【摘 要】例題教學(xué)的互動(dòng)過(guò)程包括：改編問(wèn)題，體現(xiàn)討論的必要；放手展示，暴露真實(shí)的想法；師生對(duì)話(huà)，擦出智慧的火花；回歸例題，呈現(xiàn)別樣的精彩。師生互動(dòng)包括師班、師組、師個(gè)與生生互動(dòng)等四種形式，每種形式又都蘊(yùn)含表達(dá)、討論、思維和情感等四個(gè)維度。構(gòu)建好師生關(guān)系、設(shè)計(jì)好問(wèn)題串以及運(yùn)用好教學(xué)變通是提高師生互動(dòng)有效性的保障。

【關(guān)鍵詞】例題教學(xué)師生互動(dòng)形式內(nèi)涵保障

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修2“直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系”一節(jié)中有這樣一道例題（例題2）：

自點(diǎn)A（1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的切線(xiàn)l，求切線(xiàn)的方程。

首先，教材中對(duì)于這道例題提供了兩種處理直線(xiàn)與圓相切的方法，一是利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，二是利用直線(xiàn)與圓的方程組成的方程組僅有一組解。其次，在設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程前，先討論了直線(xiàn)垂直于軸的特殊情況。最后，兩種解法的計(jì)算過(guò)程均一帶而過(guò)，沒(méi)有展示“在理解算理的基礎(chǔ)上講究算法的合理性”。這三點(diǎn)看似順其自然的解題思維過(guò)程，教材以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)出靜態(tài)的解題方法。那么，如何設(shè)計(jì)好輔助的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何組織好學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，又如何以教育形態(tài)呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)的思考？這是每一位教者都將面對(duì)的一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的難題。

筆者在一次教學(xué)調(diào)研中，發(fā)現(xiàn)某校一位數(shù)學(xué)教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)思維互動(dòng)、對(duì)話(huà)交流、情感交融的師生互動(dòng)，較好地詮釋了例題教學(xué)的有效性問(wèn)題。

一、例題教學(xué)的互動(dòng)過(guò)程

1.改編問(wèn)題，體現(xiàn)討論的必要。

這位教師沒(méi)有直接講解教材中的例題（即問(wèn)題1），而是仿照例題的結(jié)構(gòu)，自編了“問(wèn)題2”自點(diǎn)A（1，4）作圓C：（x-2）2+（y-1）2=1的相切l(wèi)，求切線(xiàn)的方程。進(jìn)一步研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題1即使沒(méi)有考慮到“當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)”的特殊情況，結(jié)果也正確，因?yàn)檫@種情況“不滿(mǎn)足條件”。這時(shí)候刻意讓學(xué)生進(jìn)行“討論”，顯得“無(wú)病呻吟”，學(xué)生根本體會(huì)不到“討論”的必要性。而改編后的問(wèn)題2，如果不討論“當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)”的特殊情況，則會(huì)出現(xiàn)漏解的情況。這種“源于教材，而又不拘泥于教材”的創(chuàng)造性使用教材方式非常值得推廣。

2.放手展示，暴露真實(shí)的想法。

這位教師呈現(xiàn)問(wèn)題2之后，讓一位學(xué)生到黑板前板演，以下是這位學(xué)生在黑板前的活動(dòng)記錄。

（思路一）解：設(shè)l的方程為y-4=k（x-1），由

y-4=k（x-1）

（x-2）2+（y-1）2=1.

