陳小安， 張 朋， 陸永亞， 合 燁， 劉俊峰

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的高速電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏心狀態(tài)會(huì)引起主軸劇烈振動(dòng)，不但影響數(shù)控機(jī)床加工精度，且會(huì)導(dǎo)致電主軸失效[1-2]。將轉(zhuǎn)子偏心引起的離心力載荷作為高速電主軸主要外載荷研究較多。Hongqi等[3-4]通過建立的高速電主軸熱-機(jī)耦合動(dòng)力學(xué)模型，在對(duì)動(dòng)力特性研究中發(fā)現(xiàn)，離心力載荷是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要外載荷。Jorgensen等[5-6]據(jù)影響系數(shù)法建立高速電主軸動(dòng)力學(xué)模型，討論不同工況離心力載荷對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為響應(yīng)。Nelson[7]用Timoshenko梁理論建立高速電主軸動(dòng)力學(xué)模型，并詳細(xì)分析離心力載荷計(jì)算方法。

本文將高速電主軸轉(zhuǎn)子偏心狀態(tài)引起的另一重要載荷-電磁不平衡拉力考慮入轉(zhuǎn)子外載荷，分析兩種外載荷對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性影響；計(jì)算軸承動(dòng)態(tài)支撐剛度隨轉(zhuǎn)速的變化及對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階固有模態(tài)影響；通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行理論分析驗(yàn)證。

1 轉(zhuǎn)子偏心載荷模型

制造、裝配等誤差易導(dǎo)致高速電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏心。高轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏心狀態(tài)會(huì)產(chǎn)生附加載荷-電磁不平衡拉力載荷與離心力載荷。

1.1 電磁不平衡拉力載荷

圖1 轉(zhuǎn)子偏心氣隙

高速電主軸轉(zhuǎn)子偏心時(shí)，電機(jī)定轉(zhuǎn)子不對(duì)心會(huì)造成氣隙磁場不均勻，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向附加磁拉力[8-9]。轉(zhuǎn)子偏心見圖1。圖1中δ為實(shí)際氣隙厚度；δ0為理想氣隙厚度；e為定轉(zhuǎn)子偏心距；α，γ分別為相互位置角。

實(shí)際氣隙厚度為：

δ=δ0-ecos(α-γ)

(1)

氣隙磁導(dǎo)為：

Λ=μ0/Kμδ

(2)

式中：μ0為空氣導(dǎo)磁系數(shù)；Kμ=(K1δ0+δFe)/K1δ0為氣隙飽和度，K1為平均氣隙系數(shù)，δFe為鐵磁材料當(dāng)量氣隙。

氣隙合成磁動(dòng)勢(shì)為：

F=FScos(ωSt-α)+FRcos(ωSt-α-φ)

(3)

式中：FS，F(xiàn)R為定子、轉(zhuǎn)子合成磁動(dòng)勢(shì)幅值；ωS為電機(jī)同步角頻率；φ為轉(zhuǎn)子電流相對(duì)于定子電流滯后角。

氣隙磁密為：

B=ΛF

(4)

氣隙磁密切向分量遠(yuǎn)小于徑向分量，可忽略不計(jì)，則轉(zhuǎn)子表面的麥克斯韋應(yīng)力為：

σ=B2/2μ0

(5)

對(duì)轉(zhuǎn)子表面的麥克斯韋應(yīng)力進(jìn)行周向積分，可得轉(zhuǎn)子電磁不平衡磁拉力載荷幅值：

(6)

式中：R，L為電機(jī)轉(zhuǎn)子半徑、氣隙長度。電磁不平衡拉力角頻率與電機(jī)極對(duì)數(shù)無關(guān)，均為二倍轉(zhuǎn)頻[8]。

1.2 離心力載荷

轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量造成的離心力載荷幅值與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速平方成正比[3-4]，其幅值為：

FC=mω2e

(7)

式中：m為轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)質(zhì)量；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻。由于離心力載荷由轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)引起，故其角頻率為一倍轉(zhuǎn)頻。

2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

高速電主軸為典型的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮剪應(yīng)變影響，用Timoshenko梁單元[10]耦合入軸承動(dòng)態(tài)支承剛度[11]，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

