些具體問題，例如從動力學(xué)特征推斷幾何結(jié)構(gòu)，及其反問題由吸引子維數(shù)推斷混沌動力學(xué)；含參量動力系統(tǒng)在混沌臨界態(tài)或突變處的分形集維數(shù)，都有待于進一步研究.

在哲學(xué)領(lǐng)域，相似性是認識論和方法論的重要課題.分形是相似性和全息性的定量化理論[30].分形是基于復(fù)雜事物一經(jīng)分解將會變簡單的這樣一種世界觀.它將有助于融匯把整體不斷分解的西方還原論思想和由部分反映全局的東方整體綜合觀.分形更深層的哲學(xué)蘊含仍在開掘之中.

更一般，分維幾何應(yīng)該發(fā)展為分維科學(xué)：1)具有不同層級的自相似性，這可能就是一切物質(zhì)、科學(xué)、社會等中都存在不同層級的相似結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)和原因.這可以利用標(biāo)度性、重整化群等數(shù)學(xué)方法；可能具有半群對稱性.還必須結(jié)合模糊數(shù)學(xué).自相似性是不嚴格的；可能一層層局部相似，但始與終也許相差極大.2)從分維空間推廣到時間、能量、動量、個體數(shù)等空間、相空間.這些都有自相似性.3)觀察得越近，發(fā)現(xiàn)的細節(jié)越多.這對應(yīng)于局域、微觀起伏、漲落.進一步，復(fù)維等幾何應(yīng)該發(fā)展為復(fù)維等科學(xué).這些發(fā)展都將為當(dāng)代科學(xué)的前沿——復(fù)雜性研究做出貢獻.

美國著名物理學(xué)家J.A.Wheeler說：“可以相信，明天誰不能熟悉分形，誰就不能被認為是科學(xué)上的文化人.”分形作為一種新興的交叉科學(xué)，作為一種可以應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的新方法，作為一種理論和應(yīng)用都正在蓬勃發(fā)展的新潮流，正在和必將產(chǎn)生巨大的深遠影響.

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