得（x-2）2+（kx+3-k）2=1。

該生盯著這個(gè)方程，搖搖頭，猶豫了一會(huì)兒，最終選擇了把它擦掉。

（思路二）點(diǎn)A（1，4）到直線(xiàn)l：y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0的距離為d==1，竟然無(wú)解，很困惑！幾秒鐘后，也擦去了不等式。

（思路三）圓心C（2，1）到直線(xiàn)l：kx-y+4-k=0的距離為d===1，解得k=-，所以直線(xiàn)l的方程為y-4=-（x-1）。

筆者觀(guān)察到在學(xué)生這一系列活動(dòng)中，這位教師一直注意觀(guān)察學(xué)生的每一步的解題步驟，始終保持沉默。由于教師給予了學(xué)生足夠的時(shí)間獨(dú)立思考，這位學(xué)生才有機(jī)會(huì)把自己最真實(shí)的思想歷程完整地展現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)也為接下來(lái)的師生對(duì)話(huà)提供了共同的話(huà)題。

3.師生對(duì)話(huà)，擦出智慧的火花。

接下來(lái)教師開(kāi)始評(píng)講，下面是師生之間的一段對(duì)話(huà)（T代表教師，S1代表這位學(xué)生，S2代表另一位學(xué)生）。

T：你為什么要放棄思路一呢？

S1：我估計(jì)式子（kx+3-k）2展開(kāi)后很繁瑣，而且運(yùn)算量太大了，我不知道怎么辦？

T：我們一起來(lái)試試看。由（x-2）2+（kx+3-k）2=1，把其中的3-k看成一個(gè)整體，得（x-2）2+[kx+（3-k）]2=1，展開(kāi)化簡(jiǎn)，得（1+k2）x2+[2k（3-k）-4]x+（3-k）2+3=0。因?yàn)榕袆e式△=4｛[k（k-3）+2]2-（1+k2）[（3-k）2+3]｝=0，即k2（k-3）2+4k（k-3）+4-（1+k2）（3-k）2-3（1+k2）=0，所以-6k-8=0，解得k=-。

S1：（眾生贊嘆）哇！整體代入真的很簡(jiǎn)便。

T：思路二為什么行不通呢？

S1：應(yīng)該是圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，我代錯(cuò)了點(diǎn)的坐標(biāo)。

T：（教師在黑板上畫(huà)出了示意圖）解析幾何解題時(shí)要注意畫(huà)圖分析，借助圖形打開(kāi)思路。

T：點(diǎn)P與圓C是什么樣的位置關(guān)系？怎樣判定呢？

S1：點(diǎn)P在圓C外，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓C的方程。

T：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)應(yīng)該有幾條？

S1：兩條。

T：為什么按照思路三，你只求出了一條呢？

S1：（困惑狀，同桌給予提示）丟了斜率不存在的那一條。

T：你知道為什么會(huì)丟掉這一條嗎？

S2：（另一位學(xué)生舉手，教師示意回答）因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程時(shí)，已經(jīng)無(wú)意中把這種情況丟掉了。

T：以后再遇到這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該怎么辦呢？

S1：要分斜率不存在和斜率存在這兩種情況進(jìn)行討論。

T：（在學(xué)生的解題過(guò)程上，補(bǔ)充完善）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y-4=k（x-1），…。

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，則l的方程為x=1，圓心C（2，1）到直線(xiàn)的距離為d=2-1=1，所以此時(shí)直線(xiàn)l與圓C相切。綜上可知，直線(xiàn)的方程為4x+3y-16=0或x=1。

這位學(xué)生的求解過(guò)程一波三折。思路一應(yīng)該是直線(xiàn)與圓相切位置關(guān)系判定的一種通解通法，并且可以推廣到直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切位置關(guān)系的判定，但是由于學(xué)生對(duì)于這種算理認(rèn)識(shí)的模糊性與算法過(guò)程缺乏親身體驗(yàn)，以及對(duì)于大計(jì)算量的畏懼心理，最終選擇放棄。不過(guò)教師順勢(shì)而為，把握恰當(dāng)時(shí)機(jī)，示范了解題過(guò)程，起到了非常好的引領(lǐng)作用；思路二是學(xué)生棄繁從簡(jiǎn)的不二選擇，但是由于審題不清，加之“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)”，又誤入歧途，好在及時(shí)醒悟；思路三解法簡(jiǎn)捷，運(yùn)算正確，但是該生又疏忽大意，對(duì)于點(diǎn)斜式設(shè)法的局限性認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致結(jié)果仍然不完整，這也恰好體現(xiàn)了教者編制新問(wèn)題的良苦用心。