2.1 軸承動(dòng)態(tài)支承剛度矩陣

高速運(yùn)行的角接觸球軸承在軸向載荷Fa、徑向載荷Fr及彎矩載荷M的聯(lián)合作用下，內(nèi)外圈會(huì)發(fā)生相對(duì)軸向位移δa、徑向位移δr及角位移θ，軸承內(nèi)部幾何關(guān)系見圖2：E，E’，m，m’分別為軸承運(yùn)行前后鋼球球心及內(nèi)溝曲率中心；n為外溝曲率中心；α為鋼球原始接觸角；αij，αej分別為鋼球與內(nèi)外圈實(shí)際接觸角；Rij為鋼球與內(nèi)圈接觸半徑；Axj，Azj為任意鋼球位置Ψj處內(nèi)溝曲率中心坐標(biāo)；Vxj，Vzj為鋼球球心位置參數(shù)。

圖2 軸承內(nèi)部幾何關(guān)系

據(jù)套圈控制理論及赫茲接觸理論[12]，聯(lián)立鋼球平衡方程與內(nèi)圈平衡方程得軸承擬靜力平衡方程為：

Fb=Kbδb

(8)

式中：Fb為內(nèi)圈載荷列向量；Kb為動(dòng)態(tài)支承剛度矩陣；δb為軸承內(nèi)圈位移列向量。

2.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

耦合入軸承動(dòng)態(tài)支承剛度矩陣，以電磁不平衡拉力與離心力為外載荷的高速電主軸轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為：

Ms{X″}+Cs{X′}+(Ks+Kb){X}={FM}+{FC}

(9)

式中：Ms，Cs，Ks分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；{X″}，{X′}，{X}為節(jié)點(diǎn)加速度、速度、位移向量；{FM}，{FC}分別為電磁不平衡拉力載荷向量、離心力載荷向量。

3 仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 軸承動(dòng)態(tài)支承剛度

本文以2GDZ15型高速電主軸為分析對(duì)象，其軸承型號(hào)為B7011CD/P4A，B7009CD/P4A。定位預(yù)緊，據(jù)生產(chǎn)廠的參數(shù)計(jì)算軸承動(dòng)態(tài)支承剛度。由于軸承徑向剛度對(duì)轉(zhuǎn)子一階固有頻率影響較大，本文給出前后軸承四種轉(zhuǎn)速的徑向支承剛度，見圖3。由圖3看出，隨轉(zhuǎn)速的升高，定位預(yù)緊時(shí)角接觸球軸承徑向支承剛度隨之增大，且增幅較大。

圖3 軸承徑向支承剛度

圖4 轉(zhuǎn)子有限元模型

3.2 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模

2GDZ15型高速電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型見圖4。轉(zhuǎn)子整體分為16個(gè)單元，17個(gè)節(jié)點(diǎn)；芯軸上附加轉(zhuǎn)動(dòng)零件簡化成圓環(huán)；軸承支撐位于三角形處。

3.3 轉(zhuǎn)子模態(tài)仿真

據(jù)有限元法基本理論構(gòu)建轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，用子空間迭代法求解一階模態(tài)。不同轉(zhuǎn)速的一階固有頻率見表1。

表1 轉(zhuǎn)子一階固有頻率

轉(zhuǎn)子一階固有振型為徑向振動(dòng)，最大振幅出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子尾部，其一階陣型見圖5。

圖5 轉(zhuǎn)子一階固有振型

3.4 轉(zhuǎn)子振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)裝置包括2ZDG15型高速電主軸、WD501型電渦流式位移傳感器及前置器、B&K2692-014電荷放大器、SC305-UTP型數(shù)據(jù)采集分析儀及信號(hào)處理分析軟件。電主軸運(yùn)行穩(wěn)定后，用電渦流位移傳感器測(cè)量電主軸轉(zhuǎn)子前端徑向振動(dòng)位移，采樣頻率4 096 Hz，采樣時(shí)間1 s。測(cè)試分析流程見圖6。

圖6 振動(dòng)測(cè)試分析流程圖

3.5 試驗(yàn)結(jié)果及分析

對(duì)位移振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，不同轉(zhuǎn)速的電主軸前端徑向位移振動(dòng)信號(hào)頻譜見圖7。

