(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102)

很多競賽教程中都有這樣的問題:

如圖1所示,在鉛直面內(nèi)二平行導(dǎo)軌相距l(xiāng)=1cm,且與一純電感線圈L,直流電源(E,r),水平金屬棒AB聯(lián)成一閉合回路.開始時(shí),金屬棒靜止,之后無摩擦地自由下滑(不脫離軌道),設(shè)軌道足夠長,其電阻可忽略,空間磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.4T.其方向垂直于軌道平面.已知電源電動勢E=9V,內(nèi)阻r=0.5Ω,金屬棒質(zhì)量m=1kg,其電阻R=1.1Ω,線圈自感系數(shù)L=12mH,試求金屬棒最大下落速度.

圖1

原解法如下:

金屬棒以任一速度v下落時(shí),回路中感應(yīng)電動勢為εi,方向與E相反,回路中順時(shí)針方向的電流為:

以上解法是一種想當(dāng)然的解法.解題者顯然認(rèn)為，金屬棒運(yùn)動的速度是在不斷地增大的，最后達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),這時(shí)速度最大.但是,仔細(xì)推敲會發(fā)現(xiàn),物體的運(yùn)動情況不一定如此.

讓我們先作定性研究,我們不妨假設(shè)電感的自感系數(shù)很大,棒在開始運(yùn)動后的一段相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)，由于電感的作用,電流可以認(rèn)為是零,棒作自由落體運(yùn)動,當(dāng)速度非常大后回路中才出現(xiàn)很小的電流,再假設(shè)回路的電阻很小,這時(shí)電流會慢慢變得非常大,從而又使棒作減速運(yùn)動.可見，最終的速度不是最大速度.所以,出題者認(rèn)為的運(yùn)動模型是有問題的.

(1)

(2)

(3)

(4)

再由(3)式顯然可得：

這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，其特征方程為：

(5)

下面分幾種情況加以研究：

代入(4)式可得：

(6)

其中C1,C2由下列初始條件決定：t=0時(shí)，v=0，v′=g，即由以下兩式?jīng)Q定：

當(dāng)m,R,r,B,l,L,E取適當(dāng)值時(shí)，可以得到棒的v-t如圖2所示.

圖2

(7)

其中C1,C2由下列初始條件決定：t=0時(shí)，v=0，v′=g，即由下列兩式?jīng)Q定:

圖2

(8)

其中A,φ由下列初始條件決定：t=0時(shí)，v=0，v′=g，即由下列兩式?jīng)Q定:

圖2

綜上所述,原題所牽涉的運(yùn)動模型是非常復(fù)雜的.具體的運(yùn)動情況由m,R,r,B,l,E的具體值來決定.即使m,R,r,B,l,L,E數(shù)值給定,也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行定量分析并作分類討論.由原題所提供的數(shù)據(jù),代入(5)式計(jì)算可得Δ>0.也就是說,原題中小棒的運(yùn)動情況正好就是上述圖2所示的第一種情形.但是,目前的中學(xué)生是不可能作出這樣的定量分析的.即使作為一道競賽題,顯然也是不妥的.