4.回歸例題，呈現(xiàn)別樣的精彩。

在評(píng)點(diǎn)完問(wèn)題2之后，這位老師讓學(xué)生們從下面三個(gè)問(wèn)題中任選一道題作問(wèn)題1自點(diǎn)A（-1，4）作答：

問(wèn)題1：自點(diǎn)A（-1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切l(wèi)，求切線(xiàn)l的方程。

變式1：自點(diǎn)A（2，2）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切，求切線(xiàn)l的方程。

變式2：自點(diǎn)A（1，1）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切l(wèi)，求切線(xiàn)l的方程。

這三個(gè)問(wèn)題分別包含了切線(xiàn)的斜率為0和不存在等復(fù)雜情況，由于有了前面例題學(xué)習(xí)的豐富經(jīng)歷，以及師生之間火熱的互動(dòng)過(guò)程，同學(xué)們?cè)诮獯疬@三個(gè)問(wèn)題時(shí)大多數(shù)都能夠做到以下幾點(diǎn)。一是知道了要分“當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)”和“當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)”兩種情況作答；二是在處理直線(xiàn)與圓相切問(wèn)題時(shí)，既有“利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑”，也有“利用直線(xiàn)與圓的方程組成的方程組僅有一組解”，掌握了兩種思考問(wèn)題的方法；三是學(xué)生的精確計(jì)算能力得到了提升，知道了解決距離等式和判別式△=0的定量思維形式，具體解答過(guò)程不再贅述。反思這道例題的教學(xué)過(guò)程，筆者認(rèn)為例題教學(xué)的效果十分顯著的關(guān)鍵，在于教師搭建了師生互動(dòng)的有效交流平臺(tái)，讓學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、師生互動(dòng)的理性思考

1.師生互動(dòng)的形式。

筆者認(rèn)為，所謂的師生互動(dòng)是指發(fā)生在教師與學(xué)生之間的導(dǎo)致雙方心理與行為同向或反向變化的一切相互作用與相互影響。在高中數(shù)學(xué)課堂的互動(dòng)形式，可劃分為四種形式：第一種形式是指高中數(shù)學(xué)教師與全班學(xué)生之間的互動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為師班互動(dòng)。這是數(shù)學(xué)課程要“面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要”，也是師生互動(dòng)的常態(tài)方式，能夠調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。第二種形式是師組互動(dòng)，教師要注重與各個(gè)合作學(xué)習(xí)小組之間的互動(dòng)，積極參與并了解各學(xué)習(xí)小組的問(wèn)題討論進(jìn)展情況，依托組內(nèi)互助學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)合作交流的學(xué)習(xí)方式。第三種形式是師個(gè)互動(dòng)，即高中數(shù)學(xué)教師與單個(gè)學(xué)生之間互動(dòng)，目的是深入了解學(xué)生個(gè)體對(duì)于知識(shí)的掌握情況以及獨(dú)特的想法。第四種形式是指學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為生生互動(dòng)，它是師生互動(dòng)的良性發(fā)展與后繼延伸的必然結(jié)果，是師生互動(dòng)的深層體現(xiàn)方式。

2.師生互動(dòng)的內(nèi)涵。

針對(duì)上述四種形式的師生互動(dòng)，我們認(rèn)為都可以從四個(gè)維度來(lái)描述和刻畫(huà)它的內(nèi)涵。第一個(gè)維度是表達(dá)行為，即教師與學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)來(lái)交流各自的想法，實(shí)現(xiàn)師生之間的對(duì)話(huà)。第二個(gè)維度是討論行為，即師生雙方就某一數(shù)學(xué)問(wèn)題交換意見(jiàn)或進(jìn)行辯論。通過(guò)師生的討論來(lái)澄清與明晰，從而實(shí)現(xiàn)思維的碰撞與交流。第三個(gè)維度是思維行為，師生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，“不斷地經(jīng)歷直觀(guān)感知、觀(guān)察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程”，這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)。第四個(gè)維度是情感行為，即在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中建立的師生之間真誠(chéng)、理解、民主、和諧、欣賞、愉悅的心理氛圍。當(dāng)教師在教學(xué)中由職業(yè)需要上升為情感需要，當(dāng)學(xué)生也從認(rèn)知需要上升為情感需要時(shí)，雙方就進(jìn)入了“親其師信其道，愛(ài)其生信其能”的美妙境界。