圖7 振動(dòng)信號(hào)頻譜圖

不同轉(zhuǎn)速時(shí)一、二倍轉(zhuǎn)頻處均出現(xiàn)振動(dòng)峰值，分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子偏心引起的離心力載荷及電磁不平衡拉力載荷，說明兩種偏心載荷確為引起電主軸振動(dòng)的重要激振力。隨轉(zhuǎn)速的升高，一、二倍轉(zhuǎn)頻處振動(dòng)幅值隨之升高，導(dǎo)致偏心載荷增大，對(duì)應(yīng)頻率處的振動(dòng)幅值亦增大。由于噪聲信號(hào)影響，電主軸轉(zhuǎn)子一階固有頻率處產(chǎn)生的共振振幅值較大。但隨轉(zhuǎn)速的升高，一階固有頻率隨之升高，因?yàn)檩S承徑向動(dòng)態(tài)支承剛度隨轉(zhuǎn)速的增大而增大，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率隨轉(zhuǎn)速的升高而升高。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相比，四種轉(zhuǎn)速時(shí)誤差分別為5.76%，5.33%，4.43%，3.88%。

4 結(jié) 論

(1) 高速電主軸轉(zhuǎn)子偏心會(huì)引起電磁不平衡拉力載荷與離心力載荷，隨轉(zhuǎn)速的升高，振動(dòng)幅值增大，轉(zhuǎn)子偏心加劇，兩種載荷隨之增大。對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性影響較大，振動(dòng)頻譜對(duì)應(yīng)頻率處均出現(xiàn)較大峰值。

(2) 由于噪聲信號(hào)影響，轉(zhuǎn)子一階固有頻率處產(chǎn)生共振，頻譜出現(xiàn)峰值；隨轉(zhuǎn)速的升高，軸承徑向動(dòng)態(tài)支撐剛度增大，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階固有頻率升高。

(3) 據(jù)2ZDG15型高速電主軸轉(zhuǎn)子偏心時(shí)載荷理論分析及振動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，偏心載荷是電主軸振動(dòng)的主要來源。高品質(zhì)電主軸制造須進(jìn)行嚴(yán)格動(dòng)平衡，或設(shè)計(jì)在線動(dòng)平衡調(diào)節(jié)裝置[13]，以保證電主軸轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值在允許范圍內(nèi)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Abele E, Altintas Y, Brecher C. Machine tool spindle units [J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology, 2010, 59(2):1-22.

[2]Jedrzejewski J, Kowal Z. High-speed precise machine tools spindle units improving[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2005, 162-163: 615-621.

[3]Li H Q,Shin Y C.Integrated dynamic thermo-mechanical modeling of high speed spindles, part 1: model development [J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Transactions of the ASME, 2004, 126(1):148-158.

[4]Li H Q,Shin Y C.Integrated dynamic thermo-mechanical modeling of high speed spindles, part 2: solution procedure and validations[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, Transactions of the ASME,2004,126(1):159-168.

[5]Jorgensen B R, Shin Y C. Dynamics of machine tool spindle/bearing systems under thermal growth[J]. Journal of Tribology, ASME, 1997, 119(4): 875-882.

[6]Jorgensen B R, Shin Y C. Dynamics of machine tool spindle/bearing systems under thermal growth [J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, ASME, 1998, 120(4): 387-394.

[7]Nelson H D. A finite rotating shaft element using timoshenko beam theory[J]. Journal of Mechanical Design, ASME, 1980, 102(4):793-803.

[8]Guo D, Chu F, Chen D. The unbalanced magnetic pull and its effects on vibration in a three-phase generator with eccentric rotor[J]. Journal of Sound and Vibration,2002,254(2): 297-312.

[9]Im H, Yoo H H, Chung J. Dynamic analysis of a bldc motor with mechanical and electromagnetic interaction due to air gap variation[J]. Journal of Sound and Vibration,2011,330(8): 1680-1619.

[10]Han S M, Benaroya H, Wei T. Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 225(5): 935-988.

[11]李松生, 陳曉陽, 張 鋼,等. 超高速時(shí)電主軸軸承的動(dòng)態(tài)支承剛度分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2006, 42(11): 60-65.

LI Song-sheng, CHEN Xiao-yang ZHANG Gang,et al. Analysis of dynamic supporting stiffness about spindle bearings at extra high-speed in electric spindles[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42(11): 60-65.

[12]Jones A B. A general theory for elastically constrained ball and radial roller bearings under arbitrary load and speed conditions [J]. Journal of Basic Engineering, AMSE, 1960, 82(2):309-320.

[13]樊紅衛(wèi), 景敏卿, 劉 恒. 主動(dòng)混合式砂輪-電主軸系統(tǒng)自動(dòng)平衡裝置研究綜述[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(5): 26-31.

FAN Hong-wei, JING Min-qing, LIU Heng. Review for studying on active hybrid auto-balancer of grinding wheel and motor spindle[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(5): 26-31.