3.師生互動(dòng)的保障。

（1）構(gòu)建好師生關(guān)系

良好的師生關(guān)系是開(kāi)展有效師生互動(dòng)行為的先決條件，是建立平等民主和富有情感的人際交往場(chǎng)合的基礎(chǔ)。良好師生關(guān)系的內(nèi)涵包括：一是教師在人格上尊重學(xué)生。尊重學(xué)生的各種想法與念頭，與學(xué)生平等地、協(xié)商式的對(duì)話(huà)與交流，與學(xué)生一同探索。二是教師發(fā)自?xún)?nèi)心地愛(ài)學(xué)生。教師要善于以“學(xué)生化”的心態(tài)與行為參與到師生互動(dòng)的活動(dòng)中，這樣才能更好地理解學(xué)生的真實(shí)思維歷程。三是教師在能力上要信任學(xué)生。教師要允許各類(lèi)不同水平的學(xué)生大膽發(fā)表意見(jiàn)，學(xué)生給出了完美和富有創(chuàng)造力的解法，教師要心悅誠(chéng)服地予以贊賞與褒獎(jiǎng)，讓學(xué)生也體驗(yàn)到一份成功的喜悅。四是教師在情感上要傾力投入，努力做到以充沛的感情、專(zhuān)注的精神、堅(jiān)強(qiáng)的毅力、豐富的想象、生動(dòng)的語(yǔ)言進(jìn)入到師生互動(dòng)的情境中去，用自身的熱情來(lái)感染學(xué)生，用自己的智慧來(lái)引導(dǎo)學(xué)生?？傊?，在課堂學(xué)習(xí)中要讓學(xué)生自信地站起來(lái)，體面地坐下去。

（2）設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問(wèn)題是引發(fā)學(xué)生思維與探究活動(dòng)的向?qū)В瑫r(shí)也是師生課堂互動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)。課堂教學(xué)中的互動(dòng)往往始于問(wèn)題，并為解決問(wèn)題而開(kāi)展的一系列活動(dòng)。教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題要具有趣味性、挑戰(zhàn)性、思維性，把學(xué)生置于一種真實(shí)的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到新問(wèn)題與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間存在矛盾，并且具有解決這一矛盾的必要性與可能性時(shí)，學(xué)生才能成為真正的學(xué)習(xí)主體?？傊辛藛?wèn)題還要把握好設(shè)問(wèn)的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生的思維始終處于一個(gè)接一個(gè)問(wèn)題的探究中，師生之間的互動(dòng)才能顯得水乳交融。

（3）運(yùn)用好教學(xué)變通

鐘啟泉先生認(rèn)為：“教學(xué)的本質(zhì)在于溝通與合作，教與學(xué)的關(guān)系是溝通中的相互作用關(guān)系?！爆F(xiàn)代教學(xué)觀(guān)也認(rèn)為，教學(xué)過(guò)程是師生交往、共同發(fā)展的互動(dòng)過(guò)程。教師既作為與學(xué)生群體、學(xué)生個(gè)體產(chǎn)生互動(dòng)的一方，又應(yīng)該是課堂互動(dòng)的調(diào)控者，從而促進(jìn)師生互動(dòng)行為的高質(zhì)量、高效益開(kāi)展。教師需要從倫理、認(rèn)知、心理、方法等方面重建師生關(guān)系，才能從根本上保障師生互動(dòng)行為的有效開(kāi)展，建構(gòu)充滿(mǎn)生機(jī)與活力的迷人課堂。

【參考文獻(xiàn)】

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［3］卓斌.探明學(xué)情是有效教學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（2）.

（作者單位：江蘇省宿遷市教育局教